Optimal Test: The Neyman-Pearson Lemma

Presentasi berjudul: "Optimal Test: The Neyman-Pearson Lemma"— Transcript presentasi:

1 Optimal Test: The Neyman-Pearson Lemma
STAT MAT II 2011 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

2 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Kuasa Uji Untuk statistik uji W dan daerah penolakan RR, Uji hipotesis yang bersesuaian dengan nilai parameter θ. Peluang menolak H0 ketika nilai parameter adalah θ Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

3 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Karena: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

4 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Pada Uji Proporsi Nilai β dan Power sebagai fungsi dari nilai p alternatif Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

5 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Kuasa uji besar jika nilai p yang sebenarnya jauh lebih kecil dari p = 0.5 Jika nilai p yang sebenarnya sangat kecil, akan lebih mudah membuktikan bahwa H0 salah. Untuk nilai p yang mendekati 0.5 (<0.5), kuasa uji semakin kecil: lebih sering menyimpulkan bhw H0 benar (padahal tidak) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

6 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Definisi Optimal Test Penentuan uji (daerah penolakan RR) untuk α tertentu dengan kuasa uji yang paling besar. Untuk H0 dan H1, keduanya hipotesis sederhana, Dengan cara rasio likelihood Di bawah H0 Di bawah H1 Uji optimal diperoleh pada rasio yang bernilai kecil Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

7 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Definisi Optimal Test Rasio likelihood: Data akan lebih mungkin berada di H1 Bernilai kecil Data akan lebih mungkin berada di H0 Bernilai besar Rasio likelihood yang kecil Daerah penolakan dipilih sedemikian sehingga data lebih mungkin berada di H1 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

8 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Lemma Neyman Pearson Pada uji hipotesis: Berdasarkan sampel dari sebaran dengan parameter θ, Untuk α tertentu, uji yang memaksimumkan power pada θa memiliki daerah penolakan RR yang ditentukan oleh Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

9 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Lemma Neyman Pearson k dipilih sehingga peluang kesalahan tipe I sebesar α. Uji tersebut adalah uji paling kuasa untuk H0 vs H1 Di antara semua uji untuk H0 vs H1 pada sampel berukuran n untuk taraf nyata α, Uji dengan penentuan RR tersebut adalah uji dengan peluang kesalahan tipe II yang paling kecil. Kuasa yang paling besar. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

10 Contoh penentuan uji paling Kuasa pada Uji Hipotesis Proporsi
Sampel acak berukuran 10, diamati jumlah sukses. Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Likeli-hood Y p=0,5 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 p=0,3 0,0282 0,1211 0,2335 0,2668 0,2001 0,1029 0,0368 0,0090 0,0014 0,0001 0,0000 L(0.5)/L(0.3) 0,0346 0,0807 0,1882 0,4392 1,0248 2,3911 5,5793 13,0184 30,3762 70,8779 165,3817 k dipilih sedemikian: Rasio likelihood yang kecil ada di Y yang bernilai kecil (ujung kiri) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

11 Contoh penentuan uji paling Kuasa pada Uji Hipotesis Proporsi
Sampel acak berukuran 10, diamati jumlah sukses. Y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Likeli hood Y p=0,5 0,0010 0,0098 0,0439 0,1172 0,2051 0,2461 p=0,8 0,0000 0,0001 0,0008 0,0055 0,0264 0,0881 0,2013 0,3020 0,2684 0,1074 L(0.5)/L(0.8) 9536,7432 2384,1858 596,0464 149,0116 37,2529 9,3132 2,3283 0,5821 0,1455 0,0364 0,0091 k dipilih sedemikian: Rasio likelihood yang kecil ada di Y yang bernilai besar (ujung kanan) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

12 Contoh Kasus Dengan Fungsi Kepekatan yang umum
Misalkan Y adalah satu pengamatan yang berasal dari populasi dengan fungsi sebaran: Akan diuji hipotesis berikut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

13 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh (lanjut) Dengan rasio likelihood Pada θ sesuai hipotesis Penentuan RR sesuai kriteria berikut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

14 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh (lanjut) Penentuan k’ atau k, sedemikian sehingga diperoleh peluang salah tipe I = α Untuk α=0.05 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

15 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Tolak H0 jika satu pengamatan tersebut bernilai lebih dari 0.95 Dengan kriteria tsb maka uji di atas adalah uji yang paling kuasa. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

16 Kasus dengan fungsi kepekatan peluang sebaran Normal
Ingin ditentukan uji paling kuasa pada taraf α untuk hipotesis berikut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

17 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh sebaran normal Untuk n pengamatan Rasio Likelihood Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

18 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Bentuk ekuivalen dari sebelumnya (*) ln dari (*) dan penyederhanaan Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

19 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Ruas kanan di pertidaksamaan terakhir: Berupa konstanta Maka daerah penolakan RR adalah: Nilai k’ ditentukan secara pasti dari: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

20 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Jika pada kasus sebaran normal tersebut: Di bawah H0 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

21 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Secara Umum Pada sebaran normal dengan hipotesis: Penentuan batas wilayah penolakan: Berdasarkan lemma Neyman-Pearson akan menghasilkan uji paling kuasa dengan taraf nyata α Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

22 Contoh Kasus Dengan Fungsi Kepekatan yang umum
Misalkan Y adalah satu pengamatan yang berasal dari populasi dengan fungsi sebaran: Akan diuji hipotesis berikut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

23 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh (lanjut) Dengan rasio likelihood Penentuan RR sesuai kriteria berikut: Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

24 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Contoh (lanjut) Penentuan k’ atau k, sedemikian sehingga diperoleh peluang salah tipe I = α Dibutuhkan transformasi fungsi bagi Y, untuk mencari fungsi kepekatan peluang bagi Ym Metode fungsi distribusi (kumulatif) Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

25 Transformasi, berdasarkan fungsi sebaran Kumulatif
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

26 Transformasi, berdasarkan fungsi sebaran Kumulatif
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

27 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Penentuan RR 15/06/2011 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

28 Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.
Untuk hipotesis: Dan peluang salah tipe I = α Tolak H0 berdasarkan nilai y jika: Uji tersebut adalah uji yang paling kuasa. Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.