Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013

Presentasi berjudul: "Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013"— Transcript presentasi:

1 Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013
IF5011 Sistem dan Arsitektur Komputer Bagian 4 Floating Point Sekolah Teknik Elektro dan Informatika Institut Teknologi Bandung 2013

2 Pembahasan Bilangan pecahan biner
Representasi floating point standar IEEE 754 Pengkodean floating point Normalized Denormalized Nilai khusus Rounding Operasi floating point Floating point pada C

3 Bilangan Pecahan Biner
b–j • • • . 1 2 4 2i–1 2i 1/2 1/4 1/8 2–j Representasi bilangan : b = Bit sebelah kiri binary point merepresentasikan bobot 2k Bit sebelah kanan binary point merepresentasikan bobot 2-k binary point Contoh : merepresentasikan bilangan 1 x x x x x 2-2 = ½ + ¼ = 5¾

4 Bilangan Pecahan Biner
Menggeser binary point ke kiri → membagi dengan 2 sama dengan shift kanan contoh : = 5 ¾ = ½ + ¼ + 1/8 = 2 7/8 Menggeser binary point ke kanan → mengalikan dengan 2 sama dengan shift kiri contoh : = ½ = 11½ Bilangan mendekati 1 memiliki bentuk …2 Contoh : 63/64 = 1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64 = Direpresentasikan dengan notasi 1.0 – 

5 Keterbatasan Pecahan Biner
Memiliki panjang kode terbatas Tidak dapat merepresentasikan bilangan 1/3 secara eksak Dapat mereprentasikan secara eksak bila berbentuk x x 2y Bilangan lain harus mengulangi representasi bit berkali-kali Nilai Representasi 1/ [01]…2 1/ [0011]…2 1/ [0011]…2 Akurasi dapat dinaikkan dengan menambah bit, tetapi tetap saja tidak dapat merepresentasikan secara eksak

6 Bilangan Floating Point
Merupakan aproksimasi dari bilangan real Merepresentasikan bilangan real dalam bentuk V = x x 2y Tidak selalu memberikan hasil eksak, dapat terjadi pembulatan Digunakan dalam melakukan komputasi : bilangan sangat besar (|V | » 0), dan bilangan sangat dekat dengan nol (|V | « 1) Pecahan biner tidak efisien dalam mengkodekan bilangan bernilai besar Contoh : 5 x 2100 tersusun atas pola bit 101 diikuti 100 buah nol

7 Floating Point Standar IEEE
Ide Bentuk V = x x 2y ingin direpresentasikan dengan hanya memberikan nilai x dan y-nya saja Representasi floating point standar IEEE 754 V = (–1)s x M x 2E Bit tanda s menentukan apakah bilangan negatif (s=1) atau positif (s=0) Signifikan M adalah bilangan pecahan, berkisar antara 1 dan 2 –  atau antara 0 dan 1 –  Eksponen E adalah bobot nilai bilangan Standar IEEE 754 Ditentukan tahun 1985 Bentuk standar aritmetika floating point Sebelumnya, terdapat berbagai macam format Didukung oleh seluruh CPU

8 Pengkodean Floating Point
Representasi floating point IEEE V = (–1)s x M x 2E Kode biner floating point s (sign) sepanjang satu bit mengkodekan bit tanda s exp (exponent) sepanjang k bit mengkodekan eksponen E frac (fraction) sepanjang n bit mengkodekan signifikan M Ukuran (tipe data float pada C) Single precision : s=1 bit, exp=8 bit , frac=23 bit → total 32 bit Double precision : s=1 bit, exp=11 bit, frac=52 bit → total 64 bit s exp frac 1 bit k bit n bit

9 3 Kasus Kode Floating Point
Berdasarkan pola bit exp, pengkodean floating point dibagi menjadi tiga kasus : Nilai normalized Kasus paling umum Bila bit-bit exp tidak semua nol (exp  000…0) atau tidak semua satu (exp  111…1) Nilai denormalized Bila bit-bit exp semuanya nol (exp = 000…0) Nilai khusus Bila bit-bit exp semuanya satu (exp = 111…1)

