Deret Taylor & Maclaurin

Presentasi berjudul: "Deret Taylor & Maclaurin"— Transcript presentasi:

1 Deret Taylor & Maclaurin

2 Deret Taylor & Maclaurin
Misalkan f(x) dan turunan-turunannya f’(x), f’’(x), ..., f(n)(x) ada dan kontinu di dalam interval tutup a ≤ x ≤ b, dan f(n+1)(x) juga kontinu di a ≤ x ≤ b. Maka berlaku: dimana Rn adalah sisanya yang berbentuk:

3 Deret Taylor & Maclaurin
dimana   (a, x)

4

5 Deret Taylor & Maclaurin
Bukti: Pertama-tama akan dibuktikan dahulu bahwa : )

6 Deret Taylor & Maclaurin
Kemudian akan ditunjukkan bahwa mempunyai dua bentuk, yaitu bentuk Lagrange dan bentuk Cauchy

7 Deret Taylor & Maclaurin
Untuk membuktikan persamaan 1) digunakan induksi matematika. Untuk n = 0

8 Deret Taylor & Maclaurin
Misalkan berlaku untuk n = k

9 Deret Taylor & Maclaurin
Untuk n = k + 1 Perhatikan bentuk misal:

10 Deret Taylor & Maclaurin

11 Deret Taylor & Maclaurin
dari n = k, diperoleh

12 Deret Taylor & Maclaurin
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa mempunyai 2 bentuk

13 Deret Taylor & Maclaurin
Menurut teorema nilai rata-rata untuk integral Misalkan maka

14 Deret Taylor & Maclaurin
Berarti diperoleh bentuk Lagrange untuk sisa, yaitu

15 Deret Taylor & Maclaurin
Misalkan maka

16 Deret Taylor & Maclaurin
Berarti diperoleh bentuk Cauchy untuk sisa, yaitu

17 Deret Taylor & Maclaurin
Sewaktu n berubah, maka umumnya  juga berubah. Jika untuk semua x dan  di dalam [a, b] kita mempunyai , maka persamaan di awal dapat ditulis: Deret ini dinamakan deret Taylor atau ekspansi Taylor dari f(x) di sekitar x = a. Dalam kasus a = 0, deret tersebut dinamakan deret Maclaurin

18 Deret Taylor & Maclaurin
Walaupun semua turunan f(x) ada di x = a, dan secara formal kita dapat memperoleh deret di ruas kanan, tetapi bisa saja terjadi deret tersebut tidak konvergen ke f(x).

19 Deret Taylor & Maclaurin
Contoh: Buktikan bahwa deret Taylor di sekitar x = 0 yang bersesuaian dengan f(x) ada. Kemudian tunjukkan deret tersebut tidak konvergen ke fungsi yang diberikan untuk sebarang x  0

20 Deret-Deret Penting Deret-deret berikut, konvergen ke fungsi yanng diberikan di dalam interval yang ditunjukkan dll

21 Deret Binomial Bentuknya adalah
Jika p adalah sebuah bilangan bulat positif atau nol, maka deret tersebut akan berakhir Jika p > 0 tetapi bukan bilangan bulat, maka deret tersebut konvergen mutlak untuk –1 ≤ x ≤ 1

22 Deret Binomial c) Jika –1 < p < 0, maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x ≤ 1 Jika p ≤ –1 maka deret tersebut konvergen untuk –1 < x < 1 Tugas: Tunjukkan sifat (a) , (b), (c), dan (d)