Penerapan Barisan dan Deret

Presentasi berjudul: "Penerapan Barisan dan Deret"— Transcript presentasi:

1 Penerapan Barisan dan Deret
Bunga Sederhana, Potongan Sederhana dan Bunga Majemuk

2 1. MODEL PERKEMBANGAN USAHA
Penerapan deret bagi dunia bisnis dan ekonomi lebih kepada deret hitung (deret aritmatika) karena jika diukur dengan deret ukur (deret geometri), variabel-variabel ekonomi seperti biaya produksi, modal, pendapatan dan tenaga kerja akan kesulitan mengikuti dan memenuhinya.

3 Sebuah perusahaan genteng meng-hasilkan 3000 buah genteng pada bulan pertama produksinya. Dengan penambahan tenaga kerja dan peningkatan produktifitas, perusahaan mampu menambah produksinya sebanyak 500 buah setiap bulan. Jika per-kembangan produksinya konstan, berapa buah genteng yang dihasilkannya pada bulan kelima ? Berapa buah yang telah dihasilkan sampai dengan bulan tersebut ?

4 Jawab: Diketahui : deret hitung dengan a=S1=3000, n=5
Ditanya : Berapa S5 dan D5 = ... ? Rumus : Sn = a + (n-1) b Dn = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} a. Banyaknya genteng untuk 5 bulan pertama: 3000, 3500, 4000, 4500, 5000 Atau (untuk bulan ke-5): Sn = a + (n-1)b S5 = (5-1)500 = (500) = = 5.000 b. Genteng yang sudah diproduksi sampai bulan kelima: D5 = n/2 (a+Sn) = 5/2( ) =

5 Sebuah dealer sepeda motor merek “Rusa” baru setahun membuka usahanya
Sebuah dealer sepeda motor merek “Rusa” baru setahun membuka usahanya. Bulan pertama stok persediaan motor 10 unit, pada akhir tahun di evaluasi ternyata rata-rata permintaan sepeda motor sebanyak 7 unit. Berapa jumlah stok persediaan bulan ketujuh ? Berapa unit yang sudah terjual sampai di bulan ke enam ? Jawab : Diketahui deret hitung dengan S1=a= 10 unit Ditanya : a. Berapa S7= .. ? B. Berapa D6= .. ?

6 Rumus : Sn = a + (n-1) b Dn = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} a
Rumus : Sn = a + (n-1) b Dn = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} a. Stock Persediaan di bulan ke Lima : S7 = a + (n-1) b = 10 + (7-1) 7 = 52 Unit b. Yang terjual sampai bulan ke enam : D6 = n/2 (a+ Sn) = n/2 {2a + (n-1) b} = 6/2 {2(10) + (6-1) 7} = 3 { } = 3 {55} = 165 unit.

7 2. MODEL PERTUMBUHAN PENDUDUK
Thomas Robert Malthus menyatakan bahwa pertumbuhan penduduk mengikuti deret ukur, sedangkan pertumbuhan pangan mengikuti deret hitung. Jadi model pertumbuhan penduduk secara matematis dapat dirumuskan sebagai berikut : Pt = Po (1 + r)n-1 Dimana : Pt : Total penduduk pada periode t Po : Jumlah Penduduk tahun awal r : Pertumbuhan penduduk 1 : Konstanta (angka tetap) n : Selisih tahun antara Pt dan Po

8 Pada tahun 1990 penduduk Indonesia jumlahnya 179 juta jiwa, tingkat per-tumbuhan penduduk 1,98%. Berapakah jumlah penduduk tahun 2000? Jawab : Pt = Po (1 + r)n-1 = (1 +1,98/100)9 = (1 + 0,0198)9 = (1,0198)9 = (1,193) = jiwa Jadi tahun 2000 dengan perhitungan diperkirakan penduduk berjumlah jiwa.

9 3. BUNGA & POTONGAN SEDERHANA
Bunga pinjaman selama setahun atau kurang, sering dihitung dengan cara yang sederhana I = P.r.t Dimana : P : Besarnya Pokok Pinjaman r : Besarnya prosentase bunga pinjaman setahun t : tahun jangka waktu pinjaman. Berapa jumlah yang harus dikembalikan oleh seseorang yang meminjam uang sebanyak Rp.2.500,- pada tanggal 5 juni 2002 dan dikembalikan pada tanggal 5 Pebruari 2003 dengan bunga sebesar 14 persen ?

10 Jawab : Mulai tanggal 5 Juni 2002 sampai 5 Pebruari 2003, atau waktu pinjamannya 8/12= 2/3 tahun ditanya : berapa jumlahnyang harus dikembalikan ? besarnya bunga pinjaman : Rumus : I = P.r.t = (0,14) (2/3) = 233,33 Jadi yang harus dikembalikan adalah pokok pinjaman ditambah dengan bunga, yaitu : Rp.2.500,- + Rp233,33,- = Rp.2.733,33,-

11 Berapa jumlah yang harus dicicil perbulan oleh Tukul yang meminjam di koperasi pegawai, jika meminjam uang sebanyak Rp ,- pada tanggal 15 juni 2002 dengan bunga tetap 12 persen pertahun selama periode kurun waktu dua tahun. Jawab : I2 = P.r.t = (0,12) (2) = Rp ,- Total yang harus dicicil adalah pokok ditambah bunga pinjaman selama 2 tahun adalah : Rp ,- + Rp ,- = Rp ,- Jadi gaji Tukul dipotong perbulan selama 2 thn sebesar : Rp ,- / 24 = Rp ,33,-

