10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT.

Presentasi berjudul: "10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT."— Transcript presentasi:

1 10. KOMBINATORIAL DAN PELUANG DISKRIT

2 10.1 Pendahuluan Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang mempelajari pengaturan objek-objek. Solusi yang ingin diperoleh adalah jumlah cara pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya. Tiga contoh berikut dapat memperjelas masalah yang menyangkut Kombinatorial i) Misal nomor plat mosil di negar X terdiri atas 5 angka yang diikuti oleh 5 huruf. Angka pertama tidak boleh 0. Berapa banyak nomor plat mobil yang dapat dibuat?

3 ii) Sandi-lewat (password) sistem komputer
panjangnya 6 sampai 8 karakter. Tiap karakter Boleh berupa huruf besar atau kecil atau angka. Berapa banyak sandi-lewat yang dapat dibuat? iii) Dari 20 anggota fraksi X di DPR akan dibentuk sebuah komisi yang beranggotakan 65orang. Berapa banyak cara memilih anggota komisi Bila seorang anggota yang bernama A harus termasuk didalam komisi tersebut? Cara konvensional yang dapat ditempuh untuk menyelesaikan persoalan diatas adalah dengan mengenumerasi seluruh kemungkinan jawaban.

4 Mengenumerasi berarti mencacah atau menghitung
satu per satu setiap kemungkinan jawaban. Jika jumlah objek sedikit kita masih mungkin melakukan enumerasi terhadap kemungkinan jawaban yang ada. Tapi jika ukutan objeknya besar maka melakukan enumerasi terhadap seluruh kemungkinan jawaban menjadi tidak efisien, karena membutuhkan waktu yang banyak, ditambah lagi kemungkinan kesalahan lebih besar. Untuk ukuran objek yang besar kita perlu menggunakan suatu cara yang lebih efisien. Cara tsb. dikenal dengan “Kombinatorial”.

5 10.2 Percobaan Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari suatu percobaan (experiment). Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati. Contoh-contoh percobaan dan hasilnya. Melempar dadu Hasil percobaan yang mungkin dari proses melempar dadu adalah 6 kemungkinan, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. ii) Melempar koin Hasil percobaan melempar sebuah koin menghasilkan 2 kemungkinan, yaitu muka atau belakang.

6 iii) Memilih 5 orang wakil dari 100 mahasiswa.
Hasil yang diperoleh adalah perwakilan yang beranggotakan 5 orang mahasiswa. Kemungkinan perwakilan yang dapat dibentuk cukup besar, sehingga sulit untu dilakukan proses enumerasi. iv) Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e dan tidak boleh ada huruf yang berulang. Hasil yang diperoleh adalah untai (string) yang tersusun atas huruf-huruf tersebut, misalnya, abcde, abced, acdeb, …

7 10.3 Kaidah dasar menghitung
Dua buah kaidah dasar menghitung dalam bidang kombinatorial adalah kaidah perkalian (rule of product) dan kaidah penjumlahan (rule of sum). Kaidah Perkalian (Rule of Product) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil q kemungkinan jawaban), maka bila percobaan 1 dan 2 dilakukan akan terdapat p x q hasil percobaan (menghasilkan p x q kemungkinan jawaban).

8 Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum)
Bila percobaan 1 mempunyai p hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil p kemungkinan jawaban), percobaan 2 mempunyai q hasil percobaan yang mungkin terjadi (menghasil q kemungkinan jawaban), maka bila hanya satu percobaan saja yang dilakukan ( percobaan 1 atau percobaan 2), maka terdapat p + q kemungkinan hasil percobaan (menghasilkan p + q kemungkinan jawaban).

9 Perhatikan kata dan pada aturan perkalian serta kata atau pada aturan penjumlahan. Kedua kata ini adalah kunci untuk mengidentifikasi apakah suatu persoalan menghitung diselesaikan dengan kaidah perkalian atau penjumlahan. Kaidah perkalian berarti menyatakan bahwa kedua percobaan dilakukan secara simultan atar serentak. Sedangkan kaidah penjumlahan kedua percoban dilakukan secxara tidak simultan. Contoh berikut memperlihatkan penggunaan kaidah perkalian dan penjumlahan untuk menghitung pengaturan objek-objek. Kita harus dapat menganalisis kapan menggunakan kaidah perkalian dan kapan menggunakan kaidah penjumlahan.

