Oleh: Sudaryatno Sudirham

Presentasi berjudul: "Oleh: Sudaryatno Sudirham"— Transcript presentasi:

1 Oleh: Sudaryatno Sudirham
Integral Oleh: Sudaryatno Sudirham

2 Cakupan Bahasan Integral Tak-Tentu Luas Sebagai Suatu Integral
Integral Tentu Luas Bidang Volume Sebagai Suatu Integral

3 Integral Tak Tentu

4 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Misalkan dari suatu fungsi f(x) yang diketahui, kita diminta untuk mencari suatu fungsi y sedemikian rupa sehingga dalam rentang nilai x tertentu, misalnya a< x < b, dipenuhi persamaan Persamaan yang menyatakan turunan fungsi sebagai fungsi x seperti ini disebut persamaan diferensial. Contoh persamaan diferensial

5 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Tinjau persamaan diferensial Suatu fungsi dikatakan merupakan solusi dari persamaan diferensial jika dalam rentang tertentu ia dapat diturunkan dan dapat memenuhi Karena maka fungsi juga merupakan solusi

6 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
dapat dituliskan Integrasi ruas kiri dan ruas kanan memberikan secara umum Jadi integral dari diferensial suatu fungsi adalah fungsi itu sendiri ditambah suatu nilai tetapan. Integral semacam ini disebut integral tak tentu di mana masih ada nilai tetapan K yang harus dicari

7 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Cari solusi persamaan diferensial ubah ke dalam bentuk diferensial Kita tahu bahwa Contoh-1: oleh karena itu

8 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Contoh-2: Carilah solusi persamaan kelompokkan peubah sehingga ruas kiri dan kanan mengandung peubah berbeda Jika kedua ruas diintegrasi

9 Integral Tak Tentu, Pengertian-Pengertian
Dalam proses integrasi seperti di atas terasa adanya keharusan untuk memiliki kemampuan menduga jawaban. Beberapa hal tersebut di bawah ini dapat memperingan upaya pendugaan tersebut. 1. Integral dari suatu diferensial dy adalah y ditambah konstanta K. 2. Suatu konstanta yang berada di dalam tanda integral dapat dikeluarkan 3. Jika bilangan n  1, maka integral dari yndy diperoleh dengan menambah pangkat n dengan 1 menjadi (n + 1) dan membaginya dengan (n + 1).

10 Integral Tak Tentu, Penggunaan
Penggunaan Integral Tak Tentu Dalam integral tak tentu, terdapat suatu nilai K yang merupakan bilangan nyata sembarang. Ini berarti bahwa integral tak tentu memberikan hasil yang tidak tunggal melainkan banyak hasil yang tergantung dari berapa nilai yang dimiliki oleh K. kurva adalah kurva bernilai tunggal 50 100 -5 -3 -1 1 3 5 x y = 10x2 y K1 K2 K3 yi = 10x2 +Ki adalah kurva bernilai banyak

11 Integral Tak Tentu, Penggunaan
Dalam pemanfaatan integral tak tentu, nilai K diperoleh dengan menerapkan apa yang disebut sebagai syarat awal atau kondisi awal. Contoh-3: Kecepatan sebuah benda bergerak dinyatakan sebagai kecepatan percepatan waktu Posisi benda pada waktu t = 0 adalah ; tentukanlah posisi benda pada t = 4. Kecepatan adalah laju perubahan jarak, Percepatan adalah laju perubahan kecepatan, . Kondisi awal: pada t = 0, s0 = 3 sehingga pada t = 4 posisi benda adalah

12 Luas Sebagai Suatu Integral

13 Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral
Kita akan mencari luas bidang yang dibatasi oleh suatu kurva sumbu-x, garis vertikal x = p, dan x = q. Contoh-4: p x x+x q y x y = f(x) =2 2 Apx Apx atau Kondisi awal (kondisi batas) adalah Apx = 0 untuk x = p

14 Integral Tak Tentu, Luas Sebagai Suatu Integral
Kasus fungsi sembarang dengan syarat kontinyu dalam rentang p x x+x q y x y = f(x) Apx f(x) f(x+x ) Apx Apx bisa memiliki dua nilai tergantung dari pilihan Apx = f(x)x atau Apx = f(x+x)x x0 adalah suatu nilai x yang terletak antara x dan x+x Jika x  0:

15 Integral Tentu

16 Integral Tentu, Pengertian
Integral tentu merupakan integral yang batas-batas integrasinya jelas. Konsep dasar integral tentu adalah luas bidang yang dipandang sebagai suatu limit. p x xk xk xn q y x y = f(x) Bidang dibagi dalam segmen-segmen Luas bidang dihitung sebagai jumlah luas segmen Dua pendekatan dalam menghitung luas segmen p x xk xk xn q y x y = f(x) Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk

17 Integral Tentu, Pengertian
p x xk xk xn q y x y = f(x) Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk)xk Luas tiap segmen dihitung sebagai f(xk+x)xk Jika x0k adalah nilai x di antara xk dan xk+1 maka Jika xk  0 ketiga jumlah ini mendekati suatu nilai limit yang sama Nilai limit itu merupakan integral tentu

18 Integral Tentu, Pengertian
p x xk xk xn q y x y = f(x) Luas bidang menjadi

19 Luas Bidang

20 Luas antara dan sumbu-x
Integral Tentu, Luas Bidang Definisi Apx adalah luas bidang yang dibatasi oleh dan sumbu-x dari p sampai x, yang merupakan jumlah luas bagian yang berada di atas sumbu-x dikurangi dengan luas bagian yang di bawah sumbu-x. Contoh-5: Luas antara dan sumbu-x dari x = 3 sampai x = +3. - 20 10 4 3 2 1 x

21 Integral Tentu, Luas Bidang
Contoh di atas menunjukkan bahwa dengan definisi mengenai Apx, formulasi tetap berlaku untuk kurva yang memiliki bagian baik di atas maupun di bawah sumbu-x p q y x A4 A1 A2 A3 y = f(x)

22 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Luas Bidang Di Antara Dua Kurva berada di atas p q y x y1 y2 x+x Apx Rentang dibagi dalam n segmen jumlah semua segmen: Dengan membuat n menuju tak hingga sehingga x menuju nol kita sampai pada suatu limit

23 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Jika dan berapakah luas bidang antara y1 dan y2 dari x1 = p = 2 sampai x2 = q = +3. Contoh-6: Jika dan Contoh-7: berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Terlebih dulu kita cari batas-batas integrasi yaitu nilai x pada perpotongan antara y1 dan y2. 2 4 -2 -1 1 y2 y1 di atas y x

24 Integral Tentu, Luas Bidang Antara Dua Kurva
Jika dan berpakah luas bidang yang dibatasi oleh y1 dan y2. Contoh-8: Batas integrasi adalah nilai x pada perpotongan kedua kurva -4 -2 2 4 -1 1 y1 di atas y2 y1 y2 y x

25 Integral Tentu, Penerapan
Penerapan Integral Contoh-9: Sebuah piranti menyerap daya 100 W pada tegangan konstan 200V. Berapakah energi yang diserap oleh piranti ini selama 8 jam ? Daya adalah laju perubahan energi. Jika daya diberi simbol p dan energi diberi simbol w, maka yang memberikan Perhatikan bahwa peubah bebas di sini adalah waktu, t. Kalau batas bawah dari waktu kita buat 0, maka batas atasnya adalah 8, dengan satuan jam. Dengan demikian maka energi yang diserap selama 8 jam adalah

26 Integral Tentu, Penerapan
Arus yang melalui suatu piranti berubah terhadap waktu sebagai i(t) = 0,05 t ampere. Berapakah jumlah muatan yang dipindahkan melalui piranti ini antara t = 0 sampai t = 5 detik ? sehingga Jumlah muatan yang dipindahkan dalam 5 detik adalah Contoh-10: Arus i adalah laju perubahan transfer muatan, q.

27 Volume Sebagai Suatu Integral

28 luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x).
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Berikut ini kita akan melihat penggunaan integral untuk menghitung volume. Balok Jika A(x) adalah luas irisan di sebelah kiri dan A(x+x) adalah luas irisan di sebelah kanan maka volume irisan V adalah x Volume balok V adalah luas rata-rata irisan antara A(x) dan A(x+x). Apabila x cukup tipis dan kita mengambil A(x) sebagai pengganti maka kita memperoleh pendekatan dari nilai V, yaitu: Jika x menuju nol dan A(x) kontinyu antara p dan q maka :

29 Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong
Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral Rotasi Bidang Segitiga Pada Sumbu-x y x x O Q P A(x) adalah luas lingkaran dengan jari-jari r(x); sedangkan r(x) memiliki persamaan garis OP. m : kemiringan garis OP h : jarak O-Q. Jika garis OP memotong sumbu-y maka diperoleh kerucut terpotong

30 Integral Tentu, Volume Sebagai Suatu Integral
Rotasi Bidang Sembarang y x x 0 a b f(x) Rotasi Gabungan Fungsi Linier y x x 0 a b f2(x) f1(x) f3(x) Fungsi f(x) kontinyu bagian demi bagian. Pada gambar di samping ini terdapat tiga rentang x dimana fungsi linier kontinyu. Kita dapat menghitung volume total sebagai jumlah volume dari tiga bagian.

31 Courseware Integral Sudaryatno Sudirham