RELASI (Relation) FUNGSI PROPOSIONAL RELASI

Presentasi berjudul: "RELASI (Relation) FUNGSI PROPOSIONAL RELASI"— Transcript presentasi:

1 RELASI (Relation) FUNGSI PROPOSIONAL RELASI
RELASI SEBAGAI PASANGAN TERURUT RELASI INVERS RELASI REFLEKTIF RELASI SIMETRIS RELASI ANTI SIMETRIS RELASI TRANSITIF RELASI EKIVALEN DOMAIN DAN DAERAH RELASI RELASI DAN FUNGSI

2 FUNGSI PROPOSIONAL Didefinisikan pada Perkalian Cartesian AB dari dua himpunan A dan B oleh sebuah ekspresi yang ditulis P(x,y) P(x,y) disebut kalimat terbuka dari dua variabel (open sentence) P(a,b) dengan a dan b sebagai subsitusi dari variabel x dan y Untuk setiap (a,b) AB, P(a,b) bisa salah atau benar

3 P(x,y) = “x menulis y” P(Shakespeare,Hamlet)  benar P(Shakespeare, Faust)  salah P(x,y) = “x lebih kecil dari y” P(x,y) = “x beratnya y kg” P(x,y) = “x dapat membagi y” P(x,y) = “x adalah istri dari y” P(x,y) = “segitiga x mirip dengan segitiga y”

4 RELASI Sebuah relasi terdiri dari : 1. Sebuah himpunan A
2. Sebuah himpunan B 3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) dimana P(a,b) bisa benar atau salah untuk setiap pasangan terurut (a,b) AB. Relasi dari A ke B : R = (A,B,P(x,y))

5 Bila P(a,b) benar ditulis a R b
Bila P(a,b) salah ditulis a R b R1 = (N,N, P(x,y)), N = bilangan bulat, P(x,y)=“x dapat membagi y” 3 R R1 7 5 R R1 13 R1 adalah suatu relasi

6 R2 = (A,B, P(x,y)), A = himpunan pria, B = himpunan wanita P(x,y) = “ x dapat membagi y” P(x,y) tidak mempunyai arti R2 bukan suatu relasi

7 HIMPUNAN JAWAB DARI RELASI
Himpunan Jawab (Solution sets) : R* = {(a,b)|aA, b B, P(a,b) adalah benar} R*  AB  R* dapat digambarkan pada diagram koordinat AB Grafik Relasi dari A ke B terdiri dari titik-titik pada diagram koordinat AB yang merupakan anggota/elemen dari R*

8 P(x,y) =“x dapat membagi y” R* = {(2,4), 2,6),3,3), (3,6), (4,4)}
Misalkan R = (A,B,P(x,y)), A = {2, 3, 4} B = {3,4,5,6} P(x,y) =“x dapat membagi y” R* = {(2,4), 2,6),3,3), (3,6), (4,4)} 6 5 4 3

9 Misalkan R = (R#, R#,P(x,y)) R# = bilangan nyata
P(x,y) =“y lebih kecil dari x + 1” y=x+1 2 1 -1 -2

10 RELASI SEBAGAI HIMPUNAN DARI PASANGAN TERURUT
Misalkan R*  AB Dapat didefinisikan R=(A,B, P(x,y)) P(x,y) = “pasangan terurut (x,y)  R*”

11 RELASI INVERS Setiap relasi R dari A ke B mempunyai sebuah relasi invers R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai : R-1 = {(b,a)| (a,b) R} Misalkan A={1, 2, 3} dan B = {a, b} R = {(1,a), (1,b), (3,a)} R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)}

12 RELASI REFLEKSIF Misalkan R = (A, A, P(x,y))
R adalah relasi refleksif bila : Untuk setiap a A, (a,a) R Misalkan V={1, 2, 3, 4} R = {(1,1), (2,4), (3,3), (4,1), (4,4)} (2,2) R  R bukan relasi refleksif

