Pendahuluan http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif.

Presentasi berjudul: "Pendahuluan http://www.speakeasy.org/~sdupree/astrophysics/supernova.gif."— Transcript presentasi:

1 Pendahuluan

2 Apakah astrofisika itu ?
Penerapan ilmu fisika pada alam semesta/benda-benda langit Informasi yang diterima Cahaya (gelombang elektromagnet) Pancaran gelombang elektromagnet dapat dibagi dalam beberapa jenis, bergantung pada panjang gelombangnya () Pancaran gelombang radio, dengan  antara beberapa milimeter sampai 20 meter Pancaran gelombang inframerah, dengan  ≈ 7500 Å hingga sekitar 1 mm (1 Å = 1 Angstrom = 10-8 cm)

3 Pancaran gelombang optik atau pancaran kasatmata dengan  sekitar 3 800Å sampai 7 500 Å
Panjang gelombang optik terbagi dlm beraneka warna: merah  : – Å merah oranye  : – Å oranye  : – Å kuning  : – Å kuning hijau  : – Å hijau  : – Å hijau biru  : – Å biru  : – Å biru ungu  : – Å ungu  : – Å

4 Pancaran gelombang ultraviolet, sinar X dan sinar  mempunyai  < 3 500 Å
Pancaran gelombang elektromagnet mulai dari sinar Gamma sampai dengan pancaran radio

5 Jendela Optik teleskop optik balon, satelit Jendela Radio teleskop radio satelit balon, satelit Ketinggian Sinar-X Sinar Gamma UV Kasat Mata Infra-merah Gel.Mikro Radio Permukaan Laut ozon (O3) molekul ,atom, inti atom molekul (H2O, CO2) Pancaran gelombang yang dapat menembus atmosfer Bumi adalah panjang gelombang kasatmata dan panjang gelombang radio

6 Dengan mengamati pancaran gelombang elektromagnet kita dapat mempelajari beberapa hal yaitu,
Arah pancaran. Dari pengamatan kita dapat menga-mati letak dan gerak benda yang memancarkannya Kuantitas pancaran. Kita bisa mengukur kuat atau ke-cerahan pancaran Kualitas pancaran. Dalam hal ini kita bisa mempe-lajari warna, spektrum maupun polarisasinya

7 Gerak Dua Benda

8 ? Bulan bergerak mengedari bumi Buah durian jatuh ke bumi
Apakah ada kesamaan Antara durian dan bumi terjadi gaya tarik gravitasi Antara bumi dan bulan terjadi gaya tarik gravitasi ada ! Hukum Gravitasi Newton Sebagai hukum yang mengatur gerak dalam alam semesta

9 Hukum Gravitasi Newton
Menurut Newton, Antara dua benda yang massanya masing-masing m1 dan m2 dan jarak antara keduanya adalah d akan terjadi gaya tarik gravitasi yang besarnya, G m1 m2 F =  d2 Sir Isaac Newton (1643 – 1727) (1-1) bersifat tarik menarik m1 F F m2 gaya G = tetapan gravitasi = 6,67 x 10-8 dyne cm2/g2 d

10 Menentukan massa Bumi Semua benda yang dijatuhkan dekat permukaan Bumi akan bergerak dengan percepatan g = 980,6 cm/s2 Jadi pada benda akan bekerja gaya sebesar, F =  mg (1-2) percepatan gaya gravitasi massa benda Dari persamaan (1-1) : massa Bumi F =  G M m R2 G m1 m2 F =  d 2 (1-3) radius Bumi

11 Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km
Dari pers. (1-2) : F =  mg R2 G M g = . . . (1-4) G M m F =  R2 dan pers. (1-3) : Radius bumi di ekuator : a = 6378,2 km b a Radius bumi di kutub : b = 6356,8 km 4  3 Volume bumi = (a2b) (1-5) R Jika bumi berbentuk bundar sempurna maka volume Bumi adalah, 4  3 V = R3 (1-6)