12 4. NILAI SEKARANG (PRESENT VALUE)
Adalah nilai sejumlah uang saat ini dari jumlah yang diperoleh di masa datang, misalkan P adalah nilai sekarang dari uang sebanyak A pada t tahun yang akan datang dan tingkat bunga adalah r maka bunga yang diperoleh dari P rupiah adalah : I = P.r.t dan uang setelah t tahun menjadi : P + P.r.t = P (1+ r.t) Karena A adalah nilai uang sebanyak P pada t tahun mendatang, maka : A = P (1 + r.t) atau P = A (1 + r.t)

13 Setahun lagi Angelina akan menerima apel malang sebanyak Rp. 1000
Setahun lagi Angelina akan menerima apel malang sebanyak Rp ,- berapakah nilai sekarang dari uang tersebut jika suku bunganya 13 persen setahun ? Jawab : Diketahui : A : Rp ,- t : setahun dan r = 13 % Ditanya : berapa nilai present valuenya (P) .. ? Rumus : P = A = ,- (1 + r.t) (0.13) (1) = = Rp ,75,- 1,13

14 5. BUNGA MAJEMUK Adalah bunga selain dikenakan pada pokok pinjaman, juga dikenakan pada bunga yang dihasilkan, sebagai pola banjar ukur dan deret ukur. Bunga tahun pertama : P.i Bunga dan pokok di akhir tahun : P + P.i = P (1+i) Bunga tahun kedua : P (1+i) . i Bunga dan pokok di akhir tahun kedua : P (1+i) + { P (1+i) i } = P + Pi + Pi + Pi2 = P + 2Pi + Pi2 = P (1+i)2 Dalam periode n tahun menjadi : P (1+i)n = Fn

15 Misalkan pembayaran bunga dilakukan dalam m kali setahun (frekwensi pembayaran) pada tingkat bunga i pertahun. Maka tingkat bunga dalam setiap periode adalah : i/m dan jumlah periode bunga seluruhnya yang dibungakan lagi selama n periode adalah n x m dan rumus untuk menghitung seluruh uangnya : Fn = A = P (1 + i/m )n.m Contoh : ada uang sebanyak Rp.1.000,- dibungakan setahun dengan bunga majemuk sebesar 5 persen pertahun dan diambil dalam setahun sekali, maka berapakah jumlah uang tersebut setelah 6 tahun ?

16 Jawab : Diketahui : P = 1000, i = 5% = 0,05, m=1, n=6 Rumus : A = P (1 + i/m )n.m A6 = 1000 ( /1)6x1 = 1000 (1,05)6 = 1000 (1,34) = Rp.1.340,- Suatu modal sebesar M dipinjamkan dengan bunga majemuk, suku bunga ditetapkan sebesar 12% pertahun. Jika penggabung-an bunganya dilakukan triwulan. Tentukan selama 5 tahun a. Periode bunga , b. Frekuensi penggabungan c. Besar suku bunga untuk setiap periode d. Banyaknya periode bunga

17 Jawab : a. Karena 1 triwulan = 3 bulan, maka periode bunga adalah 3 bulan. b. Frekuensi penggabungan = 12/3 = 4 c. Besar suku bunga untuk setiap periode adalah b = (12%)/4 = 3 % d. Banyaknya periode bunga = 5 x 4 = 20.

18 6. Nilai Masa Datang Dari Anuitas
Anuitas adalah serangkaian pembayaran yang dibuat secara periodik dan dalam jumlah uang yang tetap atau sama. Dalam anuitas diasumsikan bahwa semua pembayaran dibuat pada akhir periode dengan bunga majemuk. Ilustrasi: Nina menabung uangnya sebanyak 1 juta setiap permulaan tahun, dimana bunga 12% per tahun secara majemuk. Berapa jumlah tabungan Nina setelah 4 tahun (akhir tahun ke-3 atau awal tahun ke-4) ?

19 Rumus nilai masa datang dari anuitas adalah: Sn = P {(1+ i) n -1 } i Dimana : Sn = nilai di masa datang P = jumlah sekarang i = suku bunga per tahun n = jumlah tahun

20 7. Dana Cadangan Dana cadangan disebut juga sebagai sinking fund yaitu dana yang disisihkan (dicadang-kan) untuk pembayaran nilai tertentu dimasa yang akan datang. Misalkan perusahaan menyisihkan sebagian labanya untuk membayar utang sejumlah tertentu . setelah sekian tahun di masa datang. Rumus dana cadangan diperoleh dari rekayasa rumus nilai masa datang dar

21 8. Nilai Sekarang Dari Anuitas
Dimana : Sn = nilai di masa datang P = jumlah sekarang i = suku bunga per tahun n = jumlah tahun 8. Nilai Sekarang Dari Anuitas Nilai sekarang dari anuitas adalah jumlah dari nilai- nilai sekarang dari setiap periode pembayaran atau penerimaan uang tertentu.

22 Dimana : An = Nilai sekarang dari anuitas P = Jumlah pembayaran per periode i = Tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pembayaran

23 8. Penyisihan Pinjaman Untuk dana cadangan pembayaran cicilan hutang secara periodik dilakukan saat ini, agar di masa mendatang akan terlunasi jumlah tertentu utang atau pinjaman; sedangkan penyisihan pinjaman jumlah tertentu utang atau pinjaman sudah diterima saat ini, kemudian dilakukan pembayaran cicilan atau angsuran utang secara periodik.

24 Dimana : An = Nilai sekarang dari anuitas P = Jumlah pembayaran per periode i = Tingkat bunga tahunan n = Jumlah periode pembayaran