BAHAN AJAR TEORI BILANGAN

Presentasi berjudul: "BAHAN AJAR TEORI BILANGAN"— Transcript presentasi:

1 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

2 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya
POKOK BAHASAN Pertemuan Ke-10 : Kongruensi dan Sifat-Sifat Dasarnya TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si. SELESAI

3 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN Tujuan Pembelajaran TUJUAN Mahasiswa dapat memahami konsep kongruensi dan sifat-sifat dasarnya menerapkannya dalam permasalahan matematika yang relevan MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

4 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Pengertian Kongruensi POKOK BAHASAN Menurut Gauss, “ Jika suatu bilangan n mengukur perbedaan antara dua bilangan a dan b, maka a dan b dikatakan kongruen terhadap n”. TUJUAN Pengertian mengukur dalam pernyataan itu maksudnya adalah bahwa panjang (modulus) n dapat membagi habis perbedaan antara kedua bilangan itu. MATERI ILLUSTRASI Definisi: Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Dua bilangan bulat a dan b dikatakan kongruen modulo n, dinotasikan dengan  a ≡ b (mod n) jika n | (a – b) LATIHAN Contoh 1: 3 ≡ 24 (mod 7), –31 ≡ 11 (mod 7) –15 ≡ –64 (mod 7) SELESAI Contoh 2: 25 ≡ 12 (mod 7) /

5 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Pengertian Kongruensi POKOK BAHASAN Berikan contoh kongruensi dalam kehidupan sehari-hari ! Di dalam kongruensi a ≡ b (mod n) Berapakah nilai n yang menarik untuk dibicarakan ? TUJUAN MATERI Berdasarkan definisi a ≡ b (mod n) bagaiamanakah hubungan bilangan a, b dan n dengan pembagi, hasil bagi dan sisa ? ILUSTRASI Kita mengetahui bahwa –33 ≡ 9 (mod 7) –33 ≡–12 (mod 7) –33 ≡ 2 (mod 7) Manakah yang merupakan sisa pembagian dari -33 dengan 7 ? LATIHAN Salah satu masalah yang akan diselesaikan terkait kongruensi adalah tentukan sisa pembagian dibagi dengan 7 SELESAI

6 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Sifat-Sifat Dasar Kongruensi POKOK BAHASAN Misalkan a, b, c, d, dan n > 1 adalah bilangan bulat a ≡ a (mod n) a ≡ b (mod n)  b ≡ a (mod n) a ≡ b (mod n), b ≡ c (mod n)  a ≡ c (mod n) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  a + c ≡ b + d (mod n) a ≡ b (mod n) dan c ≡ d (mod n)  ac ≡ bd (mod n) (5) a ≡ b (mod n)  a + c ≡ (b + c) mod n dan ac ≡ bc (mod n) (6) a ≡ b (mod n)  ak ≡ bk (mod n) untuk k  N TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

7 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Illustrasi 1 : Tentukan sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7. POKOK BAHASAN Pembahasan TUJUAN Kita akan mencari bilangan bulat a dengan 0  a < 7 sehingga ≡ a (mod 7) MATERI Perhatikan ≡ 4 (mod 7)  ≡ 43 (mod 7)  ≡ 1 (mod 7) ILLUSTRASI  (533)670 ≡ (mod 7)  ≡ 1 (mod 7) LATIHAN  ≡ (mod 7)  ≡ (mod 7) SELESAI Ini artinya dibagi 7 sisanya adalah 2  ≡ 2 (mod 7)

8 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Illustrasi 2 : Gunakan kongruensi untuk membuktikan bahwa 7 | 52n n-2 POKOK BAHASAN Pembahasan TUJUAN Kita akan membuktikan bahwa 52n n-2 ≡ 0 (mod 7) Perhatikan ≡ 4 (mod 7) MATERI  n ≡ 4n (mod 7) (1) Sedangkan ≡ 4 (mod 7)  (n – 1) ≡ 4(n – 1) (mod 7) ILLUSTRASI  25(n – 1) . 23 ≡ 4(n – 1) . 23 (mod 7)  n – 2 ≡ 4(n – 1) (mod 7) LATIHAN  n – 2 ≡ 3. 4(n – 1) (mod 7) (2) Dari (1) dan (2) : 52n n-2 ≡ 4n + 3.4n-1 (mod 7)  n n-2 ≡ 4. 4n n-1 (mod 7) SELESAI  n n-2 ≡ 7. 4n-1 (mod 7)  n n-2 ≡ 0 (mod 7) Ini artinya 7 | 52n n-2

9 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Latihan (1) POKOK BAHASAN 1. Buktikan masing-masing pernyataan di bawah ini: a. Jika a ≡ b (mod n) dan m | n, maka a ≡ b (mod m) b. Jika a ≡ b (mod n) dan c > 0 maka ca ≡ cb (mod n) c. Jika a ≡ b (mod n) dan bilangan bulat a, b, n semuanya dapat dibagi dengan d > 0 maka a/d ≡ b/d (mod n/d) Berikan contoh untuk menunjukkan bahwa a2 ≡ b2 (mod n) tida perlu mengakibatkan bahwa a ≡ b (mod n) Jika a ≡ b (mod n), buktikan bahwa fpb(a, n) = fpb(b, n) 4. Carilah sisanya apabila 250 dan dibagi dengan 7 5. Carilah sisa pembagian bilangan dibagi dengan 7. 6. Berapakah sisanya apabila jumlah dari bilangan-bilangan dibagi dengan 4. TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

10 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
Latihan (2) POKOK BAHASAN Buktikan bahwa dapat dibagi dengan 39, dan bahwa dapat dibagi dengan 7. Untuk n > 1 , gunakan teori kongruensi untuk memeriksa pernyataan pembagian di bawah ini a | 3n n+1 b | 25n+1 + 5n+2 c | 6n n+1 9. Gunakan teori kongruensi untuk memerika bahwa 89| 244 – dan | 248 –1 Buktikan bahwa apabila ab ≡ cd (mod n) dan b ≡ d (mod n) dengan fpb(b, n) = 1, maka a ≡ c (mod n). Jika a ≡ b (mod n1) dan a ≡ c (mod n2), buktikan bahwa b ≡ c (mod n) di mana bilangan bulat n = fpb(n1, n2) TUJUAN MATERI ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI

11 BAHAN AJAR TEORI BILANGAN
POKOK BAHASAN TUJUAN MATERI Terima kasih ILLUSTRASI LATIHAN SELESAI