10 Nilai Normalized Berlaku untuk kondisi exp  000…0 dan exp  111…1
Eksponen E diinterpretasikan dalam bentuk bias  E = e – bias e : nilai unsigned yang dikonversikan langsung dari exp bias : nilai bias = 2k-1 – 1, dimana k adalah banyaknya bit exp single precision : bias = 127, e = 1 s/d 254, E = -126 s/d 127 double precision : bias = 1023, e = 1 s/d 2046, E = s/d 1023) Signifikan M adalah bilangan pecahan  M = 1 + f pecahan f =  0.xxx…x2, dimana x adalah bit-bit pada frac M berkisar antara 1.0 (frac= 000…0) s/d 2.0 –  (frac = 111…1 ) s exp frac 1 bit k bit n bit

11 Nilai Denormalized Berlaku untuk kondisi exp = 000…0 Nilai kode
eksponen E = 1 – bias bias = 2k-1 – 1, dimana k adalah banyaknya bit exp signifikan M = f pecahan f = 0.xxx…x2, dimana x adalah bit-bit pada frac Kasus denormalized exp = 000…0, frac = 000…0 Merepresentasikan nilai 0 Terdapat perbedaan antara nilai +0 and –0, berdasarkan nilai bit s exp = 000…0, frac  000…0 Bilangan yang sangat dekat dengan 0.0 Sifat gradual underflow, semakin kecil semakin presisi s exp frac 1 bit k bit n bit

12 Nilai Khusus Berlaku untuk kondisi exp = 111…1 Kasus :
exp = 111…1, frac = 000…0 Merepresentasikan nilai(tak hingga/infinity) positif + bila s=0 dan negatif – bila s=1 Hasil operasi yang mengalami overflow Hasil kali dua bilangan sangat besar Pembagian dengan nol (1.0/0.0 = 1.0/0.0 = +, 1.0/0.0 = ) exp = 111…1, frac  000…0 Disebut Not-a-Number (NaN) Merepresentasikan situasi dimana tidak ada nilai numeriknya Contoh : sqrt(–1),  s exp frac 1 bit k bit n bit

13 3 Kasus Kode Floating Point
Ringkasan pengkodean bilangan real floating point : Normalized Denormalized Nilai khusus Tak hingga (infinity) Not a Number  + -Normalized -Denorm +Denorm +Normalized NaN NaN 0 +0

14 Nilai antara -1.0 hingga +1.0 :
Distribusi Nilai Misalkan : floating point 6 bit, format menyerupai IEEE sign s = 1 bit, eksponen exp = 3 bit, pecahan frac = 2 bit Perhatikan : distribusi semakin padat ketika mendekati nol Seluruh range nilai : Nilai antara -1.0 hingga +1.0 :

15 Contoh Kode Floating Point
1/4 Diberikan representasi floating point 8-bit (tiny) Satu bit tanda s terletak di most significant bit Empat bit berikutnya adalah eksponen exp Tiga bit terakhir adalah frac Bentuk menyerupai format IEEE Terdapat kasus normalized, denormalized Terdapat representasi untuk nol, tak hingga dan NaN Representasi nilai dihitung : V = (–1)s x M x 2E dimana M diturunkankan dari frac dan E diturunkan dari exp s exp frac 2 3 6 7

16 Contoh Kode Floating Point
2/4 exp e E 2E kasus /64 denormalized /64 normalized /32 /16 /8 /4 /2 normalized inf, NaN Perhitungan nilai E denormalized : E = 1 - bias normalized : E = e - bias bias = 2k-1 – 1 = 24-1 – 1 = 7

17 Contoh Kode Floating Point
3/4 exp frac f M kasus /8 1/8 /8 2/8 … denormalized /8 6/8 /8 7/8 /8 /8 9/8 … /8 15/8 /8 /8 9/8 … normalized /8 14/8 /8 15/8 tak hingga Perhitungan nilai M denormalized : M = f normalized : M = 1 + f f = 0.xxx2, x adalah bit-bit frac

18 Contoh Kode Floating Point
4/4 s exp frac Perhitungan nilai V = (–1)s x M x 2E /8*1/64 = 1/512 /8*1/64 = 2/512 … /8*1/64 = 6/512 /8*1/64 = 7/512 /8*1/64 = 8/512 /8*1/64 = 9/512 /8*1/2 = 15/16 /8*1 = 1 /8*1 = 9/8 /8*128 = 224 /8*128 = 240 tak hingga bilangan terdekat ke nol bilangan denormalized terbesar Bilangan normalized terkecil terdekat ke 1 (dr bawah) terdekat ke 1 (dari atas) bilangan normalized terbesar

