Teori Peluang Diskrit.

Presentasi berjudul: "Teori Peluang Diskrit."— Transcript presentasi:

1 Teori Peluang Diskrit

2 Peluang Diskrit Apa yang terjadi jika keluaran dari suatu eksperimen tidak memiliki peluang yang sama? Dalam kasus ini, peluang p(s) dipadankan dengan setiap keluaran sS, di mana S adalah ruang sampel, yang memenuhi dua syarat: (1) 0  p(s)  1 untuk setiap sS, dan (2) sS p(s) = 1 Artinya, bahwa (1) setiap peluang bernilai antara 0 dan 1, dan (2) jika peluang dari semua keluaran yang mungkin dijumlahkan akan sama dengan 1, karena pada saat eksperimen dilakukan, satu dari keluaran tersebut dijamin akan terjadi. Fungsi p: S  [0,1] dinamakan distribusi peluang.

3 Bagaimana peluang p(s) diperoleh?
Peluang p(s) dari suatu kejadian s sama dengan Setelah kita mengetahui p(s) untuk setiap s, peluang dari suatu kejadian E dapat dihitung sebagai berikut. p(E) = sE p(s)

4 Contoh Suatu dadu dimodifikasi sehingga angka tiga muncul dua kali lebih sering dari angka-angka lainnya. (a) Berapakah peluang dari semua keluaran yang mungkin? (b) Berapakah peluang bahwa angka ganjil akan muncul ketika dadu tersebut digulingkan? Solusi. (a) Terdapat 6 kemungkinan keluaran s1, …, s6. p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) p(s3) = 2p(s1) Karena jumlah semua peluang tersebut haruslah sama dengan 1, maka 5p(s1) + 2p(s1) = 1 dan 7p(s1) = 1 Jadi, p(s1) = p(s2) = p(s4) = p(s5) = p(s6) = 1/7, p(s3) = 2/7

5 (b) Eganjil = {s1, s3, s5} Ingat rumus p(E) = sE p(s). Maka, p(Eganjil) = sEganjil p(s) = p(s1) + p(s3) + p(s5) = 1/7 + 2/7 + 1/7 = 4/7

6 Distribusi Uniform Misalkan S himpunan dengan n anggota.
Distribusi uniform memadankan peluang 1/n pada setiap anggota S. Note: sama dengan definisi Laplace. Eksperimen yang memilih anggota dari suatu ruang sampel S dengan menggunakan distribusi uniform dikatakan sebagai memilih anggota dari S secara acak.

7 Kombinasi Kejadian Teorema.
Jika E1, E2, … adalah barisan kejadian yang saling bebas dalam ruang sampel S, maka

8 Contoh Misalkan kelahiran anak laki-laki dan perempuan adalah kejadian yang saling bebas. Carilah peluang bahwa suatu keluarga dengan 5 anak tidak mempunyai anak laki-laki, jika (a) kelahiran anak laki-laki dan perempuan memiliki kemungkinan yang sama. (b) peluang kelahiran anak laki-laki adalah 0,51. (c) peluang bahwa anak ke-i laki-laki adalah 0,51 – (i/100).

9 Peluang Kondisional Jika suatu uang logam dilemparkan tiga kali, dan kedelapan keluaran memiliki kemungkinan yang sama. Misalkan kita tahu bahwa kejadian F, yaitu pelemparan pertama menghasilkan muka, terjadi. Berapakah peluang kejadian E, yaitu bagian muka akan muncul sejumlah ganjil? Karena hasil pelemparan pertama adalah muka, maka keluaran yang mungkin adalah MMM, MMB, MBM, dan MBB. Kemunculan muka dalam jumlah ganjil terjadi sebanyak dua kali. Maka, peluang E, dengan syarat F terjadi, adalah 0.5. Ini dinamakan peluang kondisional.

