ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices)

Presentasi berjudul: "ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices)"— Transcript presentasi:

1 ALJABAR VEKTOR & MATRIKS (Vector Analysis & Matrices)
Pendahuluan Pada Fisika : a. Besaran Vektor b. Besaran Skalar Besaran : sesuatu yg dapat diukur dan besarnya dinyatakan dengan angka * Definisi besaran Vektor : suatu besaran yg besarnya dapat diukur (mempunyai nilai) dan mempunyai arah Contoh : kecepatan, gaya, dsb * Definisi besaran Skalar : suatu besaran yg besarnya dapat diukur tapi tidak mempunyai arah Contoh : massa, panjang, dsb.

2 BAB 1. VEKTOR dan SKALAR Operasi2 penjumlahan, pengurangan dan perkalian yg lazim dalam aljabar bilangan, dengan definisi yg sama, dapat di perluas kedalam aljabar Vektor Definisi dasar Aljabar Vektor Dua buah vektor A dan B sama jika memiliki besar dan arah yg sama, tanpa memperhatikan titik awalnya, A = B Sebuah vektor yg arahnya berlawanan dengan vektor A tapi memiliki besar yg sama dinyatakan oleh – A Jumlah (resultan) dari dua vektor, A dan B adalah vektor C, yg dibentuk dengan menempatkan titik awal B pada titik terminal A, lalu menghubungkan titik awal A ke terminal B, C = A + B Selisih vektor A dan B, yg dinyatakan oleh A – B adalah C

3 . yg bila ditambahkan B menghasilkan vektor A C = A – B = A + (-B) Bila A = B, maka A – B = 0 sebagai vektor nol Hasil kali vektor A dengan skalar m adalah vektor mA yg besarnya |m| kali besarnya A dan memiliki arah yg sama atau berlawanan A,bergantung pada apakah m positif /negatif Bila m = 0 maka mA adalah vektor nol.

4 Hukum-hukum Aljabar Vektor
Bila A, B dan C adalah vektor2, m dan n adalah skalar2, maka : A + B = B + A ⇨ hukum Komutatif penjumlahan A + (B + C) = (A + B) + C ⇨ hukum Asosiatif penjumlahan 3. mA = Am ⇨ hukum Komutatif perkalian m(nA) = (mn)A ⇨ hukum Asosiatif perkalian (m + n)A = mA + nA ⇨ hukum Distributif m(A + B) = mA + mB ⇨ hukum Distributif

5 VEKTOR SATUAN Vektor Satuan adalah sebuah vektor yg besarnya 1(satu) Bila A adalah vektor yg besarnya A ≠ 0 maka 𝐀 A adalah sebuah vektor satuan yg arahnya sama dengan A Setiap vektor A dapat dinyatakan oleh sebuah vektor satuan a dalam arah A, dikalikan dengan besarnya A. Jadi A = Aa Vektor satuan merupakan vektor yg panjangnya satu satuan Setiap vektor A = | 𝑎 𝑏 | yang bukan nol, mempunyai vektor satuan : Ā = 𝑨 |𝐴| = 𝑎 2 + 𝑏 | 𝑎 𝑏 | Besar (panjang) vektor Misalnya A = | 𝑎 𝑏 | adalah vektor di R2, maka besar vektor A : | A | = 𝑎 2 + 𝑏 2

6 Contoh soal 1. Sebutkan beberapa besaran vektor dan besaran skalar, ma sing-masing delapan macam ? Hitunglah besar (panjang) vektor dan vektor satuan dari vektor A = 〔 〕 ? Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah komutatif, yaitu A + B = B + A ? Secara grafis ! Diketahui vektor2 : K = 〔 〕, L = 〔 𝑋 4 〕 dan M = 〔 2 −1 〕 bila K – 2L = - M maka hitung nilai x ? Tentukan resultan vektor2 berikut : Vektor A, 15 m arah barat laut, B. 25 m. 30o disebelah utara dari timur dan C, 40 m ke selatan ?

