Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola

Presentasi berjudul: "Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola"— Transcript presentasi:

1 Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola
Tim Kalkulus II

2 Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 2 Dimensi
Sistem koordinat kartesian dua dimensi merupakan sistem koordinat yang terdiri dari dua sumbu yang saling tegak lurus, biasanya sumbu X dan Y

3 Koordinat Kartesius y x

4 Koordinat Kartesius Sistem Koordinat 3 Dimensi
Sistem Koordinat Kartesian 3 Dimensi, pada prinsipnya sama dengan sistem koordinat kartesian 2 dimensi, hanya menambahkan satu sumbu lagi yaitu sumbu Z, yang ketiganya saling tegak lurus

5 Koordinat Kartesius z y x

6 Koordinat Polar Dalam koordinat polar, koordinat suatu titik didefinisikan fungsi dari arah dan jarak dari titik ikatnya. Jika O merupakan titik pusat koordinat dan garis OX merupakan sumbu axis polar, maka titik P dapat ditentukan koordinatnya dalam sistem koordinat polar berdasarkan sudut vektor (θ) dan radius vektor (r) atau (garis OP) yaitu P (r, θ). Sudut vektor (θ) bernilai positif jika mempunyai arah berlawanan dengan arah putaran jarum jam, sedangkan bernilai negatif jika searah dengan putaran jarum jam.

7 Koordinat Polar O (titik kutub) Sumbu Polar Dalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat polar. Koordinat polar menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

8 Titik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi:
-  derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam) - berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

9 Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar
(r, ) = (- r,  + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r,  + n ), untuk n bil. Bulat genap Contoh: Nyatakan koordinat polar berikut ke dalam bentuk koordinat kartesius. (2, /3), (-2, 4/3), (2, 7/3), (-2, -2/3).

10 Koordinat Polar r 

11 Konversi koordinat polar kedalam koordinat tegak.
Gunakan relasi: x = r cos  , y = r sin  Maka r2 = x2 + y2, tan  = y/x, jika x  0 Catt. menentukan  Jika x >0, maka x berada di kuadran 1 atau 4 jadi -/2 <  < /2   = arctan(y/x). Jika x < 0, x berada di kuadran 2 atau 3,  =  + arctan(y/x).

12 Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a
Contoh: Untuk lingkaran berjari a, - berpusat di (0,a): r = 2a sin  - berpusat di (a,0): r = 2a cos 

13 Koordinat Polar Jika a=1, maka r = 2 sin  r = 2 cos 

14 Konversikan persamaan polar r = 2 sin  kedalam sistem koordinat tegak:
Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin  x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

15 Titik 3D dalam koordinat tabung
Koordinat Polar dalam bidang datar r 

16 Koordinat tabung hanya dengan menambahkan sumbu-z pada koordinat polar (r,).

17 Titik 3D dalam koordinat tabung
(r,,z)  r  r

18 Konversi antara koordinat tabung dan koordinat kartesius
 r (r,,z)

19 Titik-titik 3D dalam Koordinat Bola
(x,y,z) 

20 Titik-titik 3D dalam koordinat bola

21 Titik-titik 3D dalam koordinat bola


22 Titik-titik 3D dalam koordinat bola

23 Titik-titik 3D dalam koordinat bola

24 Titik-titik 3D dalam koordinat bola
Sudut .

25 Suatu titik dalam koordinat bola
( , ,) 

26 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z) r  z 

27 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z) r  z 

28 Konversi antara koordinat bola dan koordinat kartesius
(x,y,z) r  z 

29 Koordinat Kartesius, Koordinat Tabung & Koordinat Bola
Integral

30 Integral: Koordinat Kartesius
Riemann Sum dalam triple integral sbb: Untuk menghitung volume balok-balok kecil dengan ukuran panjang , lebar , dan tinggi

31 Integral: Koordinat Tabung
Bagaimana dengan ukuran-ukuran dalam koordinat tabung r, q, and z? Dengan menganggap kasus 2D dalam koordinat polar  r

32 Integral: Koordinat Tabung
Dengan ekspansi jari-jari ukuran kecil r r r+Dr

33 Integral: Koordinat Tabung
Jari-jari tabung bagian dalam r dan jari-jari bagian luar r+D r. r r+Dr r r+Dr

34 Integral: Koordinat Tabung
Sudut q. Ada penambahan sudut sebesar Dq.  Dq 

35 Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut  

36 Integral: Koordinat Tabung
Ini adalah suatu benda padat dengan jari-jari r dan sudut 

37 Integral: Koordinat Tabung
Dengan penambahan D z .

38 Integral dalam Koordinat Tabung
Untuk mencari volume benda padat

39 Integral dalam Koordinat Tabung
Maka . . .

40 Soal 1. Hitunglah dimana S tetrahedron dengan titik-titik sudut (0,0,0), (3,2,0), (0,3,0), dan (0,0,2).

41 Soal 2. Diketahui persamaan dalam koordinat tabung: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

42 Soal 3. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat tabung & gambarkan

43 Soal 4. Diketahui persamaan dalam koordinat bola: a. b. c. Tentukan persamaan dalam koordinat kartesius & gambarkan

44 Soal 5. Diketahui persamaan dalam koordinat kartesius: a. b. Tentukan persamaan dalam koordinat bola& gambarkan