10 Contoh 10. 1 Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, yaitu, nasi goreng, roti, soto ayam, sate, dan sop. Sedangkan minuman tersedia susu, kopi, dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu jenis makanan dan satu jenis minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan? Penyelesaian: Untuk membantu penyelesaian, kita dapat menggunakan diagram pohon untuk menentukan jumlah pasangan makanan dan minuman

11 Nasi goreng Roti Soto ayam Sate Sop Jumlah pasangan = 15
Kemungkinan makanan dan minuman yang dapat dipesan adalah: Nasi goreng dan susu Nasi goreng dan kopi Nasi goreng dan teh Roti dan susu Roti dan kopi Roti dan teh Soto ayam dan susu Soto ayam dan kopi Soto ayam dan teh Sate ayam dan susu Sate ayam dan kopi Sate ayam dan teh Sop ayam dan susu Sop ayam dan kopi Sop ayam dan teh Nasi goreng Sate Soto ayam Sop Roti susu kopi teh Jumlah pasangan = 15

12 Contoh 10. 2 Jabatan Ketua Himpunan dpt diduduki oleh mahasiswa angkatan 1997 atau angkatan Jika terdapat 45 orang mahasiswa angkatan 1997 dan 52 orang mahasiswa angkatan 1998, berapa cara memilih jabatan ketua himpunan? Penyelesaian: Jabatan yang tersedia hanya satu yang dapat diduduki oleh salah satu mahasiswa dari kedua angkatan. Karena ada 45 mahasiswa dari angkatan 1997, berarti ada 45 kemungkinan untuk memilih mahasiswa dari angkatan tersebut. Sedangkan untuk memilih salah satu mahasiswa angkatan 1998 terdapat 52 kemungkinan. Jadi jumlah cara untuk memilih salah satu dari kedua angkatan tsb. adalah = 97 cara

13 Contoh 10. 3 Sekelompok mahasiswa terdiri dari 4 orang mahasiswa dan 3 orang mahasiswi. Berapa jumlah cara untuk memilih seorang mahasiswa dan seorang mahasiswi dari kelompok tersebut? Penyelesaian: Misal mahasiswa terdiri dari A, B, C, dan D. Mahasiswi terdiri dari K, L, dan M. Jumlah cara untukj memilih seorang mahasiswa dan seorang mahasiswi adalah 4 x 3 = 12 cara.

14 Contoh 10. 4 Misal himpunan A = { a, b, c} dan himpunan B = {1, 2, 3}. Berapa banyak pasangan terurut (ordered pairs) yang dapat dibentuk dari anggota himpunan A dan anggota himpunan B? Penyelesaian: Jumlah pasangan yang dapat dibentuk adalah: R = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3)} atau 3 x 3 = 9 cara

15 10.4 Perluasan Kaidah menghitung
Kaidak perkalian dan penjumlahan dapat diperluas hingga mengandung lebih dari dua percobaan. Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p1, p2, … , pn, hasil percobaan yang mungkin terjadi yang dalam hal ini pi tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah: p1 x p2 x p1 x p2 x … x pn untuk kaidah perkalian. p1 + p2 + p1 + p2 +…+ pn untuk kaidah penjumlahan

16 Contoh 10. 5 Jika terdapat 3 pertanyaan yang masing-masing mempunyai 2 pilihan jawaban (S atau B), berapakah kemungkinan kombinasi jawaban yang dapat dibuat? Penyelesian: B S 23 = 8 kemungkinan

17 Contoh 10. 6 Berapa banyak kata yang terdiri dari 5 huruf yang dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e jika tidak boleh ada huruf yang berulang. b) Berapa banyak kata yang terdiri dari 5 huruf yang dibentuk dari huruf-huruf a, b, c, d, e jika pengulangan huruf diperbolehkan. c) Berapa banyak jumlah kata pada a) yang diawali huruf a. d) Berapa banyak jumlah kata pada a) yang tidak diawali huruf a. Penyelesaian:

18 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 kata yang mungkin b) 5 cara
d) 4 cara 3 cara 2 cara 1 cara 4 x 4 x 3 x 2 x 1 = 96 kata yang mungkin

