DETERMINAN MATRIK TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA.

Presentasi berjudul: "DETERMINAN MATRIK TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA."— Transcript presentasi:

1 DETERMINAN MATRIK TATAP MUKA 2 APRIL 2012 BY NURUL SAILA

2 Sub Pokok Bahasan: Determinan Sifat-sifat Determinan
Menentukan determinan dg Kofaktor Menentukan determinan dg reduksi baris

3 “Determinan“ Beberapa komponen yg menyusun determinan: Permutasi
Inversi Permutasi genap dan ganjil Hasil kali elementer Hasil kali elementer bertanda

4 Permutasi Definisi: Sebuah permutasi himpunan bilangan-bilangan bulat {1, 2, 3, …, n} adalah sebuah susunan bilangan-bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan- bilangan tersebut. Contoh: Permutasi dari bilangan-bilangan {1, 2, 3} adalah: 123, 132, 231, 213, 312, 321. Umumnya himpunan {1, 2, 3, …, n} akan mempunyai n (n-1)(n-2)…1 = n!

5 Inversi Definisi: Sebuah inversi(invesion) dikatakan terjadi dalam suatu permutasi (j1, j2, j3,…, jn) bilamana sebuah bilangan bulat yang lebih besar mendahului sebuah bilangan bulat yang lebih kecil. Contoh: 1). (6, 1, 3, 4, 5, 2) 2). (2, 4, 1, 3) 3). (1, 2, 3, 4) Pada: 1) ada 8 inversi 2) ada 3 inversi 3) ada 0 inversi

6 Permutasi Genap dan Ganjil
Definisi: Sebuah permutasi dikatakan genap(even) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil(odd) jika jumlah inversi seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil. Contoh: 1). (6, 1, 3, 4, 5, 2) 2). (2, 4, 1, 3) 3). (1, 2, 3, 4) Pada: 1) permutasi genap 2) permutasi ganjil 3) permutasi genap

7 Hasil Perkalian Elementer
Definisi: A adalah matrik nxn. Hasil perkalian elementer dari A adalah setiap hasil perkalian n entry dari A, yang tidak boleh dua diantaranya yang berasal dari baris yang sama atau kolom yang sama. Contoh: Hasil perkalian elementer dari adalah a11a22 , a12a21

8 Hasil-hasil perkalian elementer tersebut adalah hasil-hasil perkalian yang berbentuk:
dimana (j1, j2, j3,…, jn) adalah sebuah permutasi dari himpunan {1, 2, 3, …, n}. Sebuah matrik A yang berukuran n x n mempunyai n! hasil perkalian elementer. Contoh: Tentukan hasil-hasil perkalian elementer dari:

9 Hasil Perkalian Elementer Bertanda
Definisi: Sebuah hasil perkalian elementer bertanda dari A adalah sebuah hasil perkalian elementer dikalikan dengan +1 atau -1. Kita menggunakan tanda + jika (j1, j2, j3,…, jn) adalah sebuah permutasi genap dan tanda – jika (j1, j2, j3,…, jn) adalah sebuah permutasi ganjil. Hasil-hasil perkalian elementer bertanda dari: adalah +a11a22 , -a12a21

10 Tentukan hasil perkalian elementer bertanda dari :

11 Determinan Definisi: Misalkan A adalah sebuah matrik kuadrat. Fungsi determinan (determinant function) dinyatakan oleh det, dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah semua hasil perkalian elementer bertanda dari A. Contoh: Tentukan determinan dari matrik-matrik berikut: = a11a22 - a12a21

12 Soal: Tentukan determinan dari matrik berikut menggunakan definisi:

13 “Sifat-sifat Determinan”
Jika elemen suatu baris/kolom suatu matrik bujursangkar bernilai 0 maka determinan matrik tersebut 0. Jika A adalah matrik bujursangkar maka determinan A sama dg determinan transpose A. Jika elemen suatu baris/kolom dari determinan |A| dikalikan dg suatu skalar k, determinan dikalikan k; jika setiap elemen suatu baris/kolom suatu determinan |A| mempunyai k sebagai faktor maka k boleh difaktorkan dari |A|