12 4  3 V = (a2b) Dari pers. (1-5) : R = (a2b)1/3 4  3 V = R3 Dari pers. (1-6) : Radius bumi rata –rata : R = [(6378,2 )2 (6356,8)]1/3 = 6371,1 km = 6,37 x 108 cm R2 G M g = Masukan harga g, G dan R ke pers (1-4) : diperoleh, G g R2 M = (980,6)(6,37 x 108)2 (6,67 x 10-8) = = 5,98 x 1027 gr

13 4  3 V = R3 Dari pers. (1-6) : diperoleh volume Bumi, V = (6,37 x 108)3 4  3 = 1,08 x 1027 cm3 dan massa jenis bumi rata-rata adalah, M V  = = 5,98 x 1027 1,08 x 1027 = 5,52 gr/cm3

14 Gerak Bulan Mengedari Bumi
Mengikuti hukum Newton Bulan Bumi Karena M  1/100 M, maka massa bulan dapat diabaikan. Percepatan bulan terhadap bumi adalah, d 2 G M a = d (1-7) a v jarak Bumi - Bulan

15 Andaikan orbit Bulan berupa lingkaran dengan radius d, dan dengan kecepatan melingkar v yang tetap, maka percepatan sentripetal Bulan adalah, a = v2/d (1-8) d 2 G M a = Subtitusikan pers. (1-8), ke pers. (1-7) : G M d = d 2 v2 diperoleh, (1-9) Apabila periode orbit Bulan mengelilingi bumi adalah P maka, P 2 d v = (1-10)

16 d 2 G M d = v2 Selanjutnya subtitusikan pers.(1-9) : P 2 d v = ke pers. (1-10) : d 3 P 2 G M 4 2 = (1-11) diperoleh, Dari pengamatan diketahui bahwa periode Bulan mengelilingi Bumi adalah, P = 27,3 hari = 2,36 x 106 detik Jarak Bum1-Bulan adalah, d = km = 3,84 x 1010 cm

17 Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers
Apabila periode bulan dan jarak bumi bulan dimasukan ke pers. (1-11), maka akan diperoleh massa Bumi yaitu, M  6,02 x 1027 gr Hasil ini sama dengan yang ditentukan berdasarkan benda yang jatuh dipermukaan Bumi, yaitu M  5,98 x 1027 gr Kesimpulan : Buah durian jatuh ke bumi Bulan bergerak mengedari bumi Disebabkan oleh gaya yang sama yaitu gaya gravitasi

18 Percepatan Bulan terhadap Bumi
Dari pers (1-7) dapat ditentukan percepatan Bulan terhadap Bumi akibat gaya gravitasi yaitu, (6,67 x 10-8)(5,97 x 1027) (3,84 x 1010) d 2 a = = = 0,27 cm/s2 G M jarak Bumi – Bulan = 3,84 x 1010 cm

19 Gaya gravitasi di permukaan Bulan
Massa bulan = 0,0123 kali massa Bumi Diameter Bulan = 0,27 kali diameter Bumi Dengan menggunakan persamaan (1-4) untuk Bulan, maka gaya gravitasi dipermukaan Bulan dapat ditentukan yaitu, G M R2 g= massa bulan radius bulan = 165,72 cm/s2 (6,67 x 10-8)( 0,0123 x 5,98 x 1027) g= (0,27 x 6,37 x 108)2 = 0,17 kali gaya gravitasi dipermukaan Bumi

20 Gaya gravitasi di permukaan beberapa benda langit
Objek Massa (Bumi = 1) Diameter (Bumi = 1) Gravitasi (Bumi = 1) Bulan 0,0123 0,27 0,17 Venus 0,81 0,95 0,91 Mars 0,11 0,53 0,38 Jupiter 317,9 11,20 2,54 Matahari 109,00 28,10

21 Berat benda di permukaan Bumi
Berat benda di permukaan bumi dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan berikut, G M m R2 W = massa benda berat benda (gaya gravitasi yang dirasakan oleh benda)  weight Contoh : Berat sebuah benda di permukaan Bumi adalah 100 N, berapakah berat benda tersebut pada ketinggian km di atas permukaan bumi ?