10 Peluang Kondisional (2)
Untuk memperoleh peluang kondisional dari kejadian E diberikan F, digunakan (a) F sebagai ruang sampel, dan (b) setiap keluaran dari E yang muncul harus juga berada dalam E  F. Definisi. Misalkan E dan F kejadian dengan p(F) > 0. Peluang kondisional dari E diberikan F, dinotasikan oleh p(E | F), didefinisikan sebagai p(E | F) = p(E  F)/p(F)

11 Contoh Suatu string bit dengan panjang 4 dibangun secara acak sehingga setiap 16 string dengan panjang 4 memiliki kemungkinan yang sama. Berapakah peluang string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan, diberikan bahwa bit pertamanya adalah 0 ? Solusi. Misalkan E: kejadian bahwa string memuat paling sedikit dua angka 0 yang berurutan. F: kejadian bahwa bit pertama dari string adalah 0. E  F = {0000, 0001, 0010, 0011, 0100} p(E  F) = 5/16 p(F) = 8/16 = 1/2 p(E | F) = (5/16)/(1/2) = 10/16 = 5/8 = 0.625

12 Soal Anda menarik 23 kartu satu per satu tanpa ada penggantian, secara acak dari satu set yang terdiri dari 52 kartu. Carilah (a) p(kartu kedua Jack | kartu pertama Jack). (b) p(kartu kedua merah | kartu pertama hitam). Solusi. (a) Jika kartu pertama Jack, maka terdapat tiga kartu Jack lainnya dalam sisa 51 kartu. Jadi peluangnya adalah 3/51. (b) Jika kartu pertama hitam, maka tetap terdapat 26 kartu merah dari 51 kartu yang tersisa. Jadi peluangnya adalah 26/51.

13 Independensi Kembali ke contoh koin yang dilemparkan tiga kali.
Apakah peluang kejadian E (muka muncul sejumlah ganjil) bergantung pada kemunculan kejadian F (pada pelemparan pertama muncul muka) ? Dengan kata lain, apakah p(E | F) = p(E)? Ternyata p(E | F) = 0.5 and p(E) = 0.5. Dalam hal ini, E dan F dikatakan sebagai kejadian yang saling bebas.

14 p(E | F) = p(E)  p(E  F) = p(E)p(F).
Independensi (2) Karena p(E | F) = p(E  F)/p(F), p(E | F) = p(E)  p(E  F) = p(E)p(F). Definisi. Dua kejadian E dan F dikatakan saling bebas jika dan hanya jika p(E  F) = p(E)p(F). Jelas, definisi ini simetris untuk E dan F. Jika p(E  F) = p(E)p(F), maka p(F | E) = p(F).

15 Contoh Suatu string biner dengan panjang empat dibangun secara random.
Misalkan E: kejadian string biner tersebut diawali dengan 1 F: kejadian string biner tersebut mengandung sejumlah genap 0. Apakah E dan F saling bebas? Solusi. Jelas, p(E) = p(F) = 0.5. E  F = {1111, 1001, 1010, 1100} p(E  F) = 0.25, sehingga p(E  F) = p(E)p(F) Jadi, E dan F saling bebas.

16 Contoh Misalkan E: kejadian di mana suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian di mana suatu keluarga dengan 3 anak mempunyai paling banyak 1 anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas? Asumsikan bahwa kedelapan cara suatu keluarga memiliki 3 anak mempunyai peluang kejadian yang sama. Solusi. Dari asumsi, LLL, LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL, dan PPP masing-masing mempunyai peluang terjadi 1/8. Karena E = {LLP, LPL, LPP, PLL, PLP, PPL}, F = {LPP,PLP,PPL,PPP}, dan E  F = {LPP,PLP,PPL}, maka p(E) = 6/8, p(F) = 4/8, dan p(E  F) = 3/8. Akibatnya, p(E  F) = p(E)p(F) Jadi, E dan F saling bebas.

17 Soal Anda menulis string dengan panjang tiga dari alfabet, di mana tidak diperbolehkan pengulangan huruf. Misalkan E1 adalah kejadian bahwa string dimulai dengan vokal dan E2 adalah kejadian bahwa string diakhiri dengan vokal. Tentukan apakah E1 dan E2 saling bebas.