19 Nilai Single Precision (float)
Single precision : s=1 bit, exp=8 bit , frac=23 bit → total 32 bit Deskripsi exp frac Nilai Numerik Zero 00…00 00… Denorm pos terkecil 00…00 00…01 2– 23 X 2–126  1.4 X 10–45 Denorm terbesar 00…00 11…11 (1.0 – ) X 2–126  1.2 X 10–38 Norm pos terkecil 00…01 00… X 2–126 Satu 01…11 00… Normalized terbesar 11…10 11…11 (2.0 – ) X 2127  3.4 X 1038

20 Integer ke Floating Point
Konversi integer ke format floating point single precision = 0x3039 = = X 213 normalisasi bilangan dengan shift 13 posisi ke kanan binary point Konstruksi bagian frac (23 bit) ambil signifikan M = frac = frac diperoleh dengan membuang bit 1 di depan dan menambah 10 buah nol Konstruksi bagian exp (8 bit) bias = 127; E = 13; e = E + bias = 140; diperoleh exp = Reprensentasi floating point : = 0x4640E400 Heksa E Biner 1 bit tanda 8 bit exp 23 bit frac

21 Operasi Floating Point
Konsep operasi floating point Hitung hasil eksak Cocokan hasil dengan tingkat kepresisian yang diinginkan Dapat terjadi overflow jika eksponen terlalu besar Dapat terjadi pembulatan agar cocok dengan nilai frac Metoda pembulatan (rounding) –1.50 Zero –1 Round down (-) –2 Round up (+) –1 Nearest Even (default) –2 Catatan : zero = pembulatan ke arah nol; round down = pembulatan ke bawah; round up = pembulatan ke atas; nearest even = pembulatan terdekat

22 Pembulatan Nearest Even
Mode pembulatan standar (default) Pembulatan ke nilai terdekat Jika bilangan berada tepat ditengah-tengah antara dua nilai yang mungkin → bulatkan sehingga nilai digit terkecil menjadi genap Contoh : pembulatan ke per seratus terdekat (kurang dari setengah) (lebih besar dari setengah) (nilai tengah, bulatkan ke atas) (nilai tengah, bulatkan ke bawah)

23 Pembulatan Bilangan Biner
Bilangan pecahan biner Bernilai “genap” jika least significant bit = 0 Contoh : Pembulatan ke 1/4 terdekat (2 bit di kanan binary point) Nilai Biner Pembulatan Hasil Nilai akhir 2 3/ < nilai tengah, bulat terdekat 2 3/ > nilai tengah, bulat terdekat /4 2 7/ nilai tengah, bulat ke genap 2 5/ nilai tengah, bulat ke genap /2

24 Floating Point pada C Bahasa C memiliki dua format floating point :
float single precision (32 bit) double double precision (64 bit) Casting antara format int, float, dan double mengubah nilai numerik dan representasi bit-nya : Dari int ke float Bilangan tidak akan overflow, tetapi dapat mengalami pembulatan Dari int atau float ke double Konversi secara eksak, double memiliki range dan presisi lebih besar Dari double ke float Dapat mengalami overflow (+ atau ) Dapat juga terjadi pembulatan, karena presisi lebih rendah Dari double atau float ke int Memotong bagian pecahan, mendekati nol, beda dengan rounding

25 Ariane 5 Mengapa terjadi kegagalan ?
Meledak 37 detik setelah peluncuran Membawa muatan, satelit seharga 500 juta dollar Mengapa terjadi kegagalan ? Perhitungan kecepatan horisontal dilakukan dalam bilangan floating point Dikonversi ke integer 16-bit Bekerja baik pada Ariane 4 Pada Ariane 5 terjadi overflow Ariane 5 menggunakan perangkat lunak yang sama dengan Ariane 4, padahal kecepatan geraknya lima kali lebih tinggi dari Ariane 4

26 Ringkasan Floating point standar IEEE digunakan untuk merepresentasikan bilangan real dalam bentuk V = (–1)s x M x 2E Floating point digunakan untuk melakukan komputasi bilangan sangat besar (|V | » 0), dan bilangan sangat dekat dengan nol (|V | « 1) Floating point dikodekan dalam tiga kasus : untuk nilai denormalized, normalized dan nilai khusus (tak hingga dan NaN) Hasil operasi floating point dapat mengalami pembulatan (rounding)