22 Jawab : Misalkan berat benda di permukaan bumi adalah W1 = 100 N, maka
G M m R2 () Apabila W2 adalah berat benda pada ketinggian km (= 2,5 x 109 cm) di atas permukaan bumi, maka (R + 2,5 x 109)2 W2 = G M m ()

23 Dari pers () dan () diperoleh,
(R + 2,5 x 109)2 W2 = W1 R2 () Jika harga R = 6,37 x 108 cm, dan harga W1 = 100 N dimasukan ke pers () maka akan diperoleh, (6,37 x ,5 x 109)2 W2 = (100)(6,37 x 108) 2  4 N

24 Hukum Kuadrat Kebalikan
Untuk menentukan besarnya gravitasi di suatu tempat dapat kita gunakan hukum kuadrat kebalikan G m M F =  d 2 Dari pers. (1-1) : d 2 G M g = Dari pers. (1-2) : F = - mg d 12 G M g1 = Untuk g1 : d 1 g2 = d 2 g1 2 (1-12) d 22 G M g2 = Untuk g2 :

25 Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian 25 000 km, maka
Contoh : Percepatan gravitasi dipermukaan bumi (di permuka-an laut) adalah 980 cm/s2. Tentukanlah percepatan di ketinggian km di atas permukaan Bumi. Jawab : Misalkan g2 adalah gravitasi pada ketinggian km, maka d 2 d 1 g2 = g1 2 g1 = gravitasi dipermukaan bumi = 980 cm/s2 d1 = radius bumi= R = 6,37 x 108 cm d2 = R km = 3,14 x 109 cm

26 d 1 d 2 g2 = g1 2 3,14 x 109 6,37 x 108 = (980) = 40,41 cm/s2 Jadi, Pesawat ruang angkasa Galileo berada pada jarak km dari pusat planet Jupiter, sedangkan pesawat pengorbitnya berada pada ketinggian km. Tentukanlah besarnya percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo dinyatakan dalam percepatan gravitasi pengorbitnya.

27 g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo
Jawab : Misalkan : g1 = percepatan gravitasi pesawat ruang angkasa Galileo d1 = ketinggian pesawat ruang angkasa Galileo = km g2 = percepatan gravitasi pesawat pengorbit d2 = ketinggian pesawat pengorbit = km d 1 d 2 g1 = g2 2 = g2 = 9 g2 maka

28 Satuan Gaya Dari pers. (1-2) : F = mg
Jika massa (m) dinyatakan dalam kg dan percepatan (g) dinyatakan dalam m/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam, F = (kg)(m/s2) = kg m/s2 = Newton (N) Jika massa (m) dinyatakan dalam gr dan percepatan (g) dinyatakan dalam cm/s2, maka gaya (F) dinyatakan dalam, F = (gr)(cm/s2) = gr cm/s2 = dyne 1 Newton = 105 dyne

29 Contoh : Massa sebuah benda adalah 75 kg, berapakah gaya yang dirasakan oleh benda tersebut (berat benda) di permukaan Bumi, Bulan dan Planet Jupiter ? Jawab : F = mg g di Bumi = 9,8 m/s2 g di Bulan = 0,17 x g di Bumi = 0,17 x 9,8 = 1,67 m/s2 g di Jupiter = 2,54 x g di Bumi = 2,54 x 9,8 = 24,89 m/s2 Jadi : F di Bumi = (75)(9,8) = 735 kg m/s2 = 735 N F di Bulan = (75)(1,67) = 125,25 kg m/s2 = 125,25 N F di Jupiter = (75)(24,89) = 1 866,75 kg m/s2 = 1 866,75 N

