6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING).

Presentasi berjudul: "6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)."— Transcript presentasi:

1 6. PENCOCOKAN KURVA (CURVE FITTING)

2 6.1.3 Metode Newton-Gregory
Jika titik-titik pada data mempunyai jarak yang sama maka rumus interpolasi Newton dapat disederhanakan karena tidak ada proses pembagian, sehingga tabel pada metode interpolasi Newton-Georgory disebut tabel selisih saja; bukan tabel selisih-terbagi. Ada 2 jenis metode Interpolasi Newton-Gregory yaitu metode selisih maju dan selisih mundur. a) Metode Selisih Maju Polinom selisih maju dibangun berdasarkan tabel selisih maju. Jika terdapat k buah titik, maka terdapat (k – 1) besaran selisih maju, yaitu selisih maju pertama sampai ke (k – 1). Berikut diberikan contoh tabel selisih maju untuk 5 buah titik.

3 Tabel Selisih-Maju x f(x) f 2f 3f 4f x0 x1 x2 x3 x4 f0 f1 f2 f3 f4 f0 f1 f2 f3 2f0 2f1 2f2 3f0 3f1 4f0  adalah lambang selisih maju f0 = f(x0), f1 = f(x1), f2 = f(x2), …, fk = f(xk). f0 = f1 – f0, f1 = f2 – f1, …, fk = fk+1 – fk. 2f0 = f1 – f0, 2f1 = f2 – f1 , …, 2fk = fk+1 – fk Bentuk umum nfk = n–1fk+1 – n–1 fk (6.17)

4 Dari metode selisih-terbagi Newton diketahui bahwa jika sebuah tabel mempunyai jarak yang sama, misal h, maka titik-titik pada tabel tersebut dapat ditulis x0, x1 = x0+ h, x2 = x0 + 2h, …, xn = x0 + nh (6.18) Dari rumus selisih terbagi pada pers. (6.10) s.d. (6.12), serta persamaan (6.17) dan (6.18) didapat rumus selisih, (6.19) (6.20)

5 Dari persamaan (6.19) dan (6.20) didapat rumus umum
selisih menjadi (6.21) Substitusi persamaan (6.19) s.d. (6.21) ke persamaan (6.13) didapat, (6.22) Karena titik-titik data mempunyai jarak yang sama, maka xi = x0 + ih , i = 0, 1, 2,… , n dan nilai x yang diinterpolasikan x = x0 + sh, sR (6.23)

6 Jika xi dan nilai x yang diinterpolasikan disubstitusi ke persamaan (6
Jika xi dan nilai x yang diinterpolasikan disubstitusi ke persamaan (6.22), didapat (6.24) Persamaan (6.24) dapat ditulis menjadi bentuk rekursif, (6.25)

7 Contoh 6.5 Sebuah tabel yang berasal dari fungsi f(x) = 1/(1+2x2) mempunyai jarak antar titik h = 0,20. Bentuk tabel selisih maju derajat 3 dan hitung f(0,72) Penyelesaian x f(x) 0.00 1.000 0.20 0.926 0.40 0.758 0.60 0.581 0.80 0.439 1.00 0.333 1.20 0.258 Karena tabel selisih maju derajat 3 dan titik x = 0,62 terletak diantara titik x = 0,60 dan x = 0,80, maka titik-titik yang diambil adalah x0 = 0,40, x1 = 0,60, x2 = 0,80, x3 = 1,00 Dari persamaan (6.23) didapat s = (x – x0)/h = (0,72 – 0,40)/0,20 = 1,60

8 Tabel Selisih Maju x f(x) f 2f 3f 0,40 0,60 0,80 1,00 0,758 0,581 0,439 0,333 –0,177 –0,142 –0,106 0,035 0,036 0,001 Dari persaman (6.24)

9 Taksiran galat interpolasi selisih-maju
Taksiran galat interpolasi selisih maju E(x) adalah (6.26) atau (6.27) dengan s = (x – x0)/h

10 Contoh 6.6 Tentukan taksiran galat interpolasi dari contoh 6.5 x f(x) 0.00 1.000 0.20 0.926 0.40 0.758 0.60 0.581 0.80 0.439 1.00 0.333 1.20 0.258 Dari persamaan 6.27 taksiran galat s = 1,60 dan n = 3 (lihat contoh 6.5)

11 Tabel Selisih Maju x f(x) f 2f 3f 4f 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 0,758 0,581 0,439 0,333 0,258 –0,177 –0,142 –0,106 –0,075 0,035 0,036 0,031 0,001 –0,005 –0,006 s = (x – x0)/h = (0,72 – 0,40)/0,20 = 1,60

12 b) Metode Selisih Mundur (Backward Difference)
Polinom selisih mundur dibangun berdasarkan tabel selisih mundur. Berikut diberikan contoh tabel selisih mundur untuk 5 buah titik. Tabel Selisih Mundur x f(x) f 2f 3f 4f x-4 x-3 x-2 x-1 x0 f-4 f-3 f-2 f-1 f0 f-3 f-2 f-1 f0 2f-2 2f-1 2f0 3f-1 3f0 4f0

13 adalah lambang selisih mundur
f0 = f(x0), f-1 = f(x-1), f-2 = f(x-2), …, f-k = f(x-k). f0 = f0 – f-1, f-1 = f-1 – f-2, …, f-k = f-k – f-k-1. 2f0 = f0 – f-1 , 2f-1 = f-1 – f-2, …,2f-k = f-k – f-k-1 Bentuk umum n fk = n–1fk – n–1 fk (6.28) Polinom Selisih-Mundur yang menginterpolasi (n+1) adalah (6.28)

14 Contoh 6.7 Dari tabel berikut, hitung f(1,83) dengan metode a) Selisih maju derajat 3 b) Selisih mundur derajat 3 i x f(x) 1.70 0,39798 1 1,80 0,33998 2 1,90 3 2,00 0,22389 4 2,10 0,18753 Penyelesaian

15 a) Selisih maju derajat 3
x f(x) f 2f 3f 1 2 3 1,70 1,80 1,90 2,00 0,39798 0,33998 0,28182 0,22389 –0,05800 –0,05816 –0,05793 –0,00016 0,00023 0,00039 s = (x – x0)/h = (1,83 – 1,70)/0,10 = 1,30

16 = 0,39798 – 0,0754 – 0, – 0, = 0,32253

17 b) Selisih mundur derajat 3 i x f(x) f 2f 3f 0,39798 0,33998
–3 –2 –1 1,70 1,80 1,90 2,00 0,39798 0,33998 0,28182 0,22389 –0,05800 –0,05816 –0,05793 –0,00016 0,00023 0,00039 s = (x – x0)/h = (1,83 – 2,00)/0,10 = –1,70

18 = 0, , , , = 0,32253

19 Latihan Dari tabel berikut, hitung p3(0,58) dengan metode selisih maju x f(x) 0,10 0,003 0,30 0,067 0,50 0,148 0,70 0,248 0,90 0,370 1,10 0,518 1,30 0,697