Proses Poisson Hasih Pratiwi.

Presentasi berjudul: "Proses Poisson Hasih Pratiwi."— Transcript presentasi:

1 Proses Poisson Hasih Pratiwi

2 Pendahuluan PROSES POISSON Proses Stokastik Rantai Markov
Rantai Markov waktu diskrit Rantai Markov waktu kontinyu Proses kelahiran dan kematian PROSES POISSON Proses Poisson

3 Review Proses Poisson adalah proses kelahiran murni dengan
n= untuk n0 dan n=0 untuk n0 Dari persamaan Kolmogorov backward: P0j’(t) = P1j(t) - P0j(t) Pij’(t) = Pi+1,j(t) - Pij(t), untuk semua i>0 diperoleh: Pij(s) = e-s (s)j-i/(j-i)! Proses Poisson

4 Sistematika 1. Counting process 2. Poisson process
3. Poisson point process 4. Poisson point process dimensi dua Proses Poisson

5 Counting process Proses stokastik {N(t), t0} adalah counting process jika N(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan t. Jika Tn adalah waktu antara peristiwa ke-(n-1) dan ke-n maka {Tn, n=1,2,…} merupakan waktu antar kedatangan (inter-arrival times). Sn = i=1n Ti, n1 adalah waktu kedatangan (arrival time) peristiwa ke-n atau waktu tunggu (waiting time) peristiwa ke-n. Counting process mempunyai independent increments jika banyaknya peristiwa yang terjadi antara waktu s dan t, N(t) – N(s), independen dari banyaknya peristiwa yang terjadi sampai dengan s. Counting process mempunyai stationary increments jika distribusi banyaknya peristiwa yang terjadi dalam sembarang interval hanya bergantung pada panjang interval. Proses Poisson

6 Proses Poisson T T T3 Suatu fungsi dikatakan o(h) (order h atau “little oh” h) jika Counting process {N(t), t0} adalah proses Poisson dengan rate >0 jika memenuhi 1. N(0) = 0 2. {N(t), t0} mempunyai independent increments 3. {N(t), t0} mempunyai stationary increments 4. P(N(t+h)-N(t)=1) = h + o(h) P(N(t+h)-N(t)2) = o(h) t peristiwa Proses Poisson

7 P{N(t+s) – N(s) = n} = (t)n e–t/n!, n=0,1,2,…
Proses Poisson Kondisi 3 dan 4 ekuivalen dengan banyaknya peristiwa dalam sembarang interval dengan panjang t berdistribusi Poisson dengan rate t: P{N(t+s) – N(s) = n} = (t)n e–t/n!, n=0,1,2,… t N(t) T2 T1 T3 T4 S1 S2 S3 S4 Waktu antar kedatangan T1, T2, … merup. v.r. berdistribusi eksponensial dengan mean 1/: P(Ti>t) = P(N(t) =0) = e-t Waktu kedatangan peristiwa ke-n (waktu tunggu peristiwa ke-n) berdistribusi gamma Proses Poisson

8 Compound Poisson process
Counting process {X(t), t  0} adalah compound Poisson process jika dengan {N(t), t  0} adalah proses Poisson dan {Yi, i = 1,2, …} v.r. iid dan independen dengan {N(t), t  0}. Dengan sifat N(t) diperoleh Contoh: Misalkan klaim yang terjadi pada suatu perusahaan asuransi berdistribusi Poisson dan Yk adalah nilai klaim ke-k. Maka X(t) =  Yk menyatakan besarnya klaim kumulatif sampai dengan t. Proses Poisson

9 Proses Poisson nonhomogen
Proses Poisson nonstasioner atau nonhomogen dengan fungsi intensitas (t), t  0 adalah counting process {N(t), t  0} yang memenuhi 1. N(0) = 0 2. {N(t), t0} mempunyai independent increments 3. P{N(t+h)-N(t)2} = o(h) 4. P{N(t+h)-N(t)=1} = (t)h + o(h) Proses Poisson