30 Hukum Gerak Dua Benda m1 m2 m1 =  G
Tinjau dua benda dengan massa benda kesatu adalah m1 dan massa benda kedua adalah m2. Koordinat kartesius kedua benda masing-masing adalah (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) dan jarak kedua benda adalah r Berdasarkan Hukum Newton, pada benda ke-1 akan bekerja gaya : m1(x1, y1, z1) x y z r m2(x2, y2, z2) m =  G d 2r d t 2 m1 m2 r 2 . . (1-13)

31 Gaya ini dapat diuraikan dalam komponen arah sumbu x, y, dan z, yaitu :
d 2x1 m =  G m1 m2 d t 2 x1  x2 r 3 (1-14a) d 2y1 m =  G m1 m2 d t 2 y1  y2 r 3 (1-14b) d 2z1 m =  G m1 m2 d t 2 z1  z2 r 3 (1-14c)

32 m1 m2 m2 =  G m2 =  G m1 m2 m2 =  G m1 m2 m2 =  G m1 m2
Hal yang sama juga berlaku untuk benda kedua, yaitu dengan menguraikan gaya : m =  G d 2r d t 2 m1 m2 r 2 (1-15) dalam arah x, y, z, diperoleh : d 2x2 m =  G m1 m2 d t 2 x2  x1 r 3 (1-16a) d 2y3 m =  G m1 m2 d t 2 y2  y1 r 3 (1-16b) d 2z2 m =  G m1 m2 d t 2 z2  z1 r 3 (1-16c)

33 Keenam persamaan diferensial tersebut merupakan persamaan gerak benda.
Jika keenam persamaan diferensial tersebut dapat dipecahkan, koordinat kedua benda (x1,y1,z1) dan (x2,y2,z2) sebagai fungsi waktu t dapat ditentukan. kedudukan benda setiap saat dapat ditentukan. Keenam persamaan gerak benda di atas adalah persamaan diferensial orde ke-2, terdapat 12 tetapan integrasi.

34 Ke-12 tetapan integrasi tersebut, dapat ditentukan dari dari keadaan awal kedua benda tersebut yaitu, 6 koordinat kedudukan awal (3 koordinat x, y, z untuk masing-masing benda yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2) 6 komponen kecepatan awal (3 komponen untuk masing-masing benda, yaitu x1, y1, z1 dan x2, y2, z2).

35 Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu
Persoalan ini dapat disederhanakan dengan meng-anggap benda pertama diam dan dianggap sebagai pusat koordinat Jadi sekarang hanya diperlukan enam tetapan, yaitu tiga koordinat kedudukan awal tiga komponen kecepatan awal benda yang bergerak Sekarang dapat dituliskan : x = x2 – x1 (1-17a) z y = y2 – y1 (1-17b) m2(x, y, z) z = z2 – z1 (1-17c) m1 y dan definisikan, x M = m1 + m2 (1-18)

36 Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers
Dengan menggunakan definisi (1-17) dan (1-18) pada pers. (1-14a) dan (1-16a), diperoleh d 2x =  G M d t 2 x r 3 (1-19a) Dengan cara yang sama diperoleh komponen pada arah y dan z, yaitu d 2y =  G M d t 2 y r 3 (1-19b) d 2z =  G M d t 2 z r 3 (1-19c)

37 Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers
Selanjutnya, kalikan pers. (1-19a) dengan y dan pers. (1-19b) dengan x dan kurangkan keduanya. d 2x =  G M d t 2 x r 3 Pers. (1-19a) : x y d 2y =  G M d t 2 y r 3 x x Pers. (1-19b) : d 2x y =  G M d t 2 xy r 3 d 2y x =  G M d t 2 xy r 3 x  y = 0 d 2y d t 2 d 2x (1-20)

38 Pers. (1-20) dapat dituliskan sebagai,
x  y = 0 d y d t d x d (1-21) Integrasikan persamaan (1-21), akan diperoleh, x  y = a1 d y d t d x (1-22a) tetapan integrasi Dengan cara yang sama diperoleh, y  z = a2 d z d t d y (1-22b) z  x = a3 d x d t d z (1-22c)

39 Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan
Pers. (1-22a) : x z x  y = a1 d y d t d x Pers. (1-22b) : x x y  z = a2 d z d t d y Pers. (1-22c) : x y z  x = a3 d x d t d z xz  yz = a1z d y d t d x xy  xz = a2x d z d t d y yz  xy = a3y d x d t d z

40 xz  yz = a1z d y d t d x xy  xz = a2x d z d t d y yz  xy = a3y d x d t d z + a1z + a2x + a3y = 0 (1-23) Ini adalah persamaan sebuah bidang datar Orbit benda, terletak pada sebuah bidang datar.