7 Jawaban contoh soal 1a. Vektor : percepatan, momentum, berat, energi, medan listrik, me- . dan magnet, medan gravitasi, kohesi, adhesi, arus listrik, pegas dll. 1b. Skalar : waktu, suhu, kalor, kalor jenis, volume, luas, jarak, massa . jenis, intensitas cahaya, perbesaran lensa, dll. 2. Besar(panjang) vektor A : A = 〔 3 4 〕 . A = |A| = = 25 = 5 . Vektor satuan, A = A |A| = 1 5 〔 3 4 〕 = 〔 0,6 0,8 〕 3. Hukum Komutatif penjumlahan : A + B = B + A . bukti : Q OP + PQ = OQ ⇔ A + B = C . P B OR + RQ = OR⇔ A + B = C . A C A Jadi : . C A + B = B + A . O B R

8 Jawaban contoh soal 4. 3K – 2L = - M . 3 〔 2 3 〕 - 2 〔 𝑥 4 〕 = - 〔 2 −1 〕 . 〔 6 9 〕 + 〔 −2𝑥 −8 〕 = 〔 −2 1 〕 . 6 – 2x = -2 . x = x = 4 5. A = 15 m arah barat laut . B = 25 m arah utara dari timur 30o . C = 40 m ke selatan

9 Jawaban contoh soal U B D = A + B + C o Secara grafis : A pada ttk terminal A tempatkan o C ttk pangkal B B T pada ttk B tempatkan ttk pang kal C D resultan D dibentik dengan menghubungkan ttk pangkalA S dengan ttk terminal C, jadi D = A+B+C Secara grafis, resultan mempunyai besar 4,5 satuan, jadi resultan D = 22,5 m dengan arah 60o disebelah selatan dari timur.

10 Latihan soal/PR 1. a. Nyatakan vektor A secara aljabar ?
A(4,3) b. Hitunglah besar vektor A ? c. Tentukan besar vektor satuan A ? 4 2. Hitunglah besar vektor dan vektor satuan dari vektor B = 〔 6 −8 〕 ? 3. Buktikan bahwa penjumlahan vektor adalah assosiatif yaitu A + B + C = (A + B) + C ? 4. Sebuah mobil sedan bergerak ke arah utara sejauh 4km, lalu 8km ke arah timur laut. Tentukan vektor perpindahan resultannya se cara grafis dan analitis, gambarkan perpindahan mobil secara grafis ?

11 BAB 2. VEKTOR2 SATUAN TEGAK-LURUS i, j dan k
- Himpunan vektor2 satuan penting adalah yg arahnya menurut sumbu2 x, y dan z positif sistem koordinat tegak-lurus ruang dimensi, dinyatakan oleh i, j dan k. z C k A i j y B x A

12 1. Vektor2 Satuan Tegak-lurus. i, j, k
- Umumnya menggunakan sistem koordinat tegak-lurus aturan . tangan kanan, kecuali ada pernyataan lain Sistem ini dianalogikan dengan sebuah sekrup berulir kanan yg diputar 90o dari Ox ke Oy akan maju dalam arah sb z pos Bila tiga buah vektor A, B dan C yg titik pangkalnya berhim pit dan tak koplanar(tidak terletak pada atau sejajar bidang yg . sama)dikatakan membentuk sebuah sistem tangan kanan atau sistem dekstral. Analogi dengan sebuah sekrup (baut) berulir kanan yg diputar dengan sudut kurang dari 180o dari A ke B maka akan menuju arah C.

13 2. KOMPONEN-KOMPONEN VEKTOR
Setiap vektor A dalam ruang 3-dimensi bisa digambarkan dgn titik pangkal pada titik asal O dari sistem koordinat A1, A2, A3 : komponen2 dari vektor A dalam arah x, y dan z A1i, A2j dan A3k : vektor2 komponen dari A dlm arah x, y, z Resultan dari A1i, A2j dan A3k adalah : A = A1i + A2j + A3k Besar vektor A = | A | = 𝐴1 2 + 𝐴2 2 +𝐴32 Khususnya, vektor posisi atau vektor jejari(radius vector) r dari O ke titik (x, y, z) : r = xi + yj + zk Besar vektor r : r = | r | = 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑧2

