MATRIKS.

Presentasi berjudul: "MATRIKS."— Transcript presentasi:

1 MATRIKS

2 A. PENGERTIAN, NOTASI DAN ORDO MATRIKS
Pengertian Matriks Matriks adalah suatu susunan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom berbentuk persegi panjang. Susunan ini diletakkan dalam ( ), atau [ ] atau || ||

3 Baris Ke-1 Baris Ke-2 A = Baris Ke-m Kolom Ke-1 Kolom Ke-n

4 CONTOH 1 : Tentukan: a. banyak baris matriks A
b. banyak kolom matriks A c. a11, a21, a24, a32

5 Notasi Matriks Suatu matriks diberi notasi dengan huruf kapital, seperti A, B, C dan sebagainya. Contoh : A =

6 3. Ordo Matriks Ordo (ukuran) dari matriks adalah banyak baris dan kolom yang dimiliki matriks yang bersangkutan. A m x n berarti matriks A berordo m x n artinya matriks A memiliki m buah baris dan n buah kolom CONTOH: A = Matriks A berordo 3 x 4

7 4. Tranpose Matriks Contoh : Tentukan tranpose dari matriks A =
Matriks berordo n x m yang didapat dari penukaran baris dengan kolom matriks Am xn disebut tranpose dari A dan dinyatakan dengan notasi At (A tranpose) Contoh : Tentukan tranpose dari matriks A =

8 B. KESAMAAN DUA MATRIKS Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, jika : Ordonya sama Nilai tiap elemen yang seletak (bersesuaian) sama

9 Contoh : Carilah nilai x, y dan z dari : =

10 Jenis-Jenis MATRIKS a. Matriks Baris Contoh :
adalah matriks yang hanya terdiri dari satu baris. Contoh :

11 b. Matriks Kolom Contoh :
adalah matriks yang hanya terdiri dari satu kolom. Contoh :

12 c. Matriks Persegi Contoh :
adalah matriks yang jumlah baris dan kolomnya sama. Matriks persegi berordo n x n Contoh :

13 C. PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN MATRIKS
1. Penjumlahan Matriks Dua buah matriks A dan B dapat dijumlahkan jika keduanya memiliki ordo yang sama. Hasil operasi penjumlahan adalah matriks baru yang ordonya sama dengan matriks semula yang elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen seletak pada matriks A dan B.

14 CONTOH : Diberikan tiga buah matriks berikut :
Tentukan A + B dan A + C

15 2. Pengurangan Matriks Jika A dan B adalah dua matriks yang ordonya sama, maka A – B = A+ (-B) CONTOH : Diberikan matriks berikut ini Tentukan A – B dan A - C

16 3. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar
Diberikan matriks Tentukan 2A, -3A dan ½ A

17 Sifat-sifat Perkalian Bilangan Real dengan Matriks
Untuk bilangan real k1 dan k2 dan untuk matriks A dan B yang berordo sama, berlaku : (k1 k2) A = k1 (k2 A) K1 (A + B ) = k1A + k1B = (A + B) k1 (k1 + k2) A = k1A + k2A 1 . A = A 0 . A = 0

18 4. Perkalian Matriks Perkalian dua matriks A x B ada hasilnya bila banyaknya kolom matriks A (kiri) sama dengan banyaknya baris matriks B (kanan) Matriks hasilnya mempunyai baris sebanyak baris matriks kiri dan mempunyai kolom sebanyak kolom matriks kanan.