41 Selanjutnya lakukan perkalian berikut, dan kemudian jumlahkan hasilnya
2 d 2x =  G M d t 2 x r 3 Pers. (1-19a) : dx d t d 2y =  G M d t 2 y r 3 Pers. (1-19b) : x d y 2 d t d 2z =  G M d t 2 z r 3 Pers. (1-19c) : x d t d z 2 d 2x =  G M d t 2 x r 3 dx 2 d t d 2y =  G M d t 2 y r 3 dy 2 d t d 2z =  G M d t 2 z r 3 dz 2 d t

42 d 2x =  G M d t 2 x r 3 dx 2 d t d 2y =  G M d t 2 y r 3 dy 2 d t d 2z =  G M d t 2 z r 3 dz 2 d t + 2GM r3 x y z dx d t dy dz = d 2x dt 2 dt d 2y d 2z

43 Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh,
atau 2GM r3 x y z dx dt dy dz = d 2 (1-24) Jarak antara kedua benda dinyatakan oleh, (1-25) r2 = x2 + y2 + z2 Apabila pers. (1-25) diturunkan, akan diperoleh, r = x y z dx d t dy dz dr (1-26)

44 Kecepatan benda dinyatakan oleh,
v2 = dx d t 2 dy (1-27) r = x y z dx d t dy dz dr Subtitusikan pers. (1-26) : dan (1-27) ke pers. (1-24) : 2GM r3 x y z dx dt dy dz = d 2 diperoleh, 2GM r2 dr d t = dv2 (1-28)

45  Integrasikan pers. (1-28), =  dv2 d t 2GM r2 dr v 2 = + h 2GM r
v r =  dv2 d t 2GM r2 dr v 2 = h 2GM r (1-29) diperoleh, tetapan integrasi Misalkan energi potensial gravitasi benda kedua adalah G m2 M r V = (1-30)

46 dan energi kinetiknya adalah,
T = m2 v2 1 2 (1-31) v2 = h 2GM r Subtitusikan pers. (1-29) : ke pers. (1-31), diperoleh T = m h = m2h 1 2 2GM r G m2 M . . (1-32)

47 Jumlahkan pers. (1-30) dengan pers. (1-32),
G m2 M r V = Pers. (1-30) : T = m2h 1 2 G m2 M r Pers. (1-32) : + T + V = m2 h  1 2 G m2 M r 1 2 = m2 h (1-33) = h’ Persamaan ini mengatakan bahwa energi total benda kedua selalu tetap selama mengorbit benda pertama.

48 Hukum Kepler Orbit planet mengelilingi matahari tidak berbentuk lingkaran tetapi berbentuk elips dengan matahari di titik fokusnya Matahari Johannes Kepler (1571 – 1630) aphelion Planet perihelion

49 Vektor radius (garis hubung matahari – planet) dalam selang waktu yang sama akan menyapu luas daerah yang sama. Hukum Luas dt Matahari r Planet d dt d dt r2 = c (konstan)

50 Kuadrat periode planet mengitari matahari sebanding dengan pangkat tiga setengah sumbu besar elips
1 Periode = peredaran planet mulai dari titik A sampai kembali lagi ke titik A Matahari A a Planet b Setengah sumbu panjang P2  a3

