TURUNAN PARSIAL dan TURUNAN PARSIAL ORDO TINGGI

Presentasi berjudul: "TURUNAN PARSIAL dan TURUNAN PARSIAL ORDO TINGGI"— Transcript presentasi:

1 TURUNAN PARSIAL dan TURUNAN PARSIAL ORDO TINGGI
Kelompok 4: Iska Widia Asri Diah Lutfiyatul H Kelas 2k

2 A. Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Fungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinyatakan dalam bentuk eksplisit, maka secara umum ditulis dalam bentuk z = F(x,y). Sebaliknya jika fungsi dituliskan dalam bentuk implisit, secara umum ditulis dalam bentuk F(x,y,z) = 0. Contoh: 1. z = 2x + y 2. z = ln 3. z = 1 – 2 4. xy + xz – yz = 0 5. xy - e = 0 6. ln = 0 7. arc tan - 2z = 0

3 B. Turunan parsial Dua dan Tiga Peubah
Andaikan f adalah fungsi dengan dua peubah x dan y. Jika y dijaga agar tetap konstan, misalnya y = y0, maka f (x, y0) adalah fungsi dengan peubah tunggal x turunannya di x = x0 disebut turunan parsial f terhadap x di (x0, y0) dan dinyatakan sebagai fx (x0, y0). Jadi, fx (x0, y0) =

4 Dengan cara yang serupa, turunan parsial f terhadap y di (x0,y0) dinyatakan dengan fy (x0,y0) dan dirumuskan dengan fy (x0,y0) = Dari pada menghitung fx (x0,y0) dan fy (x0,y0) secara langsung dari rumus di atas, biasanya kita dapat menentukan fx (x, y) dan fy (x, y) dengan menggunakan aturan-aturan standar turunan, kemudian kita mensubsititusikan x = x0 dan y = y0.

5 Contoh : Tentukan fx (1, 2) dan fy (1, 2), jika f (x, y)= x2y + 3y3 Penyelesaian:

6 Jika z = f (x, y), kita menggunakan notasi-notasi alternative berikut: fx (x, y) = = fx (x0, y0) = (x0, y0) fy (x, y) = = fy (x0, y0) = (x0, y0)

7 Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y
Misal z = F(x,y) adalah fungsi dengan variable bebas x dan y. Karena x dan y variable bebas maka terdapat beberapa kemungkinan yaitu: 1. y dianggap tetap, sedangkan x berubah-ubah. 2. x dianggap tetap, sedangkan y berubah-ubah. 3. x dan y berubah bersama-sama sekaligus.

8 Definisi : Misal z = F(x,y) adalah fungsi dua peubah yang terdefinisi pada interval tertentu, turunan parsial pertama z terhadap x dan y dinotasikan dengan dan dan didefinisikan oleh = dan

9 Contoh : Tentukan turunan parsial pertama dari a. z = Penyelesaian:

10 Dengan cara yang sama, andaikan W = F(x,y,z) adalah fungsi tiga peubah yang terdefinisi dalam selang tertentu maka turunan parsial pertama dinyatakan dengan , dan yang secara berturut didefinisikan oleh: =

11 Contoh: Jika f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx, fy, fz
Contoh: Jika f (x, y, z) = xy + 2yz + 3zx, tentukan fx, fy, fz. Penyelesaian:

12 C. Turunan Parsial Ordo Tinggi
Turunan parsial fungsi dua peubah atau lebih dapat ditentukan turunan parsial ke n, untuk n ≥ 2 turunan parsialnya dinamakan turunan parsial tingkat tinggi. Jadi andaikan z = F(x,y) maka: Turunan parsial tingkat dua adalah

13 = zxx =. ( ) = fxx = zxy =. ( ) = fxy = zyy =. ( ) = fyy = zyx =
= zxx = . ( ) = fxx = zxy = . ( ) = fxy = zyy = . ( ) = fyy = zyx = . ( ) = fyx Bila Z dan turunan parsialnya kontinu maka berlaku = =

14 Demikian pula, jika W = F(x,y,z) Turunan parsial tingkat dua adalah , , , , , , ,

15 Contoh: Z =5x4 ─ 2x2y + y3carilah 4 macam turunan parsial kedua dari z
Contoh: Z =5x4 ─ 2x2y + y3carilah 4 macam turunan parsial kedua dari z. Penyelesaian:

16