10 P{N((s,t])=k} = [(t-s)]k e-(t-s)/k!, k=0,1,…
Poisson point process The Law of Rare Events: Jika suatu peristiwa terjadi dalam sejumlah kemungkinan dengan probabilitas terjadinya peristiwa tsb kecil, maka total banyaknya peristiwa yang terjadi mendekati distribusi Poisson P(X=k) = k e-/k!, k=0,1,… Misalkan N((s,t]) merupakan v.r. banyaknya peristiwa yang terjadi selama interval (s,t]. Maka N((s,t]) adalah Poisson point process dengan intensitas >0 jika 1. untuk setiap m=2,3,… dan titik2 waktu t0=0<t1<t2<…<tm, v.r. N((t0,t1]), N((t1,t2]), …, N((tm-1,tm]) independen 2. untuk s<t, v.r. N((s,t]) berdistribusi Poisson P{N((s,t])=k} = [(t-s)]k e-(t-s)/k!, k=0,1,… Proses Poisson

11 Poisson point process N((a,b]) = 3 t a b Proses Poisson

12 Contoh Plot data gempa tektonik di Jawa dan Bali (BMG, 2000)
(Magnitude +: M≤5,5, ∆: 5,5<M≤6,0, o: 6,0<M≤6,5, □: M>6,5) Proses Poisson

13 Poisson point process Misalkan S adalah suatu himpunan dalam ruang dimensi n dan A keluarga subset S. Suatu point process dalam S adalah proses stokastik N(A) yang terindeks oleh himpunan2 A dalam A dan mempunyai nilai integer nonnegatif {0,1,2, …}. N(A): banyaknya titik dalam A Misalkan S subset real, bidang dimensi 2 atau ruang dimensi 3, A keluarga subset S, dan untuk sembarang AA misalkan |A| menyatakan ukuran (panjang, luas, atau volume) A. {N(A): A A } adalah homogeneous Poisson point process dengan intensitas >0 jika 1. untuk setiap AA , v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan parameter |A| 2. untuk setiap koleksi berhingga {A1,A2,…,An} dari subset S yang saling asing, v.r. N(A1), N(A2),…, N(An) independen. Proses Poisson

14 Compound & marked Poisson process
Misalkan X(t) proses Poisson dengan rate >0, setiap peristiwa dalam proses Poisson berkaitan dengan variabel random yang menyatakan nilai, biaya atau harga. Y1, Y2, … diasumsikan v.r. independen dengan fungsi distribusi bersama G(y) = P{Yk  y}. Compound Poisson process adalah proses nilai kumulatif yang didefinisikan oleh Z(t) = k=1X(t) Yk Marked Poisson process adalah barisan pasangan (W1,Y1), (W2,Y2), … dengan W1, W2, … adalah waktu tunggu atau waktu kejadian dalam proses Poisson X(t). Proses Poisson

15 Marked Poisson process
y Y2 Y3 Y1 t w w w w w5 Proses Poisson

16 Data gempa: Plot magnitude vs waktu
1 3 5 4 7 6 15 11 9 21 14 16 36 27 24 48 40 70 49 136 25 Proses Poisson

17 Poisson point process Misalkan =(x,y) adalah fungsi nonnegatif yang terdefinisi pada daerah S pada bidang (x,y). Untuk setiap AS, misalkan (A) = A (x,y) dx dy adalah volume A. Nonhomogeneous Poisson point process dengan fungsi intensitas (x,y) adalah point process {N(A);A S} yang memenuhi 1. untuk setiap A S, v.r. N(A) berdistribusi Poisson dengan mean (A) 2. untuk subset A1,…, Am dari S yang saling asing, v.r. N(A1),…, N(Am) independen. Homogeneous Poisson point process: (x,y) =  untuk semua x, y. Proses Poisson

18 Poisson point process Teorema(Taylor & Karlin, 1994)
Misalkan (W1,Y1), (W2,Y2), … adalah marked Poisson process dengan W1, W2, … adalah waktu tunggu atau waktu kejadian dalam proses Poisson dengan rate  dan Y1, Y2, … v.r. kontinu berdistribusi identik dan independen dengan fungsi densitas probabilitas g(y), maka (W1, Y1), (W2, Y2), … membentuk Poisson point process nonhomogen dimensi dua dalam bidang (t,y). Rata-rata banyaknya titik dalam suatu daerah A adalah A =   A g(y) dy dt. Proses Poisson

19 Terima kasih...