BAB 8 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA HOME NEXT.

Presentasi berjudul: "BAB 8 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA HOME NEXT."— Transcript presentasi:

1 BAB 8 FUNGSI, PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA HOME NEXT

2 logaritma 1. FUNGSI LOGARITMA 2. PERSAMAAN LOGARITMA
- DEFINISI LOGARITMA - GRAFIK 2. PERSAMAAN LOGARITMA - BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARITMA - PENYELESAIAN 3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA - BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA - PENYELESAIAN BACK HOME NEXT

3 PENDAHULUAN Di kelas X, kalian telah mempelajari logaritma. Pada pokok bahasan ini, kalian akan mempelajari labih lanjut tentang logaritma. Konsep – konsep dasar yang kita peroleh di kelas X akan digunakan disini. Materi yang akan kita bahas pada bab ini adalah fungsi logaritma, persamaan logaritma dan pertidaksamaan logaritma. BACK HOME NEXT

4 PETA KONSEP FUNGSI, PERSAMAAN, DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
FUNGSI LOGARITMA PERSAMAAN LOGARITMA FUNGSI LOGARITMA DEFINISI BENTUK-BENTUK PERSAMAAN LOGARIMA BENTUK-BENTUK PERTIDAKSAMAAN LOGARIMA GRAFIK PENYELESAIAN PENYELESAIAN BACK HOME NEXT

5 FUNGSI LOGARITMA - DEFINISI
Logaritma adalah invers atau balikan dari perpangkatan (eksponen). Oleh karena itu, apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke ax (ditulis f(x)= ax bilangan real x ke alog x (ditulis g(x)= alog x . BACK HOME NEXT

6 fungsi LOGARITMA Misal :
Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3x dengan daerah asal Df = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Hubungan antara x dan y = f(x) = 3x dapat disajikan dalam tabel berikut. x -3 -2 -1 1 2 3 f(x) = 3x 1/27 1/9 1/3 9 27 Terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3x . Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif. Maka terdapat fungsi invers f-1 , seperti pada tabel : x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27 f(x) -3 -2 -1 2 BACK HOME NEXT

7 fungsi LOGARITMA Misalkan fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x), dengan demikian dapat ditentukan sebagai berikut. y = f(x) = 3x ↔ log y = x log 3 ↔ x = log y/log 3 ↔ x = 3log y ↔ f-1 (y)= 3log y ↔ f-1 (x)= 3log x Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1 (x)= 3log x yang merupakan logaritma dengan bilangan pokok 3. Dari uraian di atas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = alog x, x>0, a>0 dan a≠1 merupakan fungsi logaritma. BACK HOME NEXT

8 Fungsi logaritma Contoh :
Diketahui f(x) = 4log (x2 – 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan sumbu-sumbu berikut. a. Sumbu X b. Sumbu Y Penyelesaian : Titik potong dengan sumbu X Syaratnya f(x) = 0. f(x) = 4log (x2 – 8x + 16) ↔ 0 = 4log (x2 – 8x + 16) ↔ 4log (x2 – 8x + 16) = 4log 1 ↔ x2 – 8x + 16 = 1 ↔ x2 – 8x + 15 = 0 ↔ (x – 5)(x – 3) = 0 ↔ x = 5 atau x = 3 Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5,0) dan (3,0) BACK HOME NEXT

9 Fungsi logaritma b. Titik potong dengan sumbu Y, syaratnya, x = 0.
f(x) = 4log (x2 – 8x + 16) = 4log ((0)2 – 8(0) + 16) = 4log 16 = 4log 42 = 2 Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0,2) BACK HOME NEXT

10 grafik 1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi logaritma : Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x BACK HOME NEXT

11 grafik Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut. Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 3log x ! Penyelesaian : Tabel fungsi y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut : x …. 9 3 1 1/3 1/9 1/27 y = f(x) = 3log x 2 -1 -2 -3 BACK HOME NEXT

12 grafik Grafiknya adalah :
(9,2) y = 3log x (3,1) (1,0) X Dari penjelasan di atas, nampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x1 ≤ x2 maka alog x1 ≤ alog x2. dalam bentuk pertidaksamaan, dapat ditulis sebagai berikut. √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) BACK HOME NEXT

13 grafik 2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1
Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x , yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y mudah ditentukan. Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x,y) yang diperoleh dalam langkah 1 pada bidang kartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x Dengan memerhatikan grafik fungsi logaritma f(x) = alog x, untuk 0 < x < 1 , kita dapat mengetahui sifat-sifat fungsi logaritma f tersebut. BACK HOME NEXT

