Pembuktian Dalam Matematika.

Presentasi berjudul: "Pembuktian Dalam Matematika."— Transcript presentasi:

1 Pembuktian Dalam Matematika

2 Tujuan Mahasiswa akan dapat membuktikan pernyataan matematika

3 Cakupan Pembuktian Langsung Pembuktian Tidak Langsung Vacuous Proof
Trivial Proof Bukti dengan kontradiksi Bukti per kasus Bukti biimplikasi Bukti ekuivalensi Bukti dengan counter example Bukti dengan induksi

4 Jenis-jenis Pembuktian
Pembuktian langsung Contoh: Jika x bilangan genap, maka x2 bilangan genap.

5 2. Pembuktian tidak langsung.
p  q  ~q  ~p Implikasi bernilai sama dengan kontrapositifnya. Contoh: Jika (3n+2) adalah ganjil, maka n juga ganjil.

6 3. Vacuous Proof p  q selalu benar jika p bernilai salah. Contoh: P(n) : “Jika n > 1 maka n2 > n”. Buktikan P(0) bernilai benar.

7 4. Trivial Proof p  q selalu benar jika q bernilai benar. Contoh: P(n): “Jika a dan b bilangan-bilangan bulat positif dengan a  b, maka an  bn”. Buktikan P(0) bernilai benar.

8 5. Bukti dengan kontradiksi
~p  q adalah benar dan q bernilai salah, maka ~p bernilai salah dan p bernilai benar. Contoh: Jika (3n+2) merupakan bilangan ganjil, maka n juga ganjil.

9 6. Bukti per kasus Untuk membuktikan (p1  p2  p3  …  pn)  q, buktikan p1q, p2q, p3q, …., pnq. Contoh: Jika n bilangan bulat yang tak habis dibagi 3, maka n2  1(mod 3)

10 7. Bukti biimplikasi p  q  (p q)  (qp) Contoh: Bilangan bulat n ganjil jika dan hanya jika n2 juga ganjil.

11 Contoh: Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen:
8. Bukti ekuivalensi Untuk membuktikan p1, p2, p3, …, pn adalah ekuivalen, buktikan implikasi p1p2, p2p3, p3p4, …., pnp1. Contoh: Buktikan ketiga pernyataan berikut ekuivalen: n2=9 n2 – 9 =0 n =  3

12 9. Bukti dengan counter example.
Untuk membuktikan x, p(x) bernilai salah, cari sebuah elemen a, sedemikian sehingga p(a) bernilai salah. Elemen ini disebut counter example. Contoh: Untuk setiap bilangan cacah n, berlaku n2 > n. Benarkah pernyataan ini?

13 10. Bukti dengan Induksi Matematika Ada 3 langkah:
buktikan benar untuk n=1 asumsikan benar untuk n=k buktikan benar untuk n=k+1 Bukti dengan induksi matematika analog dengan cara orang menyebarkan gosip atau dengan sekumpulan kartu domino berdiri yang didorong. Contoh: Buktikan … + (2n-1) = n2 Buktikan … + n2 = 1/6.n(n+1)(2n+1) Buktikan (72n+1 – 22n+1) habis dibagi 5

14 Penutup Pembuktian dalam matematika terdiri dari beberapa metode, seperti: Pembuktian Langsung, Pembuktian Tidak Langsung, Vacuous Proof, Trivial Proof, Bukti dengan kontradiksi, Bukti per kasus, Bukti biimplikasi, Bukti ekuivalensi, Bukti dengan counter example, Bukti dengan induksi