HIMPUNAN TERORDE PARSIAL DAN HIMPUNAN TERORDE TOTAL

Presentasi berjudul: "HIMPUNAN TERORDE PARSIAL DAN HIMPUNAN TERORDE TOTAL"— Transcript presentasi:

1 HIMPUNAN TERORDE PARSIAL DAN HIMPUNAN TERORDE TOTAL
HIMPUNAN BAGIAN DARI HIMPUNAN TERORDE HIMPUNAN BAGIAN TERORDE TOTAL ELWMEN PERTAMA DAN TERAKHIR ELEMEN MAKSIMUM DAN MINIMUM BATASATASDAN BATAS BAWAH

2 HIMPUNAN TERORDE PARSIAL Partially Ordered Sets (Posets)
Sebuah orde parsial dalam sebuah himpunanA adalah sebuah relasi dalam A yang : 1). Reflektif, yaitu (a,a)R untuk setiap a A 2). Anti-simetris, yaitu bila (a,b) R dan (b,a) R  a = b 3). Transitif, yaitu bila (a,b) R dan (b,c) R, maka (a,c) R

3 Bila suatu relasi dalam A mendefinisikan suatu orde parsial dalam A, maka
(a,b) R ditulis a  b yang dibaca a mendahului b (a precedes b) Contoh 9.1 Misalkan R adalah suatu relasi dalam N yang didefinisikan oleh “x adalah perkalian dari y”, maka R adalah orde parsial dari N 6  2, 15  3, 17  17

4 maka R adalah orde parsial dalam V
Contoh 9.2 Misalkan R relasi dalam V = {1,2,3,4,5,6} yang didefinisikan oleh “x membagi y” maka R adalah orde parsial dalam V Orde parsial dalam V dapat juga digambarkan dengan diagram : 1 2 3 5 4 6

5 Sebuah himpunan A bersama-sma dengan orde parsial relasi dalam A disebut himpunan terorde parsial (Posets) yang kadang-kadang dinyatakan dengan pasangan terorde (A,R) atau (A, ) Notasi-notasi lain dalam Posets : (a < b) berarti a  b dan a b a secara seksama mendahului b b  a berarti a  b b mendominasi a

6 Notasi-notasi lain dalam Posets :
(b > a) berarti a < b b secara seksama mendomonasi a Dua elemen a dan b dalam Poset dikatakan tidak dapat dibandingkan (not comparable) bila a  b dan b  a : Masing-masing tidak mendahului yang lain Elemen 3 dan 5 not comparable 3 tidak membagi 5 dan 5 tidak membagi 3

7 HIMPUNAN TERORDE TOTAL
Kata parsial yang digunakan dalam mendefinisikan suatu orde parsial dalam A disebabkan karena beberapa elemen dalam A tidak dapat dibandingkan (not comparable) Bila setiap dua elemen dalam Posets selalu comparable, maka orde parsial dalam A disebut orde total dalam A

8 Contoh 9.3 Relasi dalam N (bilangan asli) yang didefinisikan oleh “x membagi y” adalah orde parsial dalam N Tentukan apakah himpunan-himpunan berikut adalah suatu orde total dalam N a). {24,2,6} ya b). {3,15,5}  bukan c). {15,5,30}  ya d). {2,8,32,4}  ya e). {1,2,3,……} bukan

9 Contoh 9.3 Relasi dalam N (bilangan asli) yang didefinisikan oleh “x membagi y” adalah orde parsial dalam N Sisipkan <, > atau   (not comparable) pada pasangan-pasangan angka berikut : a). 2 < 8 b). 18   24 c). 9 > 3 d). 5 < 15

10 ELEMEN PERTAMA (First Element)
Misalkan A adalah himpunan terorde. Elemen a A disebut elemen pertama bila untuk setiap elemen x A  a  x a mendahului setiap x A ELEMEN TERAKHIR (Last Element) Elemen b A disebut elemen terakhir bila untuk setiap elemen x A  b  x b mendomonasi setiap x A

11 Contoh 9.3 Relasi dalam N (bilangan asli) yang didefinisikan oleh “x membagi y” adalah orde parsial dalam N Sisipkan <, > atau   (not comparable) pada pasangan-pasangan angka berikut : a). 2 < 8 b). 18   24 c). 9 > 3 d). 5 < 15

12 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut :
Contoh 9.4 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : a adalah elemen terakhir W tidak punya elemen pertama d bukan elemen pertama karena tidak mendahului e d b c a e Suatu Posets paling banyak mempunyai satu elemen pertama dan satu elemen terakhir

13 ELEMEN PERTAMA (First Element)
ELEMEN MAKSIMUM (Maximal Element) Misalkan A adalah himpunan terorde. Elemen a A disebut elemen maksimum bila a  x berarti a = x Tidak ada elemen dalam A yang secara seksama mendominasi a ELEMEN MINIMUM (Minimal Element) Elemen b A disebut elemen minimum bila b x  b Tidak ada elemen dalam A yang secara seksama mendahului b

14 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut :
Contoh 9.5 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : d dan e adalah elemen minimum a adalah elemen maksimum d b c a e

15 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut :
Contoh 9.6 Misalkan W = {a,b,c,d,e} diorde (disusun) seperti diagram berikut : a dan b adalah elemen maksimum c dan d adalah elemen minimum W tidak punya elemen pertama dan terakhir d e c b a

16 ELEMEN PERTAMA (First Element)
BATAS BAWAH (Lower Bounds) Misalkan B adalah himpunan bagian dari Poset A. Suatu elemen m A disebut batas bawah dari B Bila untuk setiap x B, m  x : m mendahului setiap elemen dalam B Bila sebuah batas bawah dari B mendominasi setiap batas bawah yang lain, maka disebut infimum dari B ditulis inf (B) Infimum = greatest lower bound

17 ELEMEN PERTAMA (First Element)
BATAS ATAS (Upper Bounds) Misalkan B adalah himpunan bagian dari Poset A. Suatu elemen M A disebut batas atas dari B Bila untuk setiap x B, x  M : M mendominasi setiap elemen dalam B Bila sebuah batas atas dari B mendahuluisetiap batas atas yang lain, maka disebut supremum dari B ditulis sup (B) Supremum = least upperr bound

18 a, b dan c adalah batas atas B sedangkan f adalah batas bawah B
Contoh 9.7 Misalkan V = {a,b,c,d,e,f,g} diorde (disusun) seperti diagram berikut : Misalkan B = {c,d,e} a, b dan c adalah batas atas B sedangkan f adalah batas bawah B e c d b a f g f = inf(B) c = sup(B)