19 CONTOH :

20 CONTOH :

21 CONTOH :

22 Lihatlah matriks A dan matriks B berikut ini :
Apakah perkalian AB = BA ? Ternyata perkalian AB ≠ BA, hal ini menunjukkan bahwa pada perkalian dua matriks tidak berlaku sifat komutatif

23 Matriks Satuan Adalah matriks persegi-n dengan semua elemen diagonal utamanya 1 dan elemen-elemen lainnya nol (dilambangkan dengan I) Untuk matriks persegi ordo 2 matriks identitasnya adalah

24 Misalkan matriks

25 INVERS MATRIKS Determinan Matriks Ordo 2 x 2
determinan dari matriks A ditulis det.A atau | A |, didefinisikan :

26 Contoh :

27 Invers Matriks Ordo 2 x 2 Jika A dan B adalah matriks-matriks persegi yang ordonya sama dan AB = BA = I Maka B adalah invers dari A, ditulis B = A-1 dan A adalah invers dari B, ditulis A = B-1

28 Contoh : Tentukan invers matriks

29 Matriks Singular dan Matriks Non Singular
Suatu matriks dikatakan singular jika determinannya nol dan non singular jika determinannya tidak nol.

30 Contoh : Diberikan matriks-matriks :
Manakah dari matriks-matriks itu yang merupakan matriks singular atau nonsingular ?

31 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
dengan Menggunakan Matriks Bentuk Umum SPLDV : a1x + b1y = c1 a2x + b2y = c2 Bentuk Umum SPLDV ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :

32 Misalkan : Maka persamaan matriks di atas dapat ditulis sebagai AX = B Sehingga SPLDV tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan matriks dalam bentuk: A X = B → X = A -1B

33 CONTOH : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear 7x + 3y = - 5
Dengan menggunakan matriks

34 Aturan Cramer Bentuk Umum SPLDV ini dapat dinyatakan dalam bentuk matriks :

35 Dari hasil di atas maka :

36 CONTOH : Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear 7x + 3y = - 5
Dengan menggunakan Aturan Cramer

37 Latihan : 1. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan persamaan matriks : a. 2x + 3y = 12 3x + 5y = 19 b. 2x - 4y – 4 = 0 4x - 6y – 7 = 0 c. 5x – 4y - 3 = 0 -2x + 3y + 1 = 0

38 2. Tentukan penyelesaian SPLDV berikut dengan menggunakan aturan Cramer :
a. x + y = - 1 2x - y = 7 b. 2x + y = 5 3x - 2y = 4 c. -7x + 4y = -2 5x + 3y = 19

39 Invers Matriks berordo 3 x 3
Jika A adalah matriks non singular, maka invers dari A adalah :

40 1. Minor Jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A berordo 3 x 3 dihapuskan, maka didapat matriks baru berordo 2 x 2, dengan determinannya disebut minor dari determinan matriks A dan dinyatakan dengan |Mij|

41 Misalkan matriks A berordo 3x3 adalah :
Minor |M11| adalah : Jika baris ke-1 dan kolom ke-1 dihapuskan, maka didapat

42 Minor |M12| adalah : Jika baris ke-1 dan kolom ke-2 dihapuskan,
maka didapat

43 Minor |M13| adalah : Jika baris ke-1 dan kolom ke-3 dihapuskan,
maka didapat

44 2. Kofaktor Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dinyatakan dengan Aij yang ditentukan dengan rumus : Aij = (-1) i + j |Mij|

45 Kofaktor-kofaktor dari matriks A adalah :
A11 = (-1) |M11| = |M11| A12 = (-1) |M12| = -|M12| A13 = (-1) |M13| = |M13| A21 = (-1) |M21| = -|M21| A22 = (-1) |M22| = |M22| A23 = (-1) |M23| = -|M23| A31 = (-1) |M31| = |M31| A32 = (-1) |M32| = -|M32| A33 = (-1) |M33| = |M33|

46 3. Adjoint Jika matriks A berordo 3 x 3, maka :

47 4. Determinan matriks Berordo 3x3
Nilai determinan dari matriks A ditulis |A| atau det A dapat ditentukan dengan rumus : |A| = a11 A11 + a12 A12 + a13 A13 = a11|M11| - a12|M12| + a13|M13|

48 |A| = a21 A21 + a22 A22 + a23 A23 = -a21|M21| + a22|M22| - a23|M23| |A| = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 = a31|M31| - a32|M32| + a33|M33|

49 Kaidah Sarrus = a11 a22a33+ a12a23a31+a13a21a32

50 Tentukan invers matriks berikut :