14 3. MEDAN SKALAR dan MEDAN VEKTOR
Bila pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan sebuah skalar(bilangan) φ(x,y,z) maka φ disebut fungsi titik skalar (scalar point function),⇨ medan skalar Contoh : 1. Temperatur dalam laboratorium komputer φ(x,y,z) = x3y2 + y2z– xz2 Jika pada tiap2 titik (x,y,z) dari suatu daerah R dalam ruang, dikaitkan dengan sebuah vektor V(x,y,z) maka V disebut fungsi titik vektor (vector point function) dan dikatakan sebuah medan vektor telah didefinisikan dalam R. Contoh : Kecepatan fluida yg bergerak dalam pipa V(x,y,z) = xy2 i + 3yz2 j – 2x2z2 k Medan vektor stationer atau keadaan steady state adalah sebuah medan vektor yg tidak bergantung waktu.

15 4. Contoh soal 1. Diketahui vektor2 berikut, r = 〔 𝑥 𝑦 〕, s = 〔 3 2 〕, t = 〔 3 −2 〕 Bila . 3r - 2s = -t, hitunglah nilai x dan y ? 2. Diberikan beberapa vektor, P = 〔 −3 5 〕, Q = 〔 1 −7 〕, R = 〔 𝑥 1 〕 dan . S = 〔 2 𝑦 〕.Tentukan nilai x dan y,bila PQ = RS dan bila PQ = SR 3. Koordinat titik A( 2,-5) dan vektor AB = 3i – 4j , hitunglah . koordinat titik B ? 4. Diberikan beberapa vektor, K = i - 2j + 2k, L = 2i - 4j - 4k . dan M = 3i - 2j + 6k. Tentukan besar : a. | K |, |L |, | M | . b. | K - L + M | c. 3K – L + 2M 5. Diketahui medan skalar yg didefinisikan φ(x,y,z)= 3x2y – xy z2 Tentukan φ pada titik-titik :

16 Contoh soal – lanjutan a. (0,0,0) b. (1, 2, -2) c. (1, 1, -2) d. (-1, -2, -3) ?

17 Jawaban contoh soal 1. 3r – 2s = - t . 〔 3𝑥 3𝑦 〕 - 〔 6 4 〕 = 〔 −3 2 〕 . 3x – 6 = -3 3y - 4 = 2 . 3x = y = x = 1 y = 2 2. PQ = RS PQ = SR PQ = q – p = 〔 1−(−3) −7−5 〕 = 〔 4 −12 〕 SR = 〔 4 −12 〕 . RS = s – r = 〔 2−𝑥 𝑦−1 〕 . 〔 4 −12 〕 = 〔 2−𝑥 𝑦−1 〕 〔 4 −12 〕 = 〔 𝑥−2 1−𝑦 〕 . 4 = 2 - x -12 = y = x = y x = - 2 y = -11 x = 6 y = -13

18 Jawaban contoh soal – lanjutan
3. AB = b – a = 〔 𝑥−2) 𝑦+5 〕 = ⇨ 3i -4j = 〔 𝑥−2) 𝑦+5 〕 = 〔 〕 = 〔 𝑥−2) 𝑦+5 〕 3 = x = y x = y = Jadi koordinat titik B adalah B(5, -9) 4a. | K | = | i – 2j + 2k | = − = 9 = | L | = | 2i – 4j - 4k | = −4 2+(−4)2 = = | M | = | 3i – 2j + 6k | = −2 2+(6)2 = = 7 4b. K – L + M = (i - 2j + 2k) – (2i - 4j - 4k) + (3i – 2j +6k) = 2i + 12k | K – L + M | = = = c. 3K – L + 2M = (3i – 6j + 6k) – (2i – 4j – 4k) + (6i – 4j + 12k) = i – 6j + 22k Type equation here.

