PROGRAM LINEAR Ismi Kuswardani, S.Pd.

Presentasi berjudul: "PROGRAM LINEAR Ismi Kuswardani, S.Pd."— Transcript presentasi:

1 PROGRAM LINEAR Ismi Kuswardani, S.Pd

2 Masalah Nyata: Suatu perusahaan mebel ingin membuat dua jenis meja, yaitu meja tulis dan meja makan. Untuk membuat meja–meja tersebut diperlukan 3 tahapan pekerjaan, yaitu: tahap I (pemasahan), tahap II (pemasangan), dan tahap III (pengecatan). Berdasarkan pengalaman beberapa tahun dalam memproduksi meja ini diperoleh fakta sebagai berikut:

3 Untuk membuat 1 meja tulis diperlukan waktu pemasahan 2 jam, pemasangan 1 jam, dan pengecatan 1 jam. Sedangkan untuk membuat 1 meja makan diperlukan waktu pemasahan 1 jam, waktu pemasangan 2 jam, dan waktu pengecatan 1 jam. Dari tenaga kerja yang ada waktu yang tersedia (dalam 1 bulan) untuk masing-masing tahap pekerjaan itu adalah sebagai berikut. Pada tahap I tersedia waktu 180 jam, tahap II tersedia 160 jam, dan tahap III tersedia 100 jam.

4 Keuntungan yang dapat diraih dari penjualan 1 buah meja tulis adalah Rp ,00 dan untuk 1 buah meja makan adalah Rp ,00. Permasalahannya: Berapa banyak meja tulis dan meja makan harus dibuat supaya keuntungan yang diperoleh sebesar-besarnya? Berapa rupiah keuntungan maksimum itu?

5 Masalah di atas dapat kita selesaikan dengan program linear.
PROGRAM LINEAR adalah … ? Suatu cara/metode yang digunakan sebagai solusi masalah optimasi suatu fungsi objektif dari persoalan yang diterjemahkan dalam model matematika. fungsi objektif model matematika disebut juga fungsi tujuan, yaitu fungsi yang akan dicari nilai optimumnya. hasil penerjemahan persoalan program linear ke dalam bahasa matematika, berupa sistem pertidaksamaan linear.

6 Langkah-langkah penyelesaian dari masalah di atas:
Untuk dapat menyelesaikan masalah program linear, susun model matematika (Sistem Pertidaksamaan Linear) dari keterangan pada soal. Selanjutnya gambar daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear tersebut. Tentukan titik-titik pojok pada daerah penyelesaian tersebut, kecuali titik (0,0). Menentukan nilai optimum, dapat ditentukan dengan 2 cara yaitu uji titik pojok dan garis selidik.

7 Model Matematika 2x + y ≤ 180 x + 2y ≤ 160 Fungsi objektif x + y ≤ 100
Misal : Meja Tulis = x Meja Makan = y Jenis Meja Tahap I Tahap II Tahap III Keuntungan Meja Tulis (x) 2 jam 1 jam Rp ,- Meja Makan (y) Rp ,- Persediaan 180 jam 160 jam 100 jam 2x + y ≤ 180 x + 2y ≤ 160 x + y ≤ 100 x ≥ 0 y ≥ 0 Fungsi objektif f (x,y) = x y

8 Daerah Penyelesaian 3. x + y ≤ 100 x + y = 100 2x + y ≤ 180
90 y 180 ( x, y) (90,0) (0,180) x 100 y ( x, y) (100,0) (0,100) 2. x + 2y ≤ 160 x + 2y = 160 4. x ≥ 0 x = 0 ( sumbu y ) 5. y ≥ 0 y = 0 ( sumbu x ) x 80 y 160 ( x, y) (80,0) (0,160)

9 Grafik Daerah Penyelesaian

10 Titik Pojok Titik potong garis x + 2y = 160 dan x + y = 100
Titik potongnya ( 40,60 ) Titik potong garis 2x + y = 180 dan x + y = 100 2x + y = 180 x + y = 100 x = 80 80 + y = 100 y = 20 Titik potongnya ( 80,20 )

11 Uji Titik Pojok Maksimum
f (x,y) = x y ( 0,80 ) (0) (80) = ( 40,60 ) (40) (60) = ( 80,20 ) (80) (20) = ( 90,0) (90) (80) = Maksimum Keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha mebel tersebut adalah Rp ,-, dengan memproduksi 80 meja tulis dan 20 meja makan.

12 Garis Selidik Garis selidik merupakan garis yang sejajar garis acuan atau garis yang diperoleh dari fungsi objektif f (x,y) = ax + by, yaitu ax +by = ab. Langkah-langkah yang dilakukan untuk mencari nilai optimum dari fungsi objektif menggunakan garis selidik adalah sebagai berikut. Buatlah garis acuan ax + by = k, dengan k = a.b Buatlah garis-garis sejajar ax + by = k dengan cara mengambil nilai k yang berbeda atau menggeser garis ax + by = k ke kiri atau ke kanan. a. Jika ax1 + by1 = k1 adalah garis paling kiri yang melalui titik (x1, y1) pada daerah penyelesaian maka k1 = ax1 + by1 merupakan nilai minimum. b. Jika ax2 + by2 = k2 adalah garis paling kanan yang melalui titik (x2,y2) pada daerah penyelesaian maka k2 = ax2 + by2 merupakan nilai maksimum.

13 Garis yang paling kanan adalah garis yang melalui titik ( 80,20 ) pada daerah penyelesaian. Oleh karena itu nilai maksimum fungsi objektif adalah f(80,20) = Dengan kata lain keuntungan maksimum yang diperoleh pengusaha mebel adalah Rp ,-

14 Menentukan nilai optimum dengan cara uji titik pojok maupun garis selidik akan memperoleh hasil (nilai optimum) yang sama. Yang perlu diingat adalah titik-titik yang digunakan adalah titik pojok pada daerah penyelesaian selain titik (0,0), karena jika nilai x dan y sama dengan 0 maka tidak ada barang yang dibuat (tidak terjadi proses apapun).

15 Persamaan garis yang melalui titik (0,a) dan (b,0) adalah
NOTE: Perhatikan tanda pertidaksamaan ketika menggampar daerah penyelesaian ( jika pertidaksamaannya > atau < maka garisnya putus-putus) Jika dalam soal ada kata maksimum, tidak lebih dari, paling banyak, persediaan maka tanda pertidaksamaan yang dipakai adalah ≤ Nilai maksimum suatu fungsi objektif tidak selalu berada pada titik potong Persamaan garis yang melalui titik (0,a) dan (b,0) adalah ax + by = ab Jika dalam soal ada kata minimum, tidak kurang dari, paling sedikit, sekurang-kurangnya maka tanda pertidaksamaan yang dipakai adalah ≥

16 SELAMAT BELAJAR MATH is so FUN