14 grafik 1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2log x !
Contoh : 1. Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = 1/2log x ! Penyelesaian : Terlebih dahulu dibuat tabel f(x) = 1/2log x. X …. 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y = f(x) = 1/2log x 3 -1 -2 -3 Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel di atas, kemudian menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi logaritma f(x) = 1/2log x seperti pada gambar berikut. BACK HOME NEXT

15 grafik Grafiknya adalah : BACK HOME NEXT y = 1/2log x Y Y 1 2 4 8 X 1
-1 -1 (2,-1) (4,-2) -2 -2 y = 1/2log x -3 -3 (8,-3) BACK HOME NEXT

16 grafik Fungsi logaritma f(x) = alog x, dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena jika x1 ≤ x2 maka alog x1 ≥ alog x2. dalam bentuk pertidaksamaan, kita dapat menuliskannya sebagai berikut. √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) BACK HOME NEXT

17 grafik 3. Grafik fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x
Jika grafik fungsi logaritma y = f(x) = alog x dan grafik fungsi y = g(x) = 1/alog x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut. Dari gambar di samping, dapat kita katakan sebagai berikut : Y (8,3) (4,2) Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = 1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya. (2,1) (1,0) (2,-1) (4,-2) (8,-3) BACK HOME NEXT

18 grafik b. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1,0) c. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu berada di sebelah kanan sumbu Y. d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (- ∞,∞) e. Fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi turun. f. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut. BACK HOME NEXT

19 grafik 4. Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x
Jika grafik logaritma f(x) = 2x dan g(x) = 2log x, serta grafik f(x) = (1/2)x dan grafik 1/2log x digambarkan dalam satu bidang kartesius, hasilnya adalah sebagai berikut. y = 2x y = (1/2)x Y y = x Y y = x y = 2log x (0,1) (0,1) o (1,0) o X (1,0) X y = 1/2log x BACK HOME NEXT

20 grafik Beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x, sebagai berikut. a. Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x simetris terhadap garis y = x. Hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ax terhadap garis y = x atau sebaliknya. b. Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = alog x atau sebaliknya. BACK HOME NEXT

21 Persamaan logaritma - DEFINISI
Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang numerusnya (bilangan yang di ambil logaritmanya) memuat variabel x atau persamaan yang bilangan pokok atau numerusnya memuat variabel x. Adapun bentuk – bentuk dari persamaan logaritma yang kita pelajari, sebagai berikut. a. alog f(x) = alog p c. alog f(x) = blog f(x) b. alog f(x) = alog g(x) d. A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 Adapun f(x) dan g(x) adalah fungsi – fungsi aljabar dengan f(x),g(x) > 0; a, b, p bilangan real positif, x > 0, a ≠ 1, b ≠ 1; A, B, C bilangan real, A ≠ 0. BACK HOME NEXT

22 Persamaan logaritma a. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog p Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Karena alog f(x) = alog p maka a a log p = f(x) atau f(x) = a a log p . Akibatnya f(x) = p. Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog p dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), p > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = p. BACK HOME NEXT

23 Persamaan logaritma Contoh : Tentukan penyelesaian dari persamaan – persamaan logaritma berikut. a. 2log (3x – 1) = 3 b. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81 Penyelesaian : 2log (3x – 1) = 3 ↔ 2log (3x – 1) = 2log 23 ↔ 2log (3x – 1) = 2log 8 dalam hal ini, syarat 3x – 1 > 0 dan 8 > 0 sudah dipenuhi karena 3x – 1 = 8 > 0 BACK HOME NEXT

24 Persamaan logaritma b. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81
Syarat yang harus dipenuhi adalah x – 5 > 0 ↔ x > 5 dan x – 2 > 0 ↔ x > 2. Akibatnya , x > 5. 2log (x – 5) + 2log (x – 2) = 9log 81 ↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 9log 92 ↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 2 ↔ 2log (x – 5) (x – 2) = 2log 22 ↔ x2 – 7x + 10 = 4 ↔ x2 – 7x + 6 = 0 ↔ (x – 1)(x – 6) = 0 ↔ x = 1 atau x = 6 Namun, karena x > 5 maka yang memenuhi adalah x = 6. BACK HOME NEXT

