INTEGRASI NUMERIK.

Presentasi berjudul: "INTEGRASI NUMERIK."— Transcript presentasi:

1 INTEGRASI NUMERIK

2 METODE PERSEGI PANJANG
Metode secara numerik Metode Pendekatan Persegi Panjang Metode Trapesium Metode Pendekatan Persegi Panjang Bagi interval a sampai b atas n sub-interval  Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk ) Hitung luas tiap-tiap persegi panjang tersebut  Pk = h * f (xk ) Jumlahkan semua luas persegi panjang tersebut 

3 METODE PERSEGI PANJANG
Selain mengambil tinggi persegi panjang ke-k, sama dengan f (xk ) yaitu nilai fungsi pada ujung kanan sub-interval ke-k tersebut, juga dapat mengambil tinggi sama dengan f (xk-1 ) yaitu nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval, ataupun juga pada :  yaitu nilai fungsi pada titik tengah sub-interval Contoh: Cari luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 bagian sama panjang, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1 Luas persegi panjang  P1 = 1 * f(1) = 1 * 1 = 1 P2 = 1 * f(2) = 1 * 4 = 4 P3 = 1 * f(3) = 1 * 9 = 9 P4 = 1 * f(4) = 1 * 16 = 16 Luas Total = 30 Penyimpangannya = 30 – = 8.66 +

4 METODE PERSEGI PANJANG
Jika interval (0, 4) dibagi menjadi 8 sub-interval, n = 8  h = (4 - 0)/8 = 0.5 Luas persegi panjang  P1 = 1 * f(0.5) = 1 * 1 = 0.125 P2 = 1 * f(1.0) = 1 * 4 = 1 P3 = 1 * f(1.5) = 1 * 9 = 1.125 P4 = 1 * f(2.0) = 1 * 16 = 2 P5 = 1 * f(2.5) = 1 * 4 = 3.125 P6 = 1 * f(3.0) = 1 * 9 = 4.5 P7 = 1 * f(3.5) = 1 * 16 = 6.125 P8 = 1 * f(4.0) = 1 * 16 = 8 Luas Total = 26 Penyimpangannya = 26 – = 4.67 Jika banyaknya sub-interval diperbanyak lagi, misal n = 40, diperoleh L = 22.14, dan untuk n = 100 diperoleh L = +

5 METODE PERSEGI PANJANG
Jika diambil tinggi adalah nilai fungsi pada ujung kiri sub-interval Luas  P1 = 0.5 * f(0.0) = 0.5 * = 0 P2 = 0.5 * f(0.5) = 0.5 * = 0.125 P3 = 0.5 * f(1.0) = 0.5 * = 1 P4 = 0.5 * f(1.5) = 0.5 * 2.25 = 1.125 P5 = 0.5 * f(2.0) = 0.5 * = 2 P6 = 0.5 * f(2.5) = 0.5 * = 3.125 P7 = 0.5 * f(3.0) = 0.5 * = 4.5 P8 = 0.5 * f(3.5) = 0.5 * = 6.125 Luas Total = 18 +

6 METODE PERSEGI PANJANG
Jika tinggi sama dengan titik tengah interval, diperoleh: Luas  P1 = 0.5 * f(0.25) = P2 = 0.5 * f(0.75) = P3 = 0.5 * f(1.25) = P4 = 0.5 * f(1.75) = P5 = 0.5 * f(2.25) = P6 = 0.5 * f(2.75) = P7 = 0.5 * f(3.25) = P8 = 0.5 * f(3.75) = Luas Total = + Perhatikan bahwa hasil terakhir ini adalah yang terbaik.

7 METODE TRAPESIUM Metode Trapesium
Bagi interval (a, b) menjadi n sub-interval yang sama  Hitung nilai fungsi pada ujung-ujung sub-interval tersebut  f (xk ) Hitung luas trapesium  Pk = h * f (xk ) Luas trapesium ke-1 = t1 = ½ ( f(x0) + f(x1) ) * h = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) ke-2 = t2 = ½ ( f(x1) + f(x2) ) * h = h/2 ( f(x1) + f(x2) ) ……………. ke-n = tn = ½ ( f(xn-1) + f(xn) ) * h = h/2 (f(xn-1) + f(xn) ) Luas Total = t1 + t2 + ……. + tn = h/2 ( f(x0) + f(x1) ) + h/2 ( f(x1) + f(x2) ) + ……. + h/2 (f(xn-1) + f(xn) )

8 METODE TRAPESIUM

9 METODE TRAPESIUM Contoh:
Hitung luas daerah di bawah kurva f(x) = x2, antara x = 0 sampai x = 4 Solusi: Interval (0, 4) dibagi menjadi 4 sub-interval, n = 4  h = (4 - 0)/4 = 1 Luas total xk 1 2 3 4 f(xk) 9 16

10 METODE KUADRATUR GAUSS
Rumusan yang paling akurat untuk integrasi numerik Tinjauan Gauss dalam perhitungan integral F(x) dx berdasarkan nilai f(x) dalam sub interval yang tidak berjarak sama, melainkan simetris terhadap titik tengah interval I = f(x) dx = (a-b) [R (U1 ) + R (u2) + … + Rn (Un)] U1,U2,…,Un adalah titik dalam interval [-1/2,1/2] (U) = f(x) = f[(b-a)u ] X = (b-a)u + (Tersedia tabel nilai numerik parameter U dan R)

11 ALGORITMA KUADRATUR GAUSS
Inisialisasi tabel koefisien gauss Definisikan fungsi integran Tentukan batas pengintegralan a dan b Inisialisasi : sum = 0 Hitung : sum = sum + Ri x (Ui), i = 1 sampai n Hitung : I = (b-a) x sum Tulis hasil integral

12 METODE SIMPSON Paling luas pemakaiannya
Untuk pendekatannya memakai parabola yang melalui 3 ordinat dari 2 interval berdampingan Eksak untuk polinim derajat dua atau kurang Lebih teliti dan rumus tidak lebih rumit dari metode trapesium n = banyak interval h = I = (Y0 + 4Y1 + 2Y2 + 4Y3 + 2Y4 +…+ 2Yn-4 + 4Yn-3 + 2Yn-2 + 4Yn-1 + Yn) Kesalahan pemotongan : eT ~ (b-a) f (Q), a<Q<b

13 ALGORITMA METODE SIMPSON
Definisikan fungsi integran Tentukan batas pengintegralan a dan b dan jumlah segmen n (harus genap) Hitung : h = (b-a)/n Inisialisasi sum = F (a) + 4 x F (a+h) Hitung untuk i = 2 sampai i = n-1 dengan indeks pertambahan sama dengan 2 sum = sum + 2 x F (a+ixh) + 4 x F (a+(i+1)h) Hitung nilai integral I = h/3 x (sum + F(b)) Tulis hasil perhitungan