INTEGRAL TAK TENTU.

Presentasi berjudul: "INTEGRAL TAK TENTU."— Transcript presentasi:

1 INTEGRAL TAK TENTU

2 Rumus umum integral f(x) = integran (fungsi yg diintegralkan)
a dan b = batas pengintegralan a = batas bawah b = batas atas dx = faktor pengintegral C = konstanta F = hasil integral dari f(x)

3 Perbedaan integral tentu dan tak tentu
 bilangan Integral tak tentu  fungsi

4 Penerapan Integral dalam Ilmu Sains
Jika V(t) adl volume air dlm waduk pada waktu t, maka turunan V’(t) adl laju mengalirnya air ke dalam waduk pada waktu t. perubahan banyaknya air dalam waduk diantara t1 dan t2

5 massa dari ruas batang yg terletak
Jika [C](t) adl konsentrasi hasil suatu reaksi kimia pd waktu t,maka laju reaksi adl turunan d[C]/dt [C](t2)-[C](t1) perubahan konsentrasi C dari waktu t1 ke t2 Jika massa sebuah batang, diukur dari ujung kiri ke titik x adalah m(x), maka kerapatan linier adalah (x)=m’(x) massa dari ruas batang yg terletak diantara x=a dan x=b

6 Jika laju pertumbuhan populasi adl dn/dt, maka
pertambahan populasi selama periode waktu t1 ke t2 Percepatan benda adl a(t)=v’(t) sehingga perubahan dlm kecepatan dari waktu t1 ke t2

7 Daftar diferensial dasar vs integral baku

8 Rumus dasar Sifat-sifat :

9 Jika g suatu fungsi yg bisa dideferensialkan dan r suatu bilangan rasional bukan -1, maka
Contoh :  x4 dx = ???? g(x) = x r = 4

10 f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx
Teknik pengintegralan INTEGRAL SUBSTITUSI Integral substitusi yaitu menggantikan suatu variabel dg variabel baru dalam operasi pengintegralan Aturan substitusi Jika U = g(x) adl fungsi terdiferensialkan yang daerah nilainya berupa selang I dan f kontinu pada I, maka f (U) du = f (g(x)) g’(x) dx u du

11 1. Hitunglah

12 1. Hitunglah u=2x+1 du=2 dx dx=1/2 du

13 INTEGRAL PARSIAL Bila integral substitusi GAGAL  integral parsial
Integral parsial : suatu metode yg didasarkan pd pengintegralan rumus turunan hasilkali dari dua fungsi Andaikan u=u(x) dan v=v(x), maka Dx[u(x) v(x)] = u(x) v’(x) + v(x) u’(x) dengan mengintegralkan dua ruas, diperoleh u(x) v(x) =  u(x) v’(x) dx +  v(x) u’(x) dx

14 atau  u(x) v’(x) dx = u(x) v(x) -  v(x) u’(x) dx
krn dv=v’(x) dx dan du=u’(x)dx, persamaan menjadi: Pengintegralan Parsial Tak Tentu  u dv = u v - v du Pengintegralan Parsial Tentu

15 Gambar diagram u dv=uv-vdu

16 1. Tentukan

17 1. Tentukan u = ln x du = 1/x dx dv = dx v = x

18 INTEGRAL TRIGONOMETRI

19 INTEGRAL TRIGONOMETRI
Strategi untuk menghitung  sinmx cosnx dx Jika pangkat kosinus bil.ganjil (n=2k+1), simpan satu faktor kosinus dan gunakan cos2x=1-sin2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sinus sinm x cos2k+1 x dx = sinmx (cos2x)k cos x dx = sinmx (1-sin2x )k cos x dx kemudian substitusikan u=sinx du=cosx dx

20 2. Jika pangkat sinus bil.ganjil (m=2k+1),
simpan satu faktor sinus dan gunakan sin2x=1-cos2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam kosinus sin2k+1 x cosn x dx = (sin2x)k cosnx sin x dx = (1-cos2x)k cosnx sin x dx kemudian substitusikan u = cosx du= -sin x dx NB : Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah ganjil, gunakan point (1) atau (2)

21 3. Jika pangkat sinus maupun kosinus adalah bilangan genap, gunakan persamaan sudut-paruh
sin2x = ½ (1-cos 2x) cos2x = ½ (1+cos2x) sinx cosx = ½ sin 2x

22 1. Tentukan cos3x dx

23 untuk mempermudah dijabarkan menjadi:
1. Tentukan cos3x dx untuk mempermudah dijabarkan menjadi: cos3x = cos2x . cos x = (1-sin2x) cos x cos3x = cos2x . cos x dx = (1-sin2x) cos x dx misal : u = sin x du= cos x dx cos3x =  (1-u2) du = u - 1/3 u3 + C = sin x – 1/3 sin3x + C

24 Strategi untuk menghitung  tanmx secnx dx
Jika pangkat secan  bil.genap (n=2k), simpan satu faktor sec2x dan gunakan sec2x=1+tan2x utk menyatakan faktor yg tersisa dalam tan x tanm x sec2k x dx = tanmx (sec2x)k-1 sec2 x dx = tanmx (1+ tan2x )k-1 sec2x dx kemudian substitusikan u = tan x du=sec2 x dx

25 2. Jika pangkat tangen bil.ganjil (m=2k+1),
simpan satu faktor sec x tan x dan gunakan tan2x=sec2x-1 utk menyatakan faktor yg tersisa dalam sec x tan2k+1 x secn x dx = (tan2x)k secn-1 x sec x tan x dx =  (sec2x-1 )k secn-1x sec x tan x dx kemudian substitusikan u = sec x du=tan x sec x dx

26

27 ingat, sec2x = 1 + tan2x misal u=tan x du = sec2x dx