19 Jawaban contoh soal – lanjutan
5. φ(x,y,z) = 3x2y – xy3 + 5z2 φ(0,0,0) = 0 φ(1, 2, -2) = 3(1)2(2) – (1)(2)3 + 5(-2)2 = = 18 φ(1, 1, -2) = 3(1)2(1) – (1)(1)3 + 5(-2)2 = 3 – = 22 φ(-1, -2, -3) = 3(-1)2(-2) - (-1)(-2)3 + 5(-3)2 = - 6 – = . = 31

20 5. Soal Latihan/PR 1. Diketahui beberapa koordinat vektor2 : . A pada (4,3), B pada( 2,-8), C(x,3) dan D(3,y). Tentukan . nilai x dan y bila : a. AB = CD b. AB = DC ? 2. Koordinat vektor K(3,-5, 4) dan vektor KL = 2i – 3j + 5k . Hitunglah koordinat L ? 3. Diberikan beberapa vektor : R = 2i – 2j + k, S = 4i – 4j + 2k . dan T = 6i -2j + 3k. Tentukan : a. | R | + | S | + | T | . b. | R + S + T | c. | 3R - 2S - T | 4. Tentukan sebuah vektor satuan yg sejajar resultan dari vek- . tor-vektor A = 5i + 4j + 2k dan B = 3i + 2j + k ? 5. Sebuah beban 50 kg digantungkan pada pertengahan sebuah . tali seperti pada gambar di bawah.Tentukan tegangan T pada . tali ?

21 Soal Latihan/PR – lanjutan
. T1 T kg

22 BAB 3. HASIL-KALI TITIK DAN HASIL-KALI SILANG
Pendahuluan Pada vektor terdapat dua perkalian, perkalian skalar dan per kalian vektor Perkalian skalar dua vektor dinamakan hasil-kali titik(skalar) Perkalian vektor dua vektor disebut hasil-kali silang (vektor) Hukum-hukum yg berlaku pada kedua perkalian itu ; hasil- kali titik dan hasil-kali silang

23 1. Hasil-kali Titik (Skalar)
Perkalian Skalar dua buah vektor disebut juga hasil-kali titik atau dot product. Hasil-kali titik (skalar) dua buah vektor, A dan B, yg dinyatakan oleh A · B didefinisikan sebagai hasil-kali antara besarnya vektor2 A dan B serta cosinus θ antara keduanya : A · B = | A | | B | cos θ dimana 0 ⩽ θ ⩽ 𝜋 Bila diketahui A = 〔 𝑥1 𝑦1 𝑧1 〕 B = 〔 𝑥2 𝑦2 𝑧2 〕 maka, A · B = (x1 x2) + (y1 y2) + (z1 z2), dimana | A | = 𝑥12+𝑦12+𝑧12 dan | B |= 𝑥22+𝑦22+𝑧22 Bila A · B = 0 maka A ┴ B Jadi hasil-kali skalar dua vektor adalah suatu bilangan(skalar)

24 Hasil-kali Titik (Skalar) – lanjutan
4. Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor atau hukum-hukum pada hasil-kali titik : A · B = B · A Hukum Komutatif A · (B + C) = A · B + A · C Hukum Distributif m (A · B) = (mA) · B = A · (mB) = (A ·B)m i · i = j · j = k · k = i · j = j · k = k · i = A · A = | A | Bila : A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka A · B = A1B1 + A2B2 + A3B A · A = | A |2 = A12 + A22 + A B · B = | B |2 = B12 + B22 + B32

25 7. Besar sudut antara dua vektor
Bila diketahui A, B dan < A · B = α, maka . cos α = 𝐀 · 𝐁 𝐴 𝐵 = 𝐴1𝐵1+𝐴2𝐵2+𝐴3𝐵3 𝐴12+𝐴22+𝐴32 . 𝐵12+𝐵22+𝐵32 8. Proyeksi orthogonal suatu vektor pada vektor lain . Bila C adalah proyeksi A pada B, maka a. Proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor A pada B adalah : C = 𝐀 . 𝐁 |𝐵| hasilnya skalar(bilangan) . b. Proyeksi vektor orthogonal A pada B adalah : . C = 𝐀.𝐁 𝐁 |B| hasilnya vektor.

