Karakteristik Butir Model Ojaif Normal

Presentasi berjudul: "Karakteristik Butir Model Ojaif Normal"— Transcript presentasi:

1 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal
Bab 19 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal

2 KARAKTERISTIK BUTIR MODEL OJAIF NORMAL
Bab 19 KARAKTERISTIK BUTIR MODEL OJAIF NORMAL A. Distribusi Probabilitas Normal 1. Pendahuluan Karakteristik butir model ojaif normal didasarkan kepada distribusi probabilitas normal Dalam banyak hal, model ini menggunakan distribusi probabilitas normal baku

3 2. Asumsi Distribusi Probabilitas Normal
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 2. Asumsi Distribusi Probabilitas Normal Banyak data tentang manusia dan gejala sosial menunjukkan bentuk distribusi probabilitas normal (distribusi Gauss atau distribusi kekeliruan), seperti Ciri fisik, misalnya, tinggi badan Ciri fisiologis, misalnya, temperatur badan Ciri hasil belajar Ciri unjuk kerja (performance) Karena itu salah satu model karakteristik butir mengasumsikan bahwa bentuknya berdistribusi probabilitas normal Kumulasi ciri menjadi berbentuk ojaif normal

4 3. Distribusi Probabilitas Normal
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 3. Distribusi Probabilitas Normal Distribusi probabilitas normal berbentuk bel yang simetri dan bentuknya ditentikan oleh rerata  dan simpangan baku  Dalam bentuk histogram Dalam bentuk rumus n (X; , ) X

5 4. Distribusi Probabilitas Normal Baku
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 4. Distribusi Probabilitas Normal Baku Semua distribusi probabilitas normal dapat ditransformasikan ke distribusi probabilitas normal baku Pada distribusi probabilitas normal baku  =  = 1 sehingga rumus distribusi probabilitas normal baku menjadi Ada tabel nilai n (z; 0, 1) untuk berbagai nilai z

6 Nilai n (z; 0, 1) untuk beberapa nilai z
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Nilai n (z; 0, 1) untuk beberapa nilai z z n (z; 0, 1) z n (z; 0, 1) – 4, , , ,3989 – 3, , , ,3521 – 3, , , ,2420 – 2, , , ,1295 – 2, , , ,0540 – 1, , , ,0175 – 1, , , ,0044 – 0, , , ,0009 0, , , ,0001

7 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 5. Model Ojaif Normal Responden dengan kemampuan  memiliki juga kemampuan yang dimiliki oleh responden dengan kemampuan di bawah  Karena itu probabilitas jawaban betul adalah kumulatif atau berbentuk ojaif normal P() = ∫ n(; , ) d n (; , ) P() 1,0 0,5 d  

8 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Dengan demikian pada distribusi probabilitas normal baku, ojaif normal menjadi P() = ∫ n (z; 0, 1) dz Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi (bawah) pada distribusi probabilitas normal baku Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai suatu nilai z n (z; 0, 1) z z z1

9 Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku Rumus pendekatan dari C. Hasting (teliti sampai 7,5 x 10-8) p = 0, b1 = 0, b2 = – 0, b3 = 1, b4 = – 1, b5 = 1,

10 Distribusi Probabilitas t-Student
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Distribusi Probabilitas t-Student Dari Cornish dan Fisher

11 Pendekatan lebih kasar
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Distribusi Probabilitas khi-kuadrat rumus pendekatan dari Wilson dan Hilferty Pendekatan lebih kasar

12 Karakteritik Butir Model Ojaif Normal

13 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal

14 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 1 Contoh 2

15 B. Karateristik Butir pada Model Ojaif Normal 1. Pendahuluan
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal B. Karateristik Butir pada Model Ojaif Normal 1. Pendahuluan Karakteristik butir yang digunakan di sini adalah ojaif normal Ojaif normal yang digunakan berasal dari distribusi probabilitas normal baku Probabilitas pada hasil ukur dapat ditentukan melalui tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku Model ojaif normal ini juga terbagi atas tiga macam mencakup model 1P, model 2P, dan model 3P Parameter kemampuan responden adalah  dan parameter butir adalah a, b, dan c Indeks responden adalah g dan h serta indeks butir adalah i dan j

16 Pada model 1P ojaif normal probbilitas ini adalah
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 2. Model Satu Parameter (1P) Model umum karakteristik butir model 1P untuk sukses atau jawsaban betul adalah Pi() = f( – bi) Pada model 1P ojaif normal probbilitas ini adalah Nilai probabilitas dapat dicari pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal baku

