Proses Stokastik Semester Ganjil 2013 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc.

Presentasi berjudul: "Proses Stokastik Semester Ganjil 2013 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc."— Transcript presentasi:

1 Proses Stokastik Semester Ganjil 2013 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Beberapa Rantai Markov Khusus
Rantai Markov dua state Rantai Markov yang didefinisikan sebagai jumlah peubah acak (variabel random) yang saling bebas dengan sebaran yang sama (identically, independently distributed: iid) Random walks satu dimensi Success Runs

3 Rantai Markov dua State
Rantai markov dengan hanya dua kemungkinan nilai  State: 0 dan 1 Dengan matriks peluang transisi: Dengan sifat long run: Tidak perduli darimana pun berasal, pada long run sistem akan berakhir: di 0 dengan peluang b/(a+b) di 1 dengan peluang a/(a+b)

4 Contoh Produk rusak (defective) vs tidak rusak (non defective) pada suatu proses produksi

5 Pada long run, suatu unit produksi dari sistem tersebut akan rusak (state 1) dengan peluang:
Pada long run, suatu unit produksi dari sistem akan tidak rusak (state 0) dengan peluang:

6 Rantai Markov yang didefinisikan Sebagai jumlah dari IID Peubah Acak
Diberikan 𝜉: sebagai peubah acak (rv) diskrit Adalah observasi dari 𝜉 yang iid Contoh 1: Peubah acak yang saling bebas Contoh 2: Successive Maxima (kasus penawaran/lelang)

7 Contoh 1: Peubah Acak (RV) yang saling Bebas
Dengan sifat kebebasan Rantai tidak tergantung pada state awal: state pada periode ke n Rantai hanya tergantung pada state pada periode n+1

8 Contoh 2: Successive Maxima
Penerapan pada proses penawaran di pelelangan Penawaran secara berturut-turut Observasi 𝜉 yang iid Peluang bahwa penawaran tunggal akan sama dengan i: Proses penawaran akan berhenti ketika penawaran terakhir melebihi M The successive bids: Rantai Markov

9 Penawaran pada tahap/putaran ke n+1 tergantung pada penawaran pada putaran ke n
Dengan hubungan sbb: Penawaran sebelum Penawaran Baru State yang mungkin: 0, 1, …, M Xn A new offered bid ξ Xn+1 1 1 … … M M

10 Xn A new offered bid ξ Xn+1 1 1 1 1 2 2 M M Xn A new offered bid ξ Xn+1 2 2 1 2 2 2 3 3 M M

11 Matriks peluang transisi:
M adalah absorbing state Waktu sampai dengan absorption: berapa tahap/putaran yang harus dilakukan sampai dengan penawaran diterima

12 Transient states: i < M
Rata-rata waktu sampai dengan absorption dianalisis dengan first step analysis Transient states: i < M Rata-rata waktu sampai dengan absorption  statet ketika proses penawaran berhenti

13 Random walk Satu Dimensi
Rantai markov dengan state bilangan integer (terbatas ataupun tidak) Kemungkinan transisi tunggal dari state i Ke state i+1: dengan peluang pi Tetap di state i: dengan peluang ri Ke state i-1: dengan peluang qi

14 Contoh: Gambler’s Ruin
Pada saat 0, seorang pemain mempunyai $ 2 Pada waktu 1, 2, …, dia bertaruh $ 1: Menang: dia mendapat $1, dengan peluang 0.5 Kalah: dia kehilangan $ 1, dengan peluang 0.5 Setelah dia mendapatkan $ 4, dia akan berhenti bertaruh. Berapa peluang bahwa dia akan bangkrut? Berapa lama? States: 0, 1, 2, 3, 4

15 1, 2, 3 adalah transient states.
Matriks peluang transisi: Peluang dia akan bangkrut adalah peluang ter-absorbsi di state 0, jika dia berawal di state 2 1, 2, 3 adalah transient states.

16 Dengan first step analysis

17 Solusi dari sistem persamaan
Peluang bahwa dia akan bangkrut  peluang akan berada di state 0, jika dia berawal dari state 2 adalah sebesar 0.5