4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER.

Presentasi berjudul: "4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER."— Transcript presentasi:

1 4. SOLUSI PERSAMAAN NON-LINIER

2 b) Metode Newton-Raphson
Metode ini juga termasuk metode terbuka seperti halnya metode iterasi titik tetap. Rumus yang digunakan pada metode Newton-Raphson dapat diturunkan secara grafis maupun perluasan deret Taylor.

3 Penurunan rumus iterasi Newton-Raphson secara grafis
f(x) Garis singgung kurva di titik xi dengan kemiringan f(xi) f(xi)  f(xi) x  xi+1 xi O Gambar 4.6

4 Sehingga iterasi Newton-Raphson didapat
f(x) f(xi)   x  xi+1 xi O (4.11) Sehingga iterasi Newton-Raphson didapat (4.12)

5 f(x) f(x0)  f(x1)  f(x2)  x  ... O x2 x1 x0 s

6 Penurunan rumus iterasi Newton-Raphson dengan perluasan deret Taylor
Perluasan deret Taylor dapat dinyatakan sebagai, Sebagai langkah untuk menghitung solusi hampiran, maka kita dapat mengabaikan suku-suku setelah turunan pertama. Sehingga deret taylor dapat ditulis menjadi, Pada saat kurva memotong sumbu x, maka f(xi +1) = 0. Jadi, atau (sama dengan persamaan 4.12)

7 Contoh 4.6 Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = e–x – x dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Gunakan tebakan awal x0 = 0 dan s = 0, Penyelesaian f (x) = e–x – x  f(0) = 1 – 0 = 1 f (x) = –e–x – 1  f (0) = –1 – 1 = –2

8 i xi f (xi) f (xi) rh 1 -2 - 0.5 0.10653066 -2.64872127 2 0.56631100
1 -2 - 0.5 2 3 1.9648E-07 4 E-15 2.2106E-07 5 5.0897E-15

9 Kriteria Konvergensi Metode Newton-Raphson
Prosedur iterasi metode terbuka xi +1 = g(xi) Prosedur iterasi metode Newton-Raphson Sehingga atau Selanjutnya didapat (4.13)

10 Karena syarat cukup konvergen
maka metode Newton-Raphson akan konvergen jika (4.14) Latihan Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 dengan menggunakan metode Newton-Raphson. Gunakan tebakan awal x0 = 4 dan s = 0,000005

11 c) Metode Secant Metode iterasi Secant merupakan metode yang dihasilkan dari modifikasi dari metode Newton-Raphson dengan cara mengganti f (x) pada persamaan (4.12) dengan bentuk yang mendekati seperti pada gambar berikut. Dari grafik dapat dilihat bahwa metode secant membutuhkan dua buah tebakan awal, seperti halnya pada metode bagi dua (bisecftion) atau regula falsi. Bedanya dua tebakan awal pada metode secant tidak perlu mengurung solusi.

12 Substitusi (4.15) ke (4.12 didapat
x O f(x) f(xi )  f(xi – 1)  s  xi+1   xi-1 xi  Gambar 4.7 (4.15) Substitusi (4.15) ke (4.12 didapat (4.16)

13 Contoh 4.7 Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = e–x – 3x2 dengan menggunakan metode Secant. Gunakan tebakan awal x0 = 0,5 dan x1 = 1 serta s = 0, Penyelesaian f (xi – 1 ) = f (x0) = f(0,5) = e–0,5 – 3(0,5)2 = –0,14347 f (xi) = f (x1) = f (1) = e–1 – 3(12) = –2,6321

14 i x  0.5 1 2 3 4 0.459 5 7.6688E-05 6 2.2433E-07 7 6.2779E-12

15 Latihan Tentukan solusi hampiran akar dari fungsi f (x) = e–1/2x – 3x2 + 1 dengan menggunakan metode Secant. Gunakan tebakan awal x0 = 0 dan x1 = 1 serta s = 0,000005