Linear Programming (Pemrograman Linier)

Presentasi berjudul: "Linear Programming (Pemrograman Linier)"— Transcript presentasi:

1 Linear Programming (Pemrograman Linier)
Program Studi Statistika Semester Ganjil 2011/2012 DR. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc

2 Contoh untuk Algoritma Simpleks Dakota’s Problem
Perusahaan furniture Dakota memproduksi bangku, meja dan kursi. Untuk setiap jenis furniture dibutuhkan bahan baku kayu dan 2 jenis waktu pengerjaan: finishing & carpentry Bahan baku dan waktu pengerjaan terbatas Ingin ditentukan jumlah produksi setiap furniture yang memaksimumkan keuntungan

3 Dakota’s Problem dalam Tabel
Sumber daya Bangku Meja Kursi Ketersediaan Kayu (m2) 8 6 1 48 Finishing (jam) 4 2 1.5 20 Carpentry (jam) 0.5 Profit 60 30 Peubah Keputusan?

4 LP untuk Dakota’s Problem
Sumber daya Bangku X1 Meja X2 Kursi X3 Ketersediaan Kayu (m2) 8 6 1 48 Finishing (jam) 4 2 1.5 20 Carpentry (jam) 0.5 Profit($) 60 30

5 Lakukan iterasi untuk menentukan BFS: BV & NBV yang baru
Algoritma Simpleks Mulai Tentukan BFS: BV & NBV Lakukan iterasi untuk menentukan BFS: BV & NBV yang baru BFS optimal? Tdk Ya Selesai

6 Langkah 1 Algoritma Simpleks
Rubah ke bentuk Standar Digunakan slack variabel karena semua kendala ≤ Kendala kayu Kendala finishing Kendala carpentry

7 Langkah 1 Algoritma Simpleks
Bentuk Standar LP Baris 0 Baris 1 Baris 2 Baris 3 Modifikasi baris 0 menjadi: Semua peubah di ruas kiri, konstanta di ruas kanan tanda =

8 Langkah 1 Algoritma Simpleks
Bentuk Tableau z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1 8 6 1 48 Baris 2 4 2 1.5 1 20 Baris 3 2 1.5 0.5 1 8 Bentuk Kanonik: bernilai 1 pada variabel tsb, bernilai nol pada variabel lain → spt matriks identitas

9 Langkah 2 Algoritma Simpleks
Tentukan BFS (BV dan NBV). BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang berbentuk kanonik. z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8

10 Langkah 3 Algoritma Simpleks
Apakah BFS tersebut sudah optimal? Dapat dilihat dari koefisien baris 0. z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Satu unit penambahan x1, menaikkan z sebesar $ 60

11 Langkah 3 Algoritma Simpleks
Interpretasi koefisien baris 0 Bagi NBV Variabel dengan Koefisien -c: satu unit penambahan variabel tsb menaikkan Z sebesar c. Variabel dengan koefisien +c: satu unit penambahan variabel tsb menurunkan Z sebesar c. Variabel dengan koefisien 0: BV z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Semua koefisien bagi NBV adalah < 0 Ada beberapa kemungkinan menaikkan nilai Z dengan menaikkan nilai peubah keputusan: menambah produksi BFS yang ada belum optimal

12 Langkah 3 Algoritma Simpleks
z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Produksi satu unit x1 (Bangku) akan menaikkan Z (profit) sebesar 60 ($) Produksi satu unit x2 (Meja) akan menaikkan Z (profit) sebesar 30 ($) Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (profit) sebesar 20 ($) Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar, untuk menggantikan salah satu peubah di BV

13 Langkah 4 Algoritma Simpleks
Menentukan peubah BV yang mana yang akan digantikan oleh x1 Dengan melakukan Ratio Test, agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Baris 1 Peubah selainnya tetap = 0 Baris 2 Baris 3

14 Langkah 4 Algoritma Simpleks
Semua syarat: Terpenuhi pada: di baris 3 Ratio Test: agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel, dipilih peubah dengan nilai ratio test terkecil z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Pada BFS berikutnya x1 adalah peubah NBV yang akan menggantikan s3 salah satu dari BV Dengan ERO – Elementary Row Operation

15 Langkah 4 Algoritma Simpleks
Elementary Row Operation (Operasi baris elementer): operasi antar baris untuk menentukan bentuk kanonik yang baru (BV & NBV yang baru) Di dalam bentuk kanonik baru: B1 B2 B3 Peubah di dalam BV harus mempunyai bentuk kanonik

16 Operasi Baris Elementer
Pada Iterasi berikutnya ingin diperoleh Tableau sbb: z X1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 Baris 1 1 Baris 2 Baris 3

17 Operasi Baris Elementer
Initial Tableau (Tableau 0): Tableau 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 Dengan ERO ingin diperoleh Tableau 1: baris 3 didahulukan (pivot row)  Tableau 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 3 1 0.75 0.25 0.5 4

18 Operasi Baris Elementer
Initial Tableau (Tableau 0): Tableau 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row)  Tableau 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 15 -5 30 240 Baris 3 1 0.75 0.25 0.5 4

