GRUP FAKTOR.

Presentasi berjudul: "GRUP FAKTOR."— Transcript presentasi:

1 GRUP FAKTOR

2 Koset aS dapat digunakan untuk membentuk sistem aljabar yang baru.
Misalkan S grup bagian dari grup G. Dapat dibentuk himpunan semua koset kiri dari S yaitu { aS | a dalam G }. Anggota G yang berbeda dapat saja membentuk koset yang sama. Untuk itu diperlukan cara untuk menguji kesamaan dari dua koset.

3 Teorema IX.1 Koset aS dan bS sama jika dan hanya jika b –1a  S. aS = S jika hanya jika a  S. Bukti : Jika diketahui aS = bS maka a = ae = bs untuk suatu s dalam S. Dengan kedua ruas dengan b –1 maka dapat b –1a = s yang berada dalam S.

4 Diketahui b –1a dalam S. Tulis b –1a = S. Didapat a = bs atau b = as –1 Hal ini berarti, sebarang pergandaan as haruslah sama dengan ( bs )s = b(ss) dan sebarang pergandaan bs = (as-1 )s = a(s-1 s). Oleh karena itu dengan sifat ketertutupan S, sebarang as sama dengan b digandakan dengan suatu elemen S dan sebarang bs sama dengan a digandakan dengan sebarang anggota S. Akibatnya aS bS dan bS aS. Berarti aS = bS.

5 Karena eS = S maka dengan menggunakan sifat (1) di atas didapat bahwa eS = S jika hanya jika a dalam S. Definisi IX.1 Aturan * dikatakan terdefinisikan dengan baik (well-defined) jika a = a dan b = b maka berakibat a*b = a*b.

6 Contoh IX.1 Diketahui himpunan bilangan rasional Q dan didefinisikan aturan pada Q dengan a/b c/d = (a+c) / (b+d) a/b, c/d dalam Q. Karena pada satu sisi 1/2 = 3/6 dan pada sisi lain (1/2)  ( 1/3 ) = (1+1) / (2+3) = 2/5 (3/6)  (1/3) = (3+1) / (6+3) = 4/9 maka tidak terdefinisikan dengan baik.■

7 Teorema IX.2 Pergandaan koset aS . bS = abS terdefinisikan dengan baik jika dan hanya jika S grup bagian normal dari grup G. Definisi IX.2 Misalkan S grup bagian normal dari grup G. Himpunan G/S yang dibaca “G dan S” didefinisikan dengan : G/S = { a S | a  G } Dengan operasinya mempunyai aturan aS bS = ab S.

8 Teorema IX.3 Sistem G/S yang merupakan grup. Karena G/S merupakan grup maka grup G/S sering dinamakan grup faktor (factor group). Jika G grup terhadap penjumlahan maka kosetnya ditulis dengan a + S, b + S,…dan operasi dalam G/S adalah (a + S) + (b + S) = (a + S) + S. Dalam grup G/S anggota identitasnya adalah 0 + S dan invers dari a + S adalah –a + S.

9 Contoh IX.2 : Diketahui himpunan bilangan bulat Z grup dan (6) = {…, -12, -6, 0, 6, 12,…} grup bagian dari Z. Akan ditunjukkan bahwab Z6 isomorfis dengan Z/(6). Grup faktor Z/(6) = {0 + (6), 1 + (6), 2 +(6), 3 +(6), 4 +(6), 5 +(6) }. Didefinisikan fungsi f : G  Z/(6) dengan f(a + (6)) = a dengan 0  a < 5. Dapat dibuktikan bahwa fungsi f merupakan isomorfisma. ■

10 Contoh IX.3 : Diketahui Z8* = { 1, 3, 5, 7 }. Didefinisikan pemetaan f : Z8*  Z8* dengan f(x) = x2. Berarti f(1) = f(3) = f(5) = f(7) = 1. Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f tidak injektif dan tidak surjektif. Im(f) = { 1 } dan Ker(f) = Z8*. Grup faktor Z8*/K = { aK | a  Z8* } = { K} = { Z8* } = { {1, 3, 5, 7} } sehingga grup faktor tersebut hanya mempunyai 1 elemen atau mempunyai order 1.

11 Contoh IX.4 : Diketahui Z10* = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikan pemetaan f : Z10*  Z10* dengan f(x) = x2. Berarti f(1) = f(9) = 1, f(7) = 9 = f(3). Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f tidak injektif dan tidak surjektif. Im(f) = { 1, 9 } dan K = Ker(f) = { 1, 9}. Grup faktor Z10*/K = { aK | a  Z10* } = { 1K, 3K } = { {1, 9}, { 3, 7} }. Dalam grup faktor ini mempunyai order 2 dan K berfungsi sebagai elemen identitas sedangkan elemen lainnya adalah 3K yang mempunyai order 2 sehingga merupakan grup siklik.

12 Contoh IX.5 : Diketahui Z10* = { 1, 3, 7, 9 }. Didefinisikan pemetaan f : Z10*  Z10* dengan f(x) = x3. Berarti f(1) = 1, f(3) = 7, f(7) = 3, f(9) = 9. Mudah dibuktikan bahwa f automorfisma. Pemetaan f bijektif . Im(f) = { 1, 3, 7, 9 } = Z10* dan K = Ker(f) = { 1}. Grup faktor Z10*/K = { aK | a  Z10* } = { 1K, 3K, 7K, 9K} = { {1}, {3}, {7}, {9} }. Dalam grup faktor ini mempunyai order 4, K berfungsi sebagai elemen identitas. Elemen 9K mempunyai order 2. Elemen 3K dan 7K mempunyai order 4 sehingga merupakan Z10*/K grup siklik.