51 Bukti Hukum Kepler Hukum Kepler adalah hukum empiris, tapi bisa dibuktikan dengan hukum Gravitasi Newton. Bukti : Sebagai penyederhanaan, ambil bidang gerak (bidang orbit) dalam bidang (x, y). Gerak benda hanya ditentukan oleh dua persama-an yang mengandung variabel x dan y, yaitu, d 2x =  G M d t 2 x r 3 Pers. (1-19a) : dan d 2y =  G M d t 2 y r 3 Pers. (1-19b) :

52 Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh :
Sama seperti di bagian yang lalu, persamaan (1.19a) dikalikan dengan y dan persamaan (1.19b) dengan x, kemudian kurangkan, Hasilnya adalah, x  y = 0 d y d t d x d Pers. (1-21) : Selanjutnya integrasikan pers. (1-21), maka diperoleh : x  y = c d y d t d x Per. (1-22a) : tetapan integrasi Langkah selanjutnya adalah, lakukan perkalian berikut,

53  2 d 2x =  G M d t 2 x r 3 Pers. (1-19a) :  dx d t d 2y =  G M
Pers. (1-19b) :  d y 2 d t d 2x =  G M d t 2 x r 3 dx 2 d t d 2y =  G M d t 2 y r 3 dy 2 d t  2GM r3 x y dx d t dy = d 2x dt 2 dt d 2y

54 Jarak antara kedua benda adalah, . . . . . . . . . . . . (1-35)
dt 2GM r3 x y dx dy = 2 . . (1-34) atau Jarak antara kedua benda adalah, (1-35) r2 = x2 + y2 Turunkan persamaan (1.35) diperoleh, r = x y dx d t dy dr (1-36) Selanjutnya integrasikan persamaan (1.34), d dt 2 x y dx dy = 2 r3 GM r dr d t

55 Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),
 = h dx dt 2 dy r GM diperoleh, (1-37) tetapan integrasi Sekarang ubah sistem koordinat kartesius ke sistem koordinat polar dengan mendefinisikan = cos θ  r sin θ dx dt dr dθ x = r cos θ = sin θ r cos θ dy dt dr dθ y = r sin θ Masukkan definisi ini ke persamaan (1-22a),

56 x  y = c d y d t d x Per. (1-22a) : r cos θ r sin θ sin θ r cos θ = dr dt dθ = cos θ r sin θ dr dt dθ r = c dθ dt (1-38) diperoleh = 1 dt d c r 2 atau (1-39)

57 Dengan cara yang sama kita lakukan ke pers. (1.37), dan hasilnya,
+ r = h 2 r dr dt 2 d (1-40) dengan,  = G M (1-41) = 1 dt d c r 2 Masukan pers. (1-39) : ke pers. (1-40), diperoleh dr d 1 r 4 r 2 2 c 2 r 2   = 0 h c2 (1-42)

58 Jika kita definisikan :
u =   c2 1 r Jika kita definisikan : Kemudian dimasukkan ke   = 0 dr d 1 r 4 r 2 2 c 2 r 2 h c2 Pers. (1-42) : + u 2= H 2 dr d 2 maka diperoleh, (1-43) H 2 = =tetapan h c2  2 c 4 dengan (1-44) Pemecahan persamaan (1-43) adalah : u = H cos ( - ) (1-45) tetapan integrasi

59 Masukkan harga u (pers. 1-45) dan H (pers. 1-44) ke pers. (1-43),
+ u 2= H 2 dr d 2 Pers. (1-43) : H 2 = = tetapan h c2  2 c 4 Pers. (1-44) : Pers. (1-45) : u = H cos ( - ) = cos (  )  c2 1 r hc2  2 . . (1-46) diperoleh, c 2 /  r = cos (  ) hc2  2 (1-47) atau

60 Persamaan irisan kerucut
 c 2 p = (1-48) Kita didefinisikan : 1/2 e = 1 + hc  (1-49)  = (  ) (1-50) Jika ketiga pers. ini kita subtitusikan ke c 2 /  r = cos (  ) hc2  2 Pers. (1-47) : 1 + e cos  p r = (1-51) akan diperoleh, Persamaan irisan kerucut