13 RELASI SIMETRIS Misalkan R = (A, A, P(x,y))
R adalah relasi simetris bila : (a,b) R  (b,a) R Misalkan S={1, 2, 3, 4} R = {(1,3), (4,2), (2,4), (2,3), (3,1)} (2,3) R tetapi (3,2) R  R bukan relasi simetris Misalkan R = (N,N,P(x,y)) P(x,y) = “x dapat membagi y” (2,4) R tetapi (4,2) R  R bukan relasi simetris R = R-1  R = simetris

14 RELASI ANTI-SIMETRIS Misalkan R = (A, A, P(x,y))
R adalah relasi antisimetris bila : (a,b) R dan (b,a) R  a = b Misalkan W={1, 2, 3, 4} R = {(1,3), (4,2), (4,4), (2,4)} (4,2) R dan (2,4)  R  R bukan relasi anti-simetris

15 RELASI TRANSITIF Misalkan R = (A, A, P(x,y))
R adalah relasi transitif bila : (a,b) R dan (b,c) R  (a,c) R R =(R#, R#,P(x,y) P(x,y) = “ x lebih kecil dari y” a < b dan b < c  a < c R  R adalah relasi transitif

16 RELASI EKIVALEN R disebut relasi ekivalen bila : R = relasi reflektif
R = simetris R = transitif R =(R#, R#,P(x,y)) P(x,y) = “ x sama dengan y” a=a  R reflektif a=b  b = a  R simetris a= b dan b = c  a = c  R transitif R adalah relasi ekivalen

17 DOMAIN DAN DAERAH RELASI
Misalkan R = (A, B, P(x,y)) dan R AB Domain dari R adalah : D = {a|a A, (a,b) R Range dari R adalah : E ={b|b B, (a,b) R Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {a, b, c} R = {(2,a), (4,a), (4,c)} Domain dari R = {2,4} Range dari R = {a,c}

18 RELASI DAN FUNGSI Fungsi dari A ke B f:AB  AB dimana setiap a A, akan muncul dalam satu dan hanya satu pasangan terurut  f Oleh karena setiap himpunan bagian dari AB adalah suatu relasi, maka : Fungsi adalah tipe spesial dari relasi. Satu persoalan penting dalam matematika adalah apakah suatu relasi dalam bilangan nyata yang didefinisikan dengan persamaan berbentuk : F (x,y) = 0 adalah suatu sebuah fungsi ? Dapat dinyatakan sebagai y = f(x) ?

19 P(x,y) = “Jumlah kuadrat x dan kuadrat y adalah 25”
R = (R#, R#,P(x,y)) P(x,y) = “Jumlah kuadrat x dan kuadrat y adalah 25” x2 + y2 = 25  F(x,y) = x2 + y = 0 5 -5 - 5 (3,4) (3,- 4) (3,4)  R (3, - 4)  R Relasi R bukan sebuah Fungsi

20 TEORI HIMPUNAN LANJUT ALJABAR HIMPUNAN PRINSIP DUALITAS
HIMPUNAN TERINDEKS PARTISI RELASI EKIVALEN DAN PARTISI

21 ALJABAR HIMPUNAN Hukum-hukum Idem : 1a) A  A = A 1b) A A = A
Hukum-hukum Asosiatif : 2a) (A  B)  C= A  (B  C) 2b) (A  B)  C= A  (B  C)

22 Hukum-hukum Komutatif :
3a) A  B = B  A 3b) A  B= B  A Hukum-hukum Distributif : 4a) A  (B  C) = (A  B) (A C) 4b) A  (B  C) = (A  B) (A  C) Hukum-hukum Identitas : 5a) A   = A 5b) A  U =A 6a) A  U = U 6b) A   = 

23 Hukum-hukum Komplemen :
7a) A  A’ = U 7b) A A’ =  8a) (A’)’ = A 8b) U’ =  ’ = U Hukum-hukum Morgan : 9a) (A  B)’ = A’ B’ 9b) (A  B)’ = A’  B’

24