25 Persamaan logaritma Problem solving
Diketahui persamaan log (x2 + 11x) = 1. Jika x1 dan x2 merupakan akar – akar persamaan itu, tentukan nilai – nilai berikut. Penyelesaian log (x2 + 11x) = 1 ↔ log (x2 + 11x) = log 10 ↔ x2 + 11x = 10 Dalam hal ini syarat x2 + 11x > 0 dan 10 > 0 sudah terpenuhi karena x2 + 11x = 10 > 0. selanjutnya, x2 + 11x = 10 ↔ x2 + 11x – 10 = 0. BACK HOME NEXT

26 MATERI LOGARITMA Bentuk terakhir merupakan bentuk persamaan kuadrat yang bersesuaian dengan ax2 + bx + c = 0, untuk a = 1, b = 11, dan c = Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai – nilai berikut. a. x1 + x2 = –b /a = –11/1 = –11 b. x1x2 = c/a = –10/1 = –10 c. x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2 = (-11)2 – 2(-10) = 141 d. 3/x1 + 3/x2 = 3x1 + 3x2 / x1x2 = 3(x1 + x2)/x1x2 = 3(-11)/-10 = 3,3 BACK HOME NEXT

27 MATERI LOGARITMA b. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = alog g(x) Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), g(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Karena alog f(x) = alog g(x) maka a a log g(x) = f(x) atau f(x) = a a log g(x) . Akibatnya f(x) = g(x). Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = alog g(x) dengan a > 0, a ≠ 1; f(x), f(x), g(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = g(x). BACK HOME NEXT

28 MATERI LOGARITMA Contoh :
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan logaritma log (x2 + 5x – 7) = log (x – 2) Penyelesaian : log (x2 + 5x – 7) = log (x – 2) ↔ x2 + 5x – 7 = x – 2 ↔ x2 + 5x – 5 = 0 ↔ (x + 5)(x – 1) = 0 ↔ x = -5 atau x = 1 Jika x = - 5 disubstitusikan pada x2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai bentuk itu negatif, berarti x = - 5 bukan merupakan penyelesaian. Jika x = 1 disubstitusikan pada x2 + 5x – 7 dan x – 2, diperoleh nilai negatif berarti x = 1 juga bukan penyelesaian. Jadi, himpunan penyelesaiannya { } atau ф (himpunan kosong). BACK HOME NEXT

29 MATERI LOGARITMA c. Persamaan logaritma berbentuk alog f(x) = blog f(x) Misalkan diberikan persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0. Himpunan penyelesaian persamaan tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. Misalkan alog f(x) = r maka ar = f(x). Demikian juga, blog f(x) = r maka br = f(x). Berarti, ar = br . Namun, karena a ≠ 1, b ≠ 1 dan a ≠ b maka r = 0. akibatnya, f(x) = 1. Himpunan penyelesaian persamaan alog f(x) = blog f(x) dengan a,b > 0, a ≠ 1, b ≠ 1, a ≠ b; f(x) > 0 adalah himpunan yang anggotanya x sedemikian rupa sehingga f(x) = 1. BACK HOME NEXT

30 MATERI LOGARITMA Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a. 2log (2x + 7) = 3log (2x + 7) b. 3log (x2 – 6x + 10) = 5log (x2 – 6x + 10) Penyelesaian : a. 2log (2x + 7) = 3log (2x + 7) ↔ 2x + 7 = 1 Dalam hal ini, syarat 2x + 7 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena 2x + 7 = 1 > 0, 2x + 7 = 1 ↔ 2x = - 6 ↔ x = - 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 } BACK HOME NEXT

31 MATERI LOGARITMA b. 3log (x2 – 6x + 10) = 5log (x2 – 6x + 10)
Syarat x2 – 6x + 10 > 0 dan 1 > 0 sudah dipenuhi karena x2 – 6x + 10 = 1 > 0, x2 – 6x + 10 = 1 ↔ x2 – 6x + 9 = 0 ↔ (x – 3)2 = 0 ↔ x = 3 Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }. BACK HOME NEXT

32 MATERI LOGARITMA d. Persamaan logaritma berbentuk A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0 Pada persamaan logaritma A {alog x}2 + B {alog x} + C = 0; dengan a, x > 0, a ≠ 1 dan A, B, C bilangan real, dan A ≠ 0 jika dimisalkan y = alog x maka persamaan tersebut dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam variabel y. Contoh : Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut. a. log2 x – 2 log x = 24 b. 5log2 x – 5log x6 + 5 = 0 BACK HOME NEXT