61 Suatu irisan kerucut dapat berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola.
Karena elips adalah suatu irisan kerucut, maka hasil ini merupakan pembuktian Hukum Kepler I Dengan demikian, pembuktian Hukum Kepler I berdasarkan pada persamaan (1-51), yaitu persamaan irisan kerucut. 1 + e cos  p r = Parameter p disebut parameter kerucut Parameter e disebut eksentrisitas Parameter  disebut anomali benar

62 Arti geometri dari parameter ini diperlihatkan pada gambar berikut
(Perifokus)   ω Garis potong bidang orbit dan bidang langit m1 a e p a (Apfokus) A Setengah jarak AB disebut setengah sumbu besar, dituliskan a yang harganya diberikan oleh : (1-52) p = a (1 – e 2)

63 Benda pusat terletak pada titik fokus orbit
  ω p A B m1 m2 a a e Garis potong bidang orbit dan bidang langit (Apfokus) (Perifokus) Perhatikan : Benda pusat terletak pada titik fokus orbit Sudut  menunjukkan kedudukan titik perifokus terhadap suatu garis acuan tertentu (dalam hal ini garis potong bidang orbit dengan bidang langit)

64 1 + e cos  p r = Dari pers. (1-51) : jika e < 1  orbit berupa elips jika e = 1  orbit berupa parabola jika e > 1  orbit berupa hiperbola karena (pers. 1-52) : p = a (1 – e 2) maka, Titik perifokus dicapai apabila  = 0o  r = a (1 – e) Titik apfokus dicapai apabila  = 180o  r = a (I + e)

65 Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka
  ω p A B m1 m2 a a e Garis potong bidang orbit dan bidang langit Perihelion Aphelion Apabila m1 adalah Matahari dan m2 adalah planet, maka titik terjauh dari Matahari disebut Aphelion titik terdekat disebut Perihelion

66 titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron
  ω p A B m1 m2 a a e Garis potong bidang orbit dan bidang langit Periastron Apastron Apabila sistem ini adalah sistem bintang ganda dengan m1 adalah bintang ke-1 dan m2 adalah bintang ke-2, maka titik terjauh dari bintang ke-1 disebut Apastron titik terdekat disebut Periastron

67 Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh :
r = c dθ dt Dari persamaan (1-38) : Jika kedua ruas dikalikan dengan ½, maka diperoleh : r = c dθ dt 1 2 (1-53) luas segitiga yg disapu oleh vektor radius r dlm waktu dt Bukti Hukum Kepler II

68 Integrasikan persamaan (1-53) :
r = c dθ dt 1 2 Integrasikan persamaan (1-53) : r 2 d = c dt 1 2 P Periode Orbit A =  a2 (1 – e2)1/2 Luas elips  a2 (1 – e2)1/2 = c P 1 2 Dengan demikian : atau c P =  a2 (1 – e2)1/2 (1-54) = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2

69 Masukkan p = a (1 – e2) ke pers. (1-54) : c P = 2 a3/2 a1/2(1 – e2)1/2 diperoleh, c P = 2 a3/2 p1/2 (1-55) Selanjutnya masukan pers. p = c2/ ke pers. (1-55), diperoleh, c P = 2 a3/2 c 1/2 P = 2 a3/2 1 1/2 Kuadratkan pers. di atas akan diperoleh, P2 = 4 2 a3  = a3 P2  4 2 (1-56)

70 Masukkan pers. (1-18) : M = m1 + m2 dan pers. (1-41) :  = G M = a3 P2  4 2 ke pers. (1-56) : = (m1 + m2) a3 P2 G 4 2 diperoleh, (1-57) Dalam kasus planet mengelilingi Matahari, m1 adalah massa matahari (M) m2 adalah massa planet Karena m2 << m1 (massa planet terbesar, yaitu Jupiter, hanya 0,001 M), maka persamaan (1-57) menjadi :

