Upload presentasi
Presentasi sedang didownload. Silahkan tunggu
Diterbitkan olehIma Koplak Telah diubah "10 tahun yang lalu
1
Diferensial Vektor TKS 4007 Matematika III (Pertemuan III) Dr. AZ
Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Brawijaya
2
Perkalian Titik Perkalian titik dari dua buah vektor A dan B pada bidang dinyatakan oleh A.B (baca : A titik B). Secara geometri : A.B didefinisikan sebagai perkalian antara besarnya vektor-vektor A dan B dan cosinus sudut īą antara keduanya. Secara analitik : misal đ= A 1 đĸ+ A 2 đŖ dan đ= B 1 đĸ+ B 2 đŖ adalah dua vektor pada bidang sistem koordinat x dan y, maka A.B didefinisikan :
3
Perkalian Titik (lanjutan)
Sedangkan vektor pada bidang sistem koordinat x, y, dan z, dimana đ= A 1 đĸ+ A 2 đŖ+ A 3 đ¤ dan đ= B 1 đĸ+ B 2 đŖ+ B 3 đ¤, maka A.B didefinisikan : Ingat : hasil kali titik dari dua vektor menghasilkan skalar!
4
Perkalian Titik (lanjutan)
Lihat gambar berikut : Gambar tersebut menunjukkan sebuah obyek yang diberi gaya. Obyek tersebut bergerak lurus sejauh dari titik A ke titik B.
5
Perkalian Titik (lanjutan)
Usaha untuk gaya konstan tersebut dirumuskan sebagai : Dengan menggunakan definsi perkalian titik, maka diperoleh : Jadi, usaha W merupakan hasil dari perkalian titik antara gaya F dengan perpindahan r.
6
Perkalian Titik (lanjutan)
Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi perkalian titik, didapatkan :
7
Perkalian Titik (lanjutan)
Hasil perkalian titik dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :
8
Perkalian Titik (lanjutan)
Sifat-sifat perkalian titik : Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan real, maka berlaku :
9
Perkalian Titik (lanjutan)
Bukti : (i) đ.đ= A 1 đĸ+ A 2 đŖ+ A 3 đ¤ . A 1 đĸ+ A 2 đŖ+ A 3 đ¤ Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh : đ.đ= A A 2 2 = A A đ.đ= đ 2 (Terbukti!)
10
Perkalian Titik (lanjutan)
(ii) đ.đ= A 1 đĸ+ A 2 đŖ+ A 3 đ¤ . B 1 đĸ+ B 2 đŖ+ B 3 đ¤ Berdasarkan definisi secara analitik, diperoleh : đ.đ= A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 Karena A1, A2, A3, B1, B2, dan B3 adalah bilangan real, maka : A 1 B 1 = B 1 A 1 , A 2 B 2 = B 2 A 2 , dan A 3 B 3 = B 3 A 3 sehingga : đ.đ= B 1 A 1 + B 2 A 2 + B 3 A 3 đ.đ=đ.đ (Terbukti!) Pembuktian sifat (iii), (iv), (v), (vi), dan (vii) dijadikan untuk latihan!
11
Perkalian Titik (lanjutan)
Contoh : Jika A = i + 2j dan B = 2i â 3j, tentukan A . B dan sudut īą yang dibentu oleh A dan B. Penyelesaian đ.đ= đĸ+2đŖ . đđĸâ3đŖ = â3 =2â6=4 cos đ= đ.đ đ đ = â (â3) 2 = â = â =â0,47 đ=đđđ cos (â0,47) = 119,74 o
12
Perkalian Silang Perkalian silang dari dua buah vektor A dan B dinyatakan dengan đÃđ (baca : A silang B). Perhatikan gambar berikut : Tinjau rotasi sebuah partikel dalam lintasan dengan jari-jari r. Jarak yang telah ditempuh dalam selang waktu īt adalah s dengan sudut yang dibentuk adalah īą (dalam radian). Hubungan s dan īą diberikan oleh s = rīą.
13
Perkalian Silang (lanjutan)
Untuk selang waktu yang sangat kecil, maka besar kecepatan linier diberikan oleh : Besaran đ= đđ đđĄ , disebut sebagai kecepatan sudut yang arahnya diberikan oleh arah putar tangan kanan, tegak lurus bidang lingkaran. Jadi, hubungan antara kecepatan linier dengan kecepatan sudut diberikan oleh :
14
Perkalian Silang (lanjutan)
Jadi, kecepatan linier dari rotasi sebuah partikel sama dengan kecepatan sudut kali silang vektor kedudukan dari jari-jari lingkaran. Berikut ini definisi perkalian silang : Secara geometri Perkalian silang dari dua vektor A dan B adalah sebuah vektor đ=đÃđ (baca A silang B), yang besarnya adalah hasil kali antara besarnya A dan B dan sinus sudut īą antara keduanya. dengan u adalah vektor satuan yang menunjukkan arah dari đÃđ.
15
Perkalian Silang (lanjutan)
Secara analisis Misal đ= A 1 đĸ+ A 2 đŖ+ A 3 đ¤ dan đ= B 1 đĸ+ B 2 đŖ+ B 3 đ¤, maka perkalian silang dari dua vektor A dan B didefinisikan sebagai berikut :
16
Perkalian Silang (lanjutan)
Perkalian Vektor-vektor Satuan Dengan menggunakan definisi perkalian silang, didapatkan :
17
Perkalian Silang (lanjutan)
Hasil perkalian silang dari vektor satuan-vektor satuan pada bidang dapat disimpulkan dalam bentuk tabel berikut :
18
Perkalian Silang (lanjutan)
Sifat-sifat perkalian silang : Jika A, B, dan C adalah tiga buah vektor dan m adalah bilangan real, maka berlaku :
19
Perkalian Silang (lanjutan)
Bukti : Misal đ= A 1 đĸ+ A 2 đŖ+ A 3 đ¤, đ= B 1 đĸ+ B 2 đŖ+ B 3 đ¤ dan đ= C 1 đĸ+ C 2 đŖ+ C 3 đ¤, maka : (ii)
20
Perkalian Silang (lanjutan)
(iv) Pembuktian sifat (i), (iii), (v), dan (vi) dijadikan untuk latihan!
21
Perkalian Silang (lanjutan)
Contoh : Jika A = 2i - 2j + k dan B = 3i + j + 2k, tentukan A G B dan sudut īą yang dibentu oleh A dan B. Penyelesaian
22
Perkalian Silang (lanjutan)
Jadi sudut antara A dan B adalah 57,69o.
23
Latihan 1. 2. 3. 4.
24
Terima kasih dan Semoga Lancar Studinya!
Presentasi serupa
© 2024 SlidePlayer.info Inc.
All rights reserved.