18 Solusi Ruang sampel berukuran 26.25.24.
Kejadian E1 memuat semua string dengan tempat pertama diisi oleh vokal, maka |E1|= Dengan cara yang sama, |E2|= Jadi, E1  E2 memuat semua string dengan panjang tiga dengan tempat pertama dan terakhir diisi dengan vokal, maka |E1  E2|= Akibatnya, Jadi, kejadian-kejadian tersebut tidak saling bebas.

19 Percobaan Bernoulli Misalkan suatu eksperimen hanya memiliki dua keluaran yang mungkin. Contoh. pelemparan sebuah koin. Setiap pelaksanaan suatu eksperimen yang demikian disebut percobaan Bernoulli. Secara umum, kedua keluaran yang mungkin tadi disebut kesuksesan atau kegagalan. Jika p adalah peluang sukses dan q peluang gagal, jelas p + q = 1.

20 Percobaan Bernoulli (2)
Sering kali kita ingin tahu peluang terjadinya tepat k sukses ketika suatu eksperimen terdiri dari n percobaan Berboulli yang saling bebas. Contoh. Suatu koin dimodifikasi sehingga peluang muncul muka adalah 2/3. Apakah peluang dari tepat empat kepala muncul ketika suatu koin dilemparkan sebanyak tujuh kali?

21 Solusi Terdapat 27 = 128 keluaran yang mungkin.
Jumlah kemungkinan kemunculan empat muka di antara tujuh pelemparan adalah C(7, 4). Karena ketujuh pelemparan tersebut saling bebas, maka peluang untuk masing-masing dari keluaran tadi adalah (2/3)4(1/3)3. Akibatnya, peluang kemunculan tepat empat muka adalah C(7, 4)(2/3)4(1/3)3 = 560/2187

22 Teorema Bernoulli Peluang k sukses dalam n percobaan Bernoulli yang saling bebas, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p, adalah C(n, k) pk qn-k. Ini dinotasikan dengan b(k; n, p). Jika b dipandang sebagai fungsi dari k, maka b dikatakan sebagai distribusi binomial.

23 Ilustrasi dari bukti Teorema
Misalkan ‘S’: sukses dan ‘F’: gagal, dengan peluang sukses p dan peluang gagal q = 1 – p. Berapakah peluang dari dua sukses dalam lima percobaan Bernoulli yang saling bebas? Lihat salah satu barisan keluaran yang mungkin: SSFFF Berapakah peluang kita akan membangun barisan ini?

24 Ilustrasi dari bukti Teorema (2)
Barisan: Peluang: S S F F F p p q q q = p2q3 Suatu barisan lain yang mungkin: Barisan: Peluang: F S F S F q p q p q = p2q3 Setiap barisan dengan dua sukses dalam dua percobaan terjadi dengan peluang p2q3.

25 Ilustrasi dari bukti Teorema (3)
Sekarang, ada berapa banyak barisan yang mungkin? Dengan kata lain, ada berapa cara untuk memilih dua obyek dari daftar yang berisi lima obyek? Ada C(5, 2) = 10 cara, sehingga terdapat 10 barisan yang mungkin, setiap barisan terjadi dengan peluang p2q3. Maka, peluang salah satu dari barisan tersebut muncul pada saat melakukan lima percobaan Bernoulli adalah C(5, 2) p2q3. Secara umum, untuk k sukses dalam n percobaan Bernoulli, kita memiliki peluang C(n,k) pk qn-k.

26 Soal Sebuah dadu dilempar 6 kali berturut-turut. Carilah
(a) p(muncul tepat empat angka 1). (b) p(tidak ada angka 6 yang muncul).