71 = M a3 P2 G 4 2 (1-58) Bukti Hukum Kepler III Hukum Kepler bukan hanya berlaku untuk planet dalam mengedari matahari saja tetapi juga berlaku untuk : Bumi dengan satelit-satelit buatan Planet dengan satelit-satelitnya Sistem bintang ganda dan lainnya

72 Contoh : Sebuah satelit buatan mengorbit Bumi dalam orbit yang hampir berupa lingkaran. Apabila radius orbitnya adalah km, tentukanlah periode orbit satelit tersebut. Jawab : Karena massa bumi jauh lebih besar daripada massa satelit maka menurut Hk Kepler III 4 2 a 3 G M P = 0,5 a 3 P 2 4 2 G M = Diketahui, M = 5,98 x 1027 gr, a = 9,6 x 109 cm dan G = 6,67 x 10-8 dyne cm2/gr2

73 Jadi (6,67 x 10-8) (5,98 x 1027) 4 2 (9,6 x109)3 P = 0,5 = ,24 det = 3,42 hari

74 Tentukanlah periode orbit Bumi jika massa matahari 8 kali lebih besar dari massa sekarang dan radius orbit Bumi dua kali daripada radius sekarang (andaikan orbit Bumi berupa lingkaran) Jawab : Misalkan : M1 = massa matahari sekarang M2 = 8 M1 a1 = radius orbit bumi sekarang a2 = 2 a1 4 2 G M = a 3 P 2 Karena M>> M maka

75 Jadi periodenya sama dengan periode sekarang
4 2 G M1 = M2 M1 P2 = P1 a1 a2 0,5 1,5 a23 P22 4 2 G M2 = M1 8M1 0,5 8 P2 = P1 a1 2a1 1,5 = 2 1 = (2,83)(0,3535) P1 = P1 Jadi periodenya sama dengan periode sekarang

76 Soal Latihan : Statsiun ruang angkasa Rusia Mir mengorbit bumi setiap 90 menit sekali pada ketinggian 250 km. Statsiun ruang angkasa ini diluncurkan pada tanggal 20 Februari Setelah beberapa tahun di ruang angkasa, statsiun ruang angkasa ini ditinggalkan dan secara perlahan-lahan jatuh ke Bumi pada tanggal 10 Maret 2001. Berapakalikah statsiun ruang angkasa ini mengelilingi Bumi sebelum jatuh ke Bumi? Berapakah jarak yang ditempuh statsiun ruang angkasa ini ? (Ketinggian Mir diabaikan relatif terhadap radius Bumi)

77 Berapakalikah gaya gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap pesawat ruang angkasa Ulysses yang berjarak 2,3 AU dari Matahari dibandingkan dengan percepatan gravitasi yang disebabkan oleh Matahari terhadap planet Jupiter yang berjarak 5,2 AU dari Matahari? Teleskop ruang angkasa Hubble mengorbit Bumi setiap 1,5 jam sekali pada ketinggian 220 km, Jika kamu akan menempatkan satelit komunikasi di ruang angkasa, pada ketinggian berapakah satelit tersebut harus ditempatkan supaya satelit bisa mengedari Bumi setiap 24 jam sekali? (Satelit semacam ini disebut satelit Geosyncronous karena satelit selalu berada di suatu titik yang tetap di atas Bumi)

78 Salah satu satelit Jupiter yaitu Io mempunyai massa yang sama dengan Bulan (satelit Bumi), dan juga Io mengorbit Jupiter pada jarak yang sama dengan Bulan mengorbit Bumi. Akan tetapi Io mengelilingi Jupiter dalam satu putaran lamanya 1,8 hari, sedangkan Bulan mengelilingi Bumi dalam waktu 27,3 hari. Dapatkah kamu menjelaskan mengapa terjadi perbedaan ini? Jika Io yang berjarak km dari Jupiter memerlukan waktu 1,8 hari untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter, berapakah waktu yang diperlukan oleh Europa (satelit Jupiter yang lain) yang berjarak km dari Jupiter untuk melakukan satu putaran mengelilingi Jupiter?

79 Lanjut ke Bab II Kembali ke Daftar Materi