14 Jika B diperoleh dari A dg cara penukaran dua baris/kolom berdampingan, maka |B| = -|A|.
Jika B diperoleh dari A dg cara penukaran sebarang dua baris/kolomnya maka |B|=- |A|. Jika B diperoleh dari A dg cara membawa baris/kolom ke-i sepanjang p baris/kolom, maka |B| = (-1)p|A|

15 Jika dua baris/kolom A identik maka |A|=0
Jika setiap elemen baris/kolom ke-i dari A adalah jumlah dari p suku maka |A| dpt disekspresikan sbg jumlah p determinan. Elemen-elemen pd baris/kolom ke-i dari p determinan ini masing-masing berupa suku pertama, kedua, …, ke-p dari jumlah itu dan semua baris/kolom lainnya adalah dari A.

16 Jika B diperoleh dari A dg cara menambahkan suatu kelipatan skalar elemen baris/kolom pada elemen padanannya pd baris/kolom ke-i, maka |B| = |A|.

17 Tentukan nilai determinannya

18 “ Menentukan Determinan dengan Kofaktor ”
Definisi; Misal A matrik bujursangkar dg determinan |A|. Jika elemen pd baris ke-i dan kolom ke-j dari A dihapus, determinan matrik bujursangkar sisanya [peringkat(n-1)] disebut minor dari A atau minor dari aij dan dinyatakan dg |Mij|. Minor bertanda (-1)i+j|Mij| disebut kofaktor aij dan dinyatakan oleh ij.

19 Nilai determinan |A| adalah jumlah hasilkali yg diperoleh dari perkalian tiap elemen suatu baris/kolom |A| dg kofaktornya. Jumlah dari hasilkali yg dibentuk dg perkalian elemen-elemen suatu baris/kolom suatu matrik bujursangkar A dg kofaktor padanannya dari baris/kolom A lainnya adalah 0.

20 Contoh: Tentukan: Minor a11, a12, a13. Kofaktor a11, a12, a13. |A|

21 Contoh: Tentukan determinan dari matrik berikut:

22 “Menentukan Determinan dengan Reduksi Baris”
Teorema A : Jika A adalah sebuah matriks segitiga yang berukuran nxn maka det(A) adalah hasil perkalian entri-entri pada diagonal utama, yakni, det(A) = a11 a22 a33 … ann Contoh: Tentukan determinan dari matrik berikut: BY NURUL SAILA

23 Misalkan A adalah sebarang matriks n x n.
Teorema B: Misalkan A adalah sebarang matriks n x n. Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah baris tunggal dari A dikalikan dengan sebuah konstanta k, maka det(A’) = k det(A). >>> OBE 1 Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila dua baris dari A di pertukarkan maka det (A’) = - det A. >>> OBE 2 Jika A’ adalah matriks yang dihasilkan bila sebuah kelipatan dari satu baris dari A ditambahkan kpd baris lain maka det(A’) = det(A). >>> OBE 3 BY NURUL SAILA

24 Contoh: Tentukan nilai determinan matrik berikut:
BY NURUL SAILA

25 Pemikiran dasar dari metoda menentukan determinan matriks dengan Reduksi Baris adalah: > menggunakan operasi baris elementer untuk mereduksi suatu matriks menjadi sebuah matriks yg berbentuk eselon baris. > matriks eselon baris adalah matriks segitiga atas sehingga determinannya dpt dihitung menggunakan teorema A dimana nilai determinannya dpt diperoleh menggunakan teorema B. BY NURUL SAILA

26 Contoh: Tentukan determinan matrik berikut dg reduksi baris.
BY NURUL SAILA

27 Soal: Tentukan determinan dari matriks-matriks berikut: BY NURUL SAILA