17 Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah Qi() = 1 – Pi()
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah Qi() = 1 – Pi() Pada model 1P Ojaif Normal probabilitas ini adalah Nilai probabilitas ini dapat dihitung dari nilai Pi() atau dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku

18   – bi Pi()   – bi Pi() – 2,5 – 3,0 0,0013 0,5 0,0 0,5000
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 3 Karakteristik butir untuk bi = 0,5 pada rentangan  dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5   – bi Pi()   – bi Pi() – 2,5 – 3, , , , ,5000 – 2,0 – 2, , , , ,6915 – 1,5 – 2, , , , ,8413 – 1,0 – 1, , , , ,9332 – 0,5 – 1, , , , ,9772 0,0 – 0, , , , ,9938 Pi() 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1  -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

19 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 4 Karakteristik butir untuk bi = – 1,0 pada rentangan  dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5 Contoh 5 Karakteristik butir untuk bi = – 0,5 pada rentangan  dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5 Contoh 6 Karakteristik butir untuk bi = 0,0 pada rentangan  dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5 Contoh 7 Karakteristik butir untuk bi = 1,0 pada rentangan  dari – 2,5 sampai 3,0 dengan interval 0,5

20 3. Model Dua Parameter (2P)
Karakteritik Butir Model Ojaif Normal 3. Model Dua Parameter (2P) Bentuk umum karakteristik butir model 2P adalah Pi() = f[ai( – bi)] Pada model 2P ojaif normal probabilitas ini adalah Nilai probabilitas dapat dicari pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal baku

21 Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah Qi() = 1 – Pi()
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah Qi() = 1 – Pi() Pada model 2P Ojaif Normal probabilitas ini adalah Nilai probabilitas ini dapat dihitung dari nilai Pi() atau dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku

22  ai(  – bi) Pi()  ai( – bi) Pi()
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 8 Karakteristik butir untuk ai = 0,5, bi = – 0,5 pada rentangan  dari – 3,0 sampai 3,5 dengan interval 0,5  ai(  – bi) Pi()  ai( – bi) Pi() – 3,0 – 1, , , , ,6915 – 2,5 – 1, , , , ,7734 – 2,0 – 0, , , , ,8413 – 1,5 – 0, , , , ,8944 – 1,0 – 0, , , , ,9332 – 0,5 – 0, , , , ,9599 0, , , , , ,9772

23 Grafik karakteristik butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Grafik karakteristik butir Pi() 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2  -3,0 -2,0 -1,0 0,0 1,0 2,0 3,0

24 dan lukiskan mereka dalam satu grafik yang sama
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 9 Untuk rentang  dari – 3,0 sampai 3,0 dengan lompatan 0,5, hitunglah P() pada karakteristik butir model ojaif normal 2P, masing-masing dengan (a) a = 0,25 b = – 0,5 (b) a = 0,25 b = 0,5 dan lukiskan mereka dalam satu grafik yang sama Contoh 10 (a) a = 0,25 b = 1,0 (b) a = 0,75 b = 1,0

25 4. Model Tiga Parameter (3P)
Karakteritik Butir Model Ojaif Normal 4. Model Tiga Parameter (3P) Bentuk umum karakteristik butir model 3P adalah Pi() = ci + (1 – ci) f[ai( – bi)] Pada model 3P ojaif normal probabilitas ini adalah Nilai probabilitas dapat dicari pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal baku

26 Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah Qi() = 1 – Pi()
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Probabilitas untuk gagal atau jawaban salah adalah Qi() = 1 – Pi() Pada model 3P Ojaif Normal probabilitas ini adalah Nilai probabilitas ini dapat dihitung dari nilai Pi() atau dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal baku

27  ai(  – bi) Pi()  ai( – bi) Pi()
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 11 Karakteristik butir untuk ai = 0,5, bi = 1,0, dan ci = 0,2 pada rentangan  dari – 3,0 sampai 4,5 dengan interval 0,5  ai(  – bi) Pi()  ai( – bi) Pi() – 3,0 – 2, , , , ,6000 – 2,5 – 1, , , , ,6790 – 2,0 – 1, , , , ,7532 – 1,5 – 1, , , , ,8187 – 1,0 – 1, , , , ,8730 – 0,5 – 0, , , , ,9155 0,0 – 0, , , , ,9466 0,5 –0, , , , ,9679

28 Grafik karakteristik butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Grafik karakteristik butir P() 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2  –3,0 –2,0 –1,0 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4

