Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius, Koordinat Polar, Koordinat Tabung, Koordinat Bola Desember 2011.

Presentasi berjudul: "Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius, Koordinat Polar, Koordinat Tabung, Koordinat Bola Desember 2011."— Transcript presentasi:

1 Bentuk Koordinat Koordinat Kartesius, Koordinat Polar, Koordinat Tabung, Koordinat Bola
Desember 2011

2 Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi
Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

3 Koordinat Kartesius y x

4 Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 3 Dimensi
Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus

5 Koordinat Kartesius z y x

6 Koordinat Polar Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau garis OP yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

7 Koordinat Polar O titik kutub sumbu polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

8 Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada di posisi:
-  derajat dari sumbu-x (sumbu polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r : koordinat radial  : koordinat sudut

9 Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (-r, +n ), untuk n bilangan bulat ganjil = ( r, +n ), untuk n bilangan bulat genap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3)

10 Koordinat Polar r 

11 Konversi koordinat polar ke dalam koordinat kartesius
Gunakan relasi: x = r cos  , y = r sin  Maka r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catatan: menentukan  Jika x > 0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan (y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan (y/x).

12 Koordinat Polar Persamaan polar dari lingkaran berjari-jari a adalah r = a Contoh: Untuk lingkaran berjari-jari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos 

13 Koordinat Polar Jika a = 1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

14 Konversikan persamaan polar r = 2 sin  ke dalam sistem koordinat tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r menjadi r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tersebut dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

15 Titik dalam koordinat tabung
Koordinat Polar dalam bidang datar r 

16 Titik dalam koordinat tabung
Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).  r

17 Titik dalam koordinat tabung
(r,,z)  r  r

18 Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius
 r (r,,z)

19 Titik dalam koordinat bola
(x,y,z) 

20 Titik dalam koordinat bola

21 Titik dalam koordinat bola


22 Titik dalam koordinat bola

23 Titik dalam koordinat bola

24 Titik dalam koordinat bola
Sudut .

25 Titik dalam koordinat bola
( , ,) 

26 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z) r  z 

27 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z) r  z 

28 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z) r  z 

29 Integral pada Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung dan Koordinat Bola

30 Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang , lebar , dan tinggi

31 Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran dalam koordinat tabung r, q, and z? Dengan menganggap kasus 2 dimensi dalam koordinat polar  r

32 Integral: Koordinat Tabung
Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r r r+Dr

33 Integral: Koordinat Tabung
Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r. r r+Dr r r+Dr

34 Integral: Koordinat Tabung
 Dq  Sudut q terjadi penambahan sudut sebesar Dq.

35 Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut  

36 Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut 

37 Integral: Koordinat Tabung
Dengan penambahan Dz.

38 Integral: Koordinat Tabung
Untuk mencari volume benda padat

39 Integral: Koordinat Tabung
Maka . . .

40 Soal Tunjukkan dengan gambar titik-titik berikut dalam koordinat polar
(2, 4) (-1, 4) (3, 34) (2, -4) (-4, -4) 2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan

41 Soal 3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat tabung dan gambarkan

42 Soal 4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a. b. c. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius dan gambarkan

43 Soal 5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola dan gambarkan

44 Soal 6. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut
(0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).