19 Contoh 10. 7 Berapa nilai k sesudah potongan program berikut dieksekusi? k = 0 for p1 = 1 to n1 do k = k + 1 for p2 = 1 to n2 do for p3 = 1 to n3 do ⋮ for pm = 1 to nm do Penyelesaian: Potongan program mempunyai m buah kalang (loop). Setiap kalang ke i (i = 1, 2, 3, …, m) dieksekusi sebanyak ni kali dan dieksekusi tidak bersamaan Pada setiap kalang nilai k selalu ditambah 1. Kalang pertama menghasilkan k = n1 Kalang kedua menghasilkan k = n2 Kalang ketiga menghasilkan k = n3 Kalang ke-m menghasilkan k = nm Nilai k pada akhir program adalah k = n1 + n2 + n3 + … + nm

20 Contoh 10. 8 Penyelesaian: Berapa nilai k sesudah
potongan program berikut dieksekusi? k = 0 for p1 = 1 to n1 do for p2 = 1 to n2 do for p3 = 1 to n3 do k = k + 1 Penyelesaian: Potongan program mempunyai m buah kalang (loop) bersarang (nested). Setiap kalang ke i (i = 1, 2, 3) dieksekusi sebanyak ni kali dan dieksekusi secara bersamaan Pada akhir kalang ketiga, nilai k menjadi n3. Pada akhir kalang kedua, nilai k menjadi atau n3 . n2 Pada akhir kalang pertama, nilai k menjadi atau n3 . n2 . n1

21 10.5 Prinsip Inklusi-Ekslusi
Teorema Misal A1 , A2 , … An adalah himpunan berhingga, maka:

22 n = 2 |A1 ⋃ A2| = |A1| + |A2| – |A1 ⋂ A2| A1 S A2

23 n = 3 |A1 ⋃ A2 ⋃ A3 | = |A1| + |A2| + |A3| – |A1 ⋂ A2| – |A1 ⋂ A3| – |A2 ⋂ A3| + |A1 ⋂ A2 ⋂ A3| A1 A3 A2 S

24 n = 4 A3 A4 A2 A1 S

25 Contoh 10.9 Tentukan banyak bilangan mulai dari 71 sampai dengan 155 yang dapat dibagi 3 atau 8. Penyelesaian: Banyak bilangan = S = 155 – = 85 Misal : |A| = banyak bilangan mulai dari 71 sampai dengan 155 habis dibagi 3 |B| = banyak bilangan mulai dari 71 sampai dengan 155 habis dibagi 8 |A⋂B| = banyak bilangan mulai dari 71 sampai dengan 155 habis dibagi 3 dan 8 |A⋃B| = banyak bilangan mulai dari 71 sampai dengan 155 habis dibagi 3 atau 8

26 Ingat!

27 S A B 50

28 Pengaturan 2 objek yang berbeda menghasilkan 2 urutan yang berbeda
10.6 Permutasi ( 2 objek) 1 2 1 2 Pengaturan 2 objek yang berbeda menghasilkan 2 urutan yang berbeda

29 Pengaturan 3 objek yang berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda
10.6 Permutasi ( 3 objek) 3 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 3 2 1 3 1 2 3 1 2 2 3 1 3 1 3 1 2 2 3 2 1 1 3 2 1 Pengaturan 3 objek yang berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda

30 Pengaturan 4 objek yang berbeda menghasilkan 24 urutan yang berbeda
10.6 Permutasi ( 4 objek) 4 3 2 1 4 3 1 2 4 1 2 3 1 3 2 4 Pengaturan 4 objek yang berbeda menghasilkan 24 urutan yang berbeda

31 Kesimpulan: Dalam melakukan pengaturan: 2 objek berbeda menghasilkan 2 urutan yang berbeda 3 objek berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda 4 objek berbeda menghasilkan 24 urutan yang berbeda, atau dapat ditulis menjadi: 2 objek berbeda menghasilkan 2! urutan yang berbeda 3 objek berbeda menghasilkan 3! urutan yang berbeda 4 objek berbeda menghasilkan 4! urutan yang berbeda Berarti dalam melakukan pengaturan n objek yang berasal dari n objek yang berbeda berbeda menghasilkan n! urutan yang berbeda