26 2. Hasil-kali Silang (Vektor) – cross product
1). Hasil-kali silang (vektor) dari dua vektor A dan B adalah sebuah vektor C = A x B. Besar A x B didefinisikan sebagai hasil-kali antara besarnya A dan B serta sinus sudur θ anta ra keduanya. Arah vektor C = A x B tegak lurus pada bidang yg memuat A dan B sedemikian rupa sehingga A, B dan C membentuk sistem tangan kanan. A x B = | A | | B | sin θ u , dimana 0 ⩽ θ ⩽ 𝜋 dan u adalah vektor satuan yg menunjukkan arah dari A x B bila A = B atau A sejajar B maka sin θ = 0 dan didefinisi kan A x B = 0

27 2). Hukum-hukum yg berlaku pada hasil-kali silang
a. A x B = - B x A hukum Komutatif b. A x (B + C) = A x B + A x C hukum Distributif c. m(A x B) = (mA) x B = A x ( mB) = (A x B)m d. i x i = j x j = k x k = i x j = k j x k = i k x i = j e. Bila A = A1i + A2j + A3k dan B = B1i + B2j + B3k, maka A x B = 〔 i j k A1 A2 A3 B1 B2 B3 〕 f. Besar A x B = luas jajaran genjang dengan sisi A, B g. Bila A x B = 0, A dan B bukan vektor2nol maka A dan B sejajar.

28 Contoh Soal Hasil-kali Titik
1. a. i · i = d. j · k = . b. i · j = e. j · (2i – 2j – 2k) = . c. i . k = f. (2i – j) · (2i – k) = 2. Bila diketahui vektor P = 2i – 2j – k dan Q = i - 4j + 8k, . maka tentukan : a. | P | c. P · Q . b. | Q | d. sudut θ . 3. Bila | A |= 12 , | B |= 8 dan sudut antara vektor A dan B . adalah 60o. Tentukan | A – B | ? 4. Bila sudut antara vektor K = i + 2 j + a k dan L = i - 2 j . + a k, adalah 60o Tentukan besar a ?

29 Jawaban contoh Soal Hasil-kali Titik
1a. i · i = | i | | i | cos 0o = (1) (1) (1) = 1 . b. i · j = | i | | j | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . c. i · j = | i | | k | cos 90o = (1)(1)(0) = 0 . d. j · (2i – 2j – 2k) = 2j · i – 2j · j – 2j · k = 0 – = 2 . e. (2i – j) · (2i + k ) = 2i · (2i + k) – j · (2i + k) = 4i · i + 2i · k . – 2j · i – j · k = – 0 – 0 = 4 2a. | P | = 22+ − = 3 b. | Q | = 12+ − = 8 c. P · Q = (2)(1) + (-2)(-4) + (1)(8) = = 18 d. cos θ = P.Q |P | | Q | = = 2 3 ⇨ θ = arc cos 0,667 = 48,50 3. | A – B |2 = | A |2 + | B |2 – 2 | A | | B | cos 600 = – 2 (12)(8)(0,5) = 112 ⇨ | A – B | = 112 =4 7 Type equation here.

30 Jawaban contoh soal 4. K . L = | K | | L | cos θ ⇨ cos θ = K. L |K | |L | = 1−2+𝑎 𝑎 𝑎2 cos 600 = − 1+𝑎 𝑎2 = 1 2 = − 1+𝑎 𝑎 a2 = a2 a2 = 5 a = 5 = 2,2360

31 SOAL LATIHAN/PR 1a. i · (3i – 2j – k) = . b. (2i – j) · (i + 2j) . c. k · k = . d. i . [ (i – 3j – k) . (3i – 2j + 3k)] = 2. Bila P = P1i + P2j + P3k dan Q = Q1i + Q2j + Q3k maka bukti- . kan P . Q = P1 Q1 + P2 Q2 + P3 Q3 ? 3. Tentukan sudut antara vektor2 K = 2i + 2j – k dan . L = 6i – 3j - 2k ? 4. Tentukan proyeksi vektor A = i – 2j + k dan B = -4i – 4j +7k

32 Contoh soal Hasil-kali Silang
Tentukan hasilnya : a. i x j = b. j x k = e. j x j = h. i x k = c. k x i = f. k x j = i. i x i = d. 2i x 3k = g. (2i) x (-3k) j. 2j x i – 3k = Bila P = 2i – 3j – k dan Q = i + 4j - 2k, maka tentukan a. P x Q = b. Q x P = c. (P + Q) x (P – Q) = Jika K = 3i – 2j + 2k, L = 2i + j – k dan M = i – 2j + 2k carilah : a. (A x B) x C b. A x (B x C) ?