29 Parameter butir adalah
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 12 Parameter ai, bi, dan ci diketahui sehingga dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah dari distribusi probabilitas normal baku, hitung dan lukis grafik dari Pi() Parameter butir adalah Butir ai bi ci ,5 –1, ,0 ,0 –1, ,0 , , ,0 , , ,2

30 Dengan parameter butir, probabilitas P() menjadi
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Dengan parameter butir, probabilitas P() menjadi

31 Untuk berbagai   0,5(+1,0) 2,0(+1,0) 2,0(-1,0) –5,0 –2,00 -- --
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Untuk berbagai   ,5(+1,0) ,0(+1,0) ,0(-1,0) –5, –2, –4, –1, –4, –1, –3, –1, –3, –1, –2, –0, –3, –2, –0, –2, –1, –0, –1, –1, , , –0, , , –3,00 0, , , –2,00 0, , , –1,00 1, , ,00 2, , ,00 2, , ,00 3, , ,00 3, , 4, ,

32 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah distribusi probabilitas normal baku  P1() P2() P3() P4() –5, , ,2000 –4, , ,2000 –4, , ,2000 –3, , ,2000 –3, , ,2000 –2, , , ,2000 –2, , , ,2000 –1, , , ,2000 –1, , , ,2000 –0, , , , ,2010 0, , , , ,2182 0, , , , ,3278 1, , , ,6000 2, , , ,8730 2, , , ,9818 3, , , ,9990 3, , 4, ,

33 Grafik dari 4 butir adalah
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Grafik dari 4 butir adalah P() 1,0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1  –5,0 –3,0 –1,0 0,0 1,0 2,0 3,0 4,0

34 Enam butir masing-masing memiliki karakteristik butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 13 Enam butir masing-masing memiliki karakteristik butir Butir ai bi ci , , ,00 , , ,00 , , ,25 ,80 1, ,00 ,20 0, ,10 , , ,15 Karakteristik butir ini menggunakan model ojaif normal. Pada  dari  4,00 sampai 4,00 dengan lompatan 0,5, hitung Pi() dari setiap butir serta lukiskan merekan dalam satu grafik

35 C. Batas pada Model Ojaif Normal 1. Butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal C. Batas pada Model Ojaif Normal 1. Butir Pembahasan pada karakteristik butir model ojaif normal ini dilakukan secara butir demi butir Setiap butir dapat dijawab atau ditanggap oleh satu atau lebih responden Biasanya setiap butir adalah independen dari butir lainnya Setiap butir memiliki karakteristik butir sendiri yang dapat berbeda dari karakteristik butir lainnya Alat ukur merupakan gabungan dari butir-butir yang independen (sasarannya dapat saja sama)

36 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 2. Sekor Butir Sekor butir adalah hasil ukur yang diperoleh dari jawaban responden terhadap butir Di sini kita batasi sekor butir pada skala dikotomi dengan nilai 0 dan 1 Biasanya 0 diberikan kepada jawaban salah atau gagal dan 1 diberikan kepada jawaban betul atau sukses Sekor responden terhadap sejumlah butir merupakan gabungan dari semua sekor butir yang dijawab oleh responden Sekor 0 dan 1 ini dapat juga diberikan kepada tanggapan terhadap butir seperti tanggapan tidak setuju dan setuju (dengan menyesuaikan arti dari semua parameter)

37 3. Jawaban atau Tanggapan
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 3. Jawaban atau Tanggapan Jawaban atau tanggapan terhadap butir bergantung kepada parameter kemampuan dan parameter butir Jawaban atau tanggapan berbentuk probabilitas sehingga nilanya terletak di antara 0 dan 1 0  Pi()  1 Karena sering terjadi bahwa 0 diberikan kepada jawaban salah serta 1 diberikan kepada jawaban betul maka probabilitas ini dikenal juga sebagai probabilitas jawaban betul Jika probabilitas jawaban betul dapat terjadi karena terkaan responden dan probabilitas itu adalah ci maka ci  Pi()  1

38 4. Parameter Kemampuan (Responden)
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 4. Parameter Kemampuan (Responden) Setiap responden yang menjawab butir memiliki ciri atau kemampuan yang di sini dinyatakan dengan  Ciri ini sering disebut juga sebagai ciri laten (latent trait) dari responden Pada karakteristik butir model ojaif normal, ciri atau kemampuan ini dibakukan dengan rerata sama dengan 0 dan simpangan baku sama dengan 1  = dan  = 1 Secara teoretik, nilai  terletak di antara  ∞ sampai + ∞ Untuk keperluan praktis, bentangan nilai  terletak di sekiar  4 sampai +4  4   + 4

39 5