19 Operasi Baris Elementer
Initial Tableau (Tableau 0): Tableau 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row)  Tableau 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 15 5 30 240 Baris 1 -1 1 -4 16 Baris 3 1 0.75 0.25 0.5 4

20 Operasi Baris Elementer
Initial Tableau (Tableau 0): Tableau 0  z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 -60 -30 -20 Baris 1  0 8 6 48 Baris 2 4 2 1.5 20 Baris 3 0.5 BV z=0 s1=48 s2=20 s3=8 ERO untuk baris 2, memanfaatkan baris 3 pada tableu 1 (pivot row)  Tableau 1 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV z=240 s1=16 s2=4 x1=4 Baris 0 1 15 -5 30 240 Baris 1 -1 1 -4 16 Baris 2 -1 0,5 1 -2 4 Baris 3 1 0.75 0.25 0.5 4

21 Tableau hasil iterasi: Tableau 1
z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 Pada tableau 1: Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal? Lihat koefisien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan? Peubah dengan Koefisien baris 0 <0?

22 Langkah 3 Algoritma Simpleks, Iterasi ke-2
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Produksi satu unit x2 (Meja) akan menurunkan Z (profit) sebesar 15 ($) Produksi satu unit x3 (Kursi) akan menaikkan Z (profit) sebesar 5 ($) BFS yang ada belum optimal. Pilih Entering Variable: Peubah NBV yang meningkatkan Z paling besar, untuk menggantikan salah satu peubah di BV

23 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2
Menentukan peubah BV yang mana yang akan digantikan oleh x2 Dengan melakukan Ratio Test, agar pergantian peubah tetap berada di dalam wilayah feasibel Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 Baris 1 Pada baris dengan koefisien negatif, tidak perlu dilakukan ratio test

24 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 Baris 2 Baris 3 Pemenang ratio test (terkecil): di baris 2 x3 akan menggantikan s2

25 Langkah 4 Algoritma Simpleks, Iterasi 2
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 Kolom pivot Kolom pivot Pada BFS berikutnya x3 adalah peubah NBV yang akan menggantikan s2 salah satu dari BV Dengan ERO – Elementary Row Operation Tableau 2 mempunyai bentuk kanonik baru:  Tableau 2 z X1 x2 X3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 Baris 1 1 Baris 2 Baris 3

26 Operasi Baris Elementer
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 Dengan ERO untuk memperoleh Tableau 2: baris 2 didahulukan (pivot row) Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 2 -2 1 2 -4 8

27 Operasi Baris Elementer
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 ERO untuk baris 0, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row) Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 5 10 280 Baris 2 -2 1 2 -4 8

28 Operasi Baris Elementer
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 ERO untuk baris 1, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row) Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 5 10 280 Baris 1 -2 1 2 -8 24 Baris 2 -2 1 2 -4 8

29 Operasi Baris Elementer
Tableau1   z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 15 -5 30 240 z=240 Baris 1 -1 -4 16 s1=16 Baris 2 0,5 -2 4 s2=4 Baris 3 0,75 0,25 x1=4 ERO untuk baris 3, memanfaatkan baris 2 pada tableu 2 (pivot row) Tableau 2 z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs Baris 0 1 5 10 280 Baris 1 -2 1 2 -8 24 Baris 2 -2 1 2 -4 8 Baris 3 1 1.25 -0.5 1.5 2

30 Tableau Hasil Iterasi: Tableau 2
z x1 x2 x3 s1 s2 s3 rhs BV Baris 0 1 5 10 280 z=280 Baris 1 -2 2 -8 24 s1=24 Baris 2 -4 8 x3=8 Baris 3 1.25 -0.5 1.5 x1=2 Kembali ke langkah 3: Apakah BFS tersebut sudah optimal? Lihat koefisien di baris 0, apakah masih ada kemungkinan menaikkan nilai z dengan menambah nilai peubah keputusan? Semua koefisien baris 0 >=0. Tidak mungkin lagi menaikkan nilai z. BFS sudah Optimal

31 Solusi Optimal Dakota’s Problem
Agar keuntungan maksimum, dan produksi yang sesuai dengan kendala (bahan baku dan jam pengerjaan), harus diproduksi sejumlah 2 buah bangku (x1), 8 buah kursi (x3), tanpa memproduksi meja

32 Langkah-langkah Algoritma Simpleks untuk Masalah Max
Rubah LP ke bentuk standar, tuliskan dalam bentuk tableau. Langkah 1 Tentukan BFS (BV dan NBV). BV dapat ditentukan dari elemen tableau yang berbentuk kanonik. Langkah 2 Jika semua koefisien baris 0 >=0, BFS solusi optimal Selainnya, pilih koefisien paling negatif untuk masuk ke dalam BV Langkah 3 Ratio test (terkecil) untuk menentukan peubah BV mana yang harus digantikan (menjadi NBV) Langkah 4

33 Langkah-langkah Algoritma Simpleks untuk Masalah Max
Lakukan ERO untuk membentuk bentuk kanonik baru, BFS baru (Tableau baru) Kembali ke langkah 3 Langkah 4