32 Contoh 10.10 Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata “STMIK”? Penyelesaian: Jumlah huruf 5. Jadi jumlah kata yang dapat disusun dari kata “STMIK” adalah 5! = 120 buah kata Contoh 10.11 Berapa banyak cara mengurutkan 7 orang mahasiswa? Terdapat 7! cara untuk mengurutkan 7 orang mahasiswa, yaitu 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 840 cara

33 Pengaturan r objek berbeda dari n objek yang berbeda.
Misal kita akan melakukan penyusunan 2 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda. 1 2 2 1 3 1 4 1 5 1 3 1 2 4 5 3 1 3 2 2 3 2 4 2 5 4 1 4 2 4 3 3 4 3 5 5 1 5 2 5 3 5 4 4 5 Pengaturan 2 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 20 urutan yang berbeda.

34 Misal kita akan melakukan penyusunan 3 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda.

35 Pengaturan 3 objek dari 5 objek yang berbeda
1 2 5 2 1 3 4 5 3 1 2 4 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 2 5 1 2 2 1 3 4 1 3 3 1 2 4 5 5 1 3 2 1 4 3 1 4 5 1 4 2 1 5 3 1 5 4 1 5 Pengaturan 3 objek dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 60 urutan yang berbeda.

36 Jika kita susun 4 objek berbeda dari 5 objek yg berbeda, maka akan didapat 120 susunan objek yang berbeda. Kesimpulan: Susunan 2 objek berbeda berasal dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 20 urutan berbeda = 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5)/6 = 5! / 3! = 5! / (5 – 2)! Susunan 3 objek berbeda berasal dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 60 urutan berbeda = 3 x 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 )/ 2 = 5! / 2! = 5! / (5 – 3)! Jika dilanjutkan untuk susunan 4 objek berasal dari 5 objek yang berbeda akan menghasilkan jumlah urutan berbeda 2 x 4 x 5 = (1 x 2 x 3 x 4 x 5) / 1 = 5!/1! = 5! / (5 – 4)!

37 Jika dilanjutkan untuk susunan r objek berasal dari n objek yang berbeda akan menghasilkan jumlah urutan berbeda, n! / (n – r)! Penyusunan r objek berbeda yang berasal dari n objek yang berbeda merupakan permutasi r dari n objek dan dapat ditulis dengan P(r, n).

38 Contoh 10.12 Jajaran kursi pada sebuah bioskop disusun secara berbaris yang terdiri dari 6 kursi per baris. Jika dua orang akan duduk pada suatu baris tertentu, berapa banyak kemungkinan susunan yang terjadi? Penyelesaian: n = 6 ; r = 2 P(n, r) = n!/ (n – r)! P(6, 2) = 6!/ (6 – 2)! = 6!/ 4! = 30

39 Permutasi melingkar Permutasi melingkar adalah permutasi yang disusun mengikuti geometri lingkaran. Sedangkan permutasi disusun mengikuti geometri garis lurus Permutasi melingkar lebih ditekankan pada tetangga dari masing-masing objek. Rumus permutasi melingkar = (n – 1)! Sebagai contoh: Pada gambar berikut terdapat 4 objek diskrit yang mengelilingi meja.

40 Tetangga: Kanan dari objek merah adalah ungu Kiri dari objek merah adalah biru Kanan dari objek biru adalah merah Kiri dari objek biru adalah hijau Kanan dari objek hijau adalah biru Kiri dari objek hijau adalah ungu Kanan dari objek ungu adalah hijau Kiri dari objek ungu adalah merah

41 Perhatikan

42 Misal terdapat n objek yang akan disusun secara
melingkar. Objek pertama dapat ditempatkan dimana saja pada lingkaran dengan satu cara. Objek kedua ditempatkan pada tempat tertentu dengan (n – 1) cara. Objek ketiga dengan (n – 2) cara. Sedangkan objek terakhir ditempatkan dengan 1 cara. Sehingga jumlah cara menempatkan n objek secara melingkar adalah, 1 x ( n – 1 ) x ( n – 2 ) x … x 1 = (n – 1)! Rumus permutasi melingkar = (n – 1)!

43 Contoh 10.13 Misal terdapat sebuah meja yang akan diduduki oleh 8 orang tamu. Berapakah jumlah susunan yang berbeda dari tamu yang duduk mengelilingi meja? Penyelesaian: Jumlah susunan yang mungkin adalah (8 – 1)! = 840 kemungkinan susunan yang berbeda.

