Pelabelan Total (a,d) Sisi Anti-ajaib

Presentasi berjudul: "Pelabelan Total (a,d) Sisi Anti-ajaib"— Transcript presentasi:

1 Pelabelan Total (a,d) Sisi Anti-ajaib
Pembimbing: Rinovia Simanjuntak, Ph. D Anna Shari /

2 Latar Belakang Pelabelan adalah pemetaan dari elemen-elemen graf ke bilangan bulat positif dan banyak jenisnya. Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib masih merupakan suatu open problem untuk beberapa kelas graf, yaitu siklus dengan d=3,4,5 untuk n genap dan lintasan dengan d=4 untuk n genap dan d=5,6 untuk n sembarang.

3 Deskripsi masalah Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib pada siklus dengan d=3,4,5 untuk n genap dan lintasan dengan d=4 untuk n genap dan d=5,6 untuk n sembarang.

4 Suatu pelabelan f merupakan pemetaan dari elemen-elemen graf ke bilangan bulat positif.
Pelabelan-pelabelan yang sering digunakan adalah pelabelan semua verteks dan sisi (pelabelan total), pelabelan verteks dan pelabelan sisi.

5 Pemetaan untuk tiap pelabelan

6 Jumlah dari hasil pelabelan biasanya disebut sebagai bobot dari elemen graf. Sebagai contoh, bobot verteks v adalah e yang terhubung dengan verteks v dan bobot sisi e = uv adalah

7 Graf yang memiliki bobot verteks atau bobot sisi yang sama disebut graf dengan pelabelan ajaib.
Graf yang memiliki bobot verteks atau bobot sisi yang berbeda disebut graf dengan pelabelan anti-ajaib.

8 Pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib adalah pelabelan pada verteks dan sisi graf dengan bobot sisi membentuk deret aritmatika {a, a+d , a+2d ,…, a+(|E|-1)d} dengan |E| jumlah sisi pada graf. Sebuah graf G disebut mempunyai pelabelan total (a,d) sisi anti-ajaib jika terdapat bijeksi {1,2,…,|E|+|V|} sehingga bobot-bobot sisinya memenuhi deret {a, a+d , a+2d ,…, a+(|E|-1)d}

9 Hasil pelabelan total untuk Pn
Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n ganjil Pola pelabelan:

10 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+5,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

11 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

12 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+5,4) sisi anti-ajaib

13 Hasil pelabelan total untuk Pn
Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n genap Pola pelabelan:

14 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3 dan n genap, mempunyai pelabelan total (n+4,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

15 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

16 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+4,4) sisi anti-ajaib

17 Hasil pelabelan total untuk Pn
Pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

18 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

19 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

20 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib

21 Open Problem Untuk d=5, dengan n ≤ 6 pada mempunyai pelabelan total (a,5) sisi anti-ajaib tetapi masih belum ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=5

22

23 Hasil pelabelan total untuk
Pelabelan total (a,1) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

24 Pelabelan total (a,1) sisi anti-ajaib pada Cn

25 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,1) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

26 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

27 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,1) sisi anti-ajaib

28 Hasil pelabelan total untuk
Pelabelan total (a,2) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

29 Pelabelan total (a,2) sisi anti-ajaib pada Cn

30 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,2) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

31 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

32 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (2n+2,2) sisi anti-ajaib

33 Hasil pelabelan total untuk
Pelabelan total (a,3) sisi anti-ajaib pada Pola pelabelan:

34 Pelabelan total (a,3) sisi anti-ajaib pada

35 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3, mempunyai pelabelan total (n+4,3) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

36 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

37 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+4,3) sisi anti-ajaib

38 Hasil pelabelan total untuk
Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada dengan n ganjil Pola pelabelan:

39 Pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib pada Cn dengan n ganjil

40 Pembuktian Teorema Untuk setiap n ≥ 3 dengan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+3,4) sisi anti-ajaib Pelabelan total didefinisikan:

41 Definisikan , 1 ≤ i ≤ n-1 menyatakan bobot sisi pada maka

42 Misalkan Bf menyatakan bobot sisi pada
Jadi untuk setiap n ≥ 3 dan n ganjil, mempunyai pelabelan total (n+3,4) sisi anti-ajaib

43 Hasil pelabelan total untuk
tidak memiliki pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib

44 Pembuktian Bobot sisi maksimum pada adalah 2n+2n-1+2n-2 = 6n-3
Bobot sisi minimum pada adalah = 6 Ambil a=6, a minimum untuk membentuk deret aritmatika pada Maka bobot sisi akan mengikuti deret aritmatika 6,12,…,6n Bobot maksimum = 6n-3 < 6n tidak mempunyai pelabelan total (6,6) sisi anti-ajaib Karena a = 6 minimum maka untuk a > juga tidak punya pelabelan total sisi anti-ajaib. Maka tidak mempunyai pelabelan total (a,6) sisi anti-ajaib

45 Open Problem Untuk d=4 dengan n genap dan n ≤ 6, siklus mempunyai pelabelan total (a,4) sisi anti-ajaib tetapi masih belum ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=4 dan n genap

46

47 Open Problem Untuk d=5 dengan n = 4,…,6 , siklus mempunyai pelabelan total (a,5) sisi anti-ajaib tetapi masih belum dapat ditemukan rumus umumnya. Berikut contoh pelabelan pada dengan d=5

48

49

50 TERIMA KASIH