27 Solusi (a) Ini adalah contoh dari suatu barisan dengan enam percobaan Bernoulli yang saling bebas, di mana peluang sukses adalah 1/6 dan peluang gagal 5/6. Karena itu, peluang muncul tepat empat angka 1 pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah (b) Dalam kasus ini sukses adalah kemunculan angka selain 6, yang memiliki peluang 5/6 dan gagal adalah kemunculan angka 6, yang peluangnya 1/6. Maka peluang tidak ada angka 6 yang muncul pada saat dadu dilemparkan 6 kali adalah

28 Variabel acak Dalam banyak eksperimen, kita ingin memadankan nilai numerik pada setiap keluaran yang mungkin untuk memungkinkan analisa matematis dari eksperimen tersebut. Untuk tujuan ini, diperkenalkan variabel acak. Definisi. Suatu variabel acak adalah fungsi dari ruang sampel dari suatu eksperimen ke himpunan bilangan real. Yaitu, variabel acak memadankan suatu bilangan real tertentu pada setiap keluaran yang mungkin. Catatan. Variabel acak adalah fungsi, bukan variabel. Variabel acak tidak dilakukan secara acak, tetapi memetakan hasil eksperimen yang acak ke bilangan real secara terdefinisi dengan baik.

29 Contoh Misalkan X adalah hasil permainan “suit”.
X(ibujari,ibujari) = X(ibujari,kelingking) = -1 Misalkan X adalah hasil permainan “suit”. Jika pemain A memilih jari a dan B memilih jari b, maka = 1, jika A menang, X(a,b) = 0, jika A dan B memilih jari yang sama, = -1, jika B menang. X(ibujari,telunjuk) = 1 X(kelingking,ibujari) = 1 X(kelingking,kelingking) = X(kelingking,telunjuk) = -1 X(telunjuk,ibujari) = -1 X(telunjuk,kelingking) = 1 X(telunjuk,telunjuk) =

30 The Birthday Problem Berapa jumlah minimum orang yang diperlukan sehingga peluang bahwa sedikitnya dua di antara mereka mempunyai tanggal ulang tahun yang sama adalah lebih besar dari ½?

31 The Birthday Problem (2)
n: jumlah orang pn: peluang bahwa setiap orang mempunyai tanggal ulang tahun yang berbeda. Maka Dan 1 – pn ≥ 0,5 jika n ≥ 23

32 Soal-soal Latihan 5.1.5 Berapakah peluang munculnya jumlah genap pada saat dua dadu dilemparkan? Latihan Berapakah peluang memperoleh lima buah kartu memuat kartu-kartu sejenis yang berurutan? Latihan Berapakah peluang bahwa sebuah dadu yang dilemparkan 6 kali tidak pernah memunculkan angka genap?

33 Soal-soal Latihan Berapakah peluang bahwa suatu bilangan bulat positif tidak melebihi 100 yang dipilih secara acak habis dibagi 5 dan 7? Latihan Terdapat 100 orang yang mengikuti suatu acara dan Ani salah seorang di antaranya. Dia acara tersebut disediakan 3 buah doorprize yang pemilihan pemenangnya dilakukan secara acak. Berapakah peluang Ani untuk memenangkan satu dari ketiga hadiah tersebut? Latihan Manakah yang lebih mungkin terjadi: memperoleh jumlah 9 pada saat melemparkan dua dadu atau memperoleh jumlah 9 pada saat melemparkan tiga dadu ?

34 Soal-soal Latihan 5.2.3 Carilah peluang kemunculan setiap keluaran pada saat pelemparan suatu dadu yang dimodifikasi: peluang kemunculan 2 atau 4 adalah tiga kali lebih besar dari kemunculan empat angka lainnya dan peluang kemunculan 2 dan 4 sama besar. Latihan Berapakah peluang bersyarat bahwa tepat empat muka muncul pada saat suatu koin dilemparkan lima kali, jika pelemparan pertama memberikan muka? Latihan a Misalkan E: kejadian di mana suatu keluarga dengan 2 anak mempunyai anak laki-laki dan perempuan dan F: kejadian di mana suatu keluarga dengan 2 anak mempunyai paling banyak 1 anak laki-laki. Apakah E dan F saling bebas?