44 10.7 Kombinasi Kombinasi adalah bentuk khusus dari permutasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi urutan tidak diperhitungkan. Sebagai contoh Pada permutasi urutan abc, acb, bac, bca, cab, cba Dihitung sebanyak kemunculan, dalam hal ini 6 kemunculan. Sedangkan pada kombinasi urutan tidak diperhatikan. Artinya kemunculan dari abc, acb, bac, bca, cab, cba dihitung sebagai satu kemunculan.

45 Pengaturan r objek berbeda dari n objek yang berbeda.
Misal kita akan melakukan penyusunan 2 objek berbeda dari 4 objek yang berbeda. Pengaturan 2 objek dari 4 objek yang berbeda menghasilkan 6 urutan yang berbeda. 1 2 3 4 3 1 2 4 atau 6 = ((1)(2)(3)(4))/(1)(2)(2) = ((1)(2)(3)(4))/(2)(1)(2) = 4!/2!(4 – 2)!

46 Misal kita akan melakukan penyusunan 4 objek berbeda dari 5 objek yang berbeda.
1 2 3 3 1 2 4 Pengaturan 3 objek dari 5 objek yang berbeda menghasilkan 4 urutan yang berbeda, atau 4 = ((1)(2)(3)(4))/(1)(2)(3) = ((1)(2)(3)(4)(5))/(2)(1)(2)(3) = 4!/3!(4 – 3)!

47 Jika dilanjutkan untuk susunan r objek berasal dari n objek yang berbeda akan menghasilkan jumlah urutan berbeda, n! / r! (n – r)! Penyusunan r objek berbeda yang berasal dari n objek yang berbeda merupakan kombinasi r dari n objek dan dapat ditulis dengan,

48 Contoh 10.14 Ada berapa cara untuk memilih 3 dari 4 anggota himpunan A = {a, b, c, d} Penyelesian: C(4, 3) = 4!/3! (4 – 3)! = 4 Contoh 10.15 Ada berapa banyak cara menyusun menu nasi goreng 3 kali seminggu untuk sarapan pagi? C(7, 3) = 7!/3! (7 – 3)! = 35 cara

49 10.8 Permutasi dan Kombinasi Bentuk Umum
Misal kita mempunyai n buah bola yang terdiri dari: n1 buah bola berwarna 1, n2 buah bola berwarna 2, n3 buah bola berwarna 3, ⋮ nk buah bola berwarna k. n1 + n2 + n3 + … + nk = n

50 Contoh 10.16 Berapa banyak string yang dapat dibentuk dengan menggunakan huruf-huruf dari kata MISSISSIPPI? Penyelesian: Huruf M = 1 buah (n1) Huruf I =4 buah (n2) Huruf S = 4 buah (n3) Huruf P = 2 buah (n4) n = n1 + n2+ n3+ n4 = = 11 buah Jumlah string yang dapat dibentuk P (11; 1, 4, 4, 2) =

51 10.9 Koeffisien Binomial Misalkan x dan y adlah peubah, dan n adalah bilangan bulat tak negatif, maka (x+y)0 = 1 1 (x+y)1 = (x+y) (x+y)2 = x2 + 2xy + y2 2 (x+y)3 = x3 + 3x2y+ 3xy2 + y3 3 (x+y)4 = x4 + 4x3y+ 6x2y2 + 4xy3 + y4 4 6

52 Aturan untuk menjabarkan bentuk perpangkatan
(x + y)n adalah: Suku pertama adalah xn Pada setiap suku berikutnya, pangkat x berkurang satu, sedangkan pangkat y bertambah 1. Untuk setiap suku, jumlah pangkat x dan y adalah n. 3. Koeffisien untuk xn-k yk, yaitu suku ke (k+1) adalah C(n, k). Bilangan C(n, k) disebur koeffisien binomial Dari aturan diatas didapat: (x+y)n = C(n, 0) xn + C(n, 1) xn-1 y1 + … + C(n, k) xn-k yk + … + C(n, k) yn =

53 Contoh 10.17 Tentukan suku ke 5 dari penjabaran perpangkatan (x – y)7 Penyelesaian: (x – y)7 = ( x + (–y))7 Suku ke 5 adalah: C(7, 4) x7-4 y4 = 35 x3 y4

54