33 MATERI LOGARITMA Penyelesaian : a. log2 x – 2 log x = 24
Misalkan log x = p. persamaan tersebut berubah menjadi bentuk berikut. p2 – 2p – 24 = 0 ↔ (p + 4)(p – 6) = 0 ↔ p = - 4 atau p = 6 Untuk p = - 4 → log x = - 4 ↔ log x = log 10-4 ↔ x = 10-4 ↔ x = 0,0001 Untuk p = 6 → log x = 6 ↔ log x = log 106 ↔ x = 106 ↔ x = 1,000,000 Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi, himpunan penyelesaiannya {0,0001; 1,000,000} BACK HOME NEXT

34 MATERI LOGARITMA b. 5log2 x – 5log x6 + 5 = 0 ↔ (5log x)2 – 6 (5log x) + 5 = 0 Misalkan 5log x = p. Persamaan tersebut akan menjadi bentuk berikut. p2 – 6p + 5 = 0 ↔ (p – 1)(p – 5) = 0 ↔ p = 1 atau p = 5 Untuk p = 1 → 5log x = 1 ↔ 5log x = 5log 5 ↔ x = 5 Untuk p = 5 → 5log x = 5 ↔ 5log x = 5log 55 ↔ x = 55 = 3.125 Dari proses tersebut, diperoleh nilai – nilai x > 0. Jadi himpunan penyelesaiannya { 5; } BACK HOME NEXT

35 MATERI LOGARITMA 3. PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA
Sifat – sifat yang digunakan dalam penyelesaian pertidaksamaan logaritma, antara lain. √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) √ Jika a > 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≥ alog v(x) maka u(x) ≤ v(x) √ Jika 0 < a < 1 dan alog u(x) ≤ alog v(x) maka u(x) ≥ v(x) Kondisi di atas juga berlaku untuk tanda pertidaksamaan < atau > √ Fungsi logaritma alog u(x) terdefinisi jika u(x) > 0. BACK HOME NEXT

36 MATERI LOGARITMA Contoh
Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan – pertidaksamaan logaritma berikut. a. 1/2log (2x – 1) < - 1 b. 2log (x2 + 5x + 6) > 1 c. 1/2log (x2 – 5x + 4) > - 2 BACK HOME NEXT

37 MATERI LOGARITMA Penyelesaian : 1/2log (2x – 1) < - 1
↔ 1/2log (2x – 1) < 1/2log (1/2)- 1 ↔ 1/2log (2x – 1) < 1/2log 2 ↔ 2x – 1 < 2 …………………………(karena a = ½, berarti 0 < a < 1) ↔ 2x > 3 ↔ x > 3/2 Disamping itu, harus dipenuhi syarat berikut. 3/2 1/2 2x – 1 > 0 ↔ 2x > 1 ↔ x = 1/2 Jika digambarkan dalam garis bilangan seperti pada gambar di samping ! Dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya dari 1/2log (2x – 1) < - 1 adalah x > 3/2 BACK HOME NEXT

38 MATERI LOGARITMA 2log (x2 + 5x + 6) > 1
↔ 2log (x2 + 5x + 6) > 2log 2 ↔ x2 + 5x + 6 > 2 …………………..(a = 2 > 1) ↔ x2 + 5x + 4 > 0 ↔ (x +4)(x + 1) > 0 ↔ x < - 4 atau x > - 1 -4 -1 -3 -2 Syarat 2log (x2 + 5x + 6) terdefinisi adalah sebagai berikut. (x2 + 5x + 6) > 0 ↔ (x + 3)(x + 2) > 0 ↔ x < - 3 atau x > - 2 Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua penyelesaian diatas adalah x < - 4 atau x > - 1. Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I x < - 4 atau x > - 1, x є R}. BACK HOME NEXT

39 MATERI LOGARITMA 1/2log (x2 – 5x + 4) > - 2
↔ 1/2log (x2 – 5x + 4) > 1/2log 4 ↔ (x2 – 5x + 4) < 4 ↔ x2 – 5x < 0 ↔ x(x – 5) < 0 ↔ 0 < x < 5 5 1 4 Syarat agar 1/2log (x2 – 5x + 4) terdefinisi adalah sebagai berikut. (x2 – 5x + 4) > 0 ↔ (x – 1)(x – 4) > 0 ↔ x < 1 atau x > 4 Pada gambar di samping, tampak bahwa irisan kedua penyelesaian diatas adalah 0 < x < 1 atau 4 < x < 5. jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {x I 0 < x < 1 atau 4 < x < 5, x є R}. BACK HOME