13

14 Teorema IX.4 Untuk sebarang integer positif n berlaku (aS)n = an S. Bukti : Akan dibuktikan dengan prinsip induksi. Untuk n = 1 , berlaku (aS)1 = a1S. Berarti teorema benar untuk n = 1. Dianggap bahwa teorema benar untuk n = k. Berarti (aS)k = ak S. Untuk n = k + 1, berlaku (aS)k+1 = (aS) (aS)k = (aS) (akS) = (a . ak)S = ak+1 S. Terbukti bahwa teorema benar untuk semua bilangan bulat positif n.■

15 Teorema IX.5 Misalkan G/S sebarang grup faktor. Jika G berhingga maka orde G/S sama dengan |G| / |S|. Jika G siklik maka G/S siklik. Jika a mempunyai orde berhingga maka orde dari aS dalam G/S membagi orde dari a. Jika G Abelian maka G/S Abelian.

16 Teorema IX.6 Misalkan G/S sebarang grup faktor. Fungsi f : G  G/S yang didefinisikan dengan aturan f(x) = xS merupakan homomorfisma surjektif dari G ke G/S dengan intinya S. Pemetaan S yang didefinisikan dalam teorema di atas sering dikenal dengan nama homomorfisma alam (natural homorphism) atau homomorfisma kannonik (canonical homomorphism).

17 Teorema IX.7 Jika G/S siklik dan setiap anggota S komutatif dengan semua anggota G maka G Abelian.

18 Teorema IX.8 (Teorema Fundamental dari Homomorfisma Grup).
Jika f : G  H homomorfisma grup dengan inti K dan peta f(G) maka G/S isomorfis dengan f(G). Bukti : Definisikan fungsi g : G/K  f(G) dengan g(aK) = f(a). Telah dibuktikan bahwa g bijektif sehingga tinggal membuktikan bahwa g homomorfisma. Pada satu sisi, g(aK bK) = g(abK) = f (ab) = f(a) f(b) dan pada sisi lain, g(aK) g(bK) = f(a) . f(b) sehingga g(aK bK) = g(aK) g(bK) untuk semua koset aK dan bK. ■

19

20 Contoh IX.6 : Misalkan T = { x dalam C* | Abs(x) = 1 }. Mudah dibuktikan bahwa fungsi Abs : C*  R* merupakan homomorfisma. Karena 1 identitas dalam R* dan T = Ker(Abs) maka dengan menggunakan teorema fundamental homorfisma diperoleh bahwa C*/T isomorfis dengan peta dari fungsi Abs yaitu R+. Oleh karena itu C*/T sehingga C*/T juga mempunyai sifat-sifat yang dimiliki R+. Jadi R+ grup abelian tidak siklik, ordenya tak hingga dan mempunyai anggota dengan orde 1 atau .■

21 Isomorfisma Suatu grup yang nampaknya berbeda secara esensi dapat sama. Secara intuisi ide bahwa dua grup secara esensi sama akan menuju pada pemikiran tentang konsep isomorfisma. Definisi IX.3 Misalkan < G, * > dan < H, . > grup. Grup G isomorfis dengan H jika terdapat fungsi f : G  H sehingga f injektif, f surjektif, f homomorfisma maka f dikatakan isomorfisma.

22 Teorema IX.9 Misalkan grup G dan H isomorfis. Sifat-sifat berikut ini berlaku : Grup G dan H mempunyai orde yang sama. Grup G dan H keduanya abelian atau tidak abelian. Grup G dan H keduanya siklik atau tidak siklik.

23 Contoh IX.7 : Diketahui Grup Z4 dan Z8*. Kedua grup mempunyai orde 4 dan abelian tetapi Z4 = (1) siklik sedangkan Z8* tidak siklik karena tidak ada anggotanya yang mempunyai orde 4. Oleh karena itu Z4 tidak isomorfis dengan Z8*.

24 Teorema IX.10 Sebarang grup siklik tak berhingga isomorfis dengan Z. Sebarang grup siklik berhingga orde n isomorfis dengan Zn.

25

26 LATIHAN Misalkan S = { (1), (2) } dan anggap bahwa semua koset aS untuk a dalam Z4. Berikan contoh khusus untuk menunjukkan bahwa pergandaan koset aS . bS = ab S tidak terdefinisikan dengan baik. Tunjukan bahwa tidak ada dua dari himpunan-himpunan ini yang isomorfis : R*, R+ dan C*. Bukti bahwa fungsi-fungsi berikut suatu isomorfisma. f : Z100  Z100 dengan f(x) = 3x. h : Z10*  Z10* dengan h(x) = x3.

27 Misalkan G sebarang grup dan b anggota G.
Tunjukkan bahwa fungsi berikut mengawetkan operasi tetapi tidak surjektif maupun injektif. f : Z100  Z100 dengan f(x) = 2x. h : Z10*  Z10* dengan h(x) = x2. Didefinisikan f : R  R dengan f(x) = -3x. Buktikan bahwa f suatu automorfisma R yaitu isomorfisma dari R ke R. Misalkan G sebarang grup dan b anggota G. Didefinisikan fb : G  G dengan aturan fb(x) = b-1 x b. Tunjukkan bahwa fb suatu automorfisma dari G.

28 Diketahui grup faktor Z6/S dengan S = { 0,3 }
Diketahui grup faktor Z6/S dengan S = { 0,3 }. Tentukan order dari grup faktor dan order dari elemen-elemen dalam Z6/S. Apakah Z6/S siklik ? Diketahui grup faktor f : Z7*  Z7* dengan f(x) = x2. Tentukan Im(f) dan K=Ker(f). Apakah Z7*/K isomorfis dengan f(Z7*) = Im(f) ? Misalkan S = { A  M22* | det(A) = 1 }. Buktikan bahwa S grup bagian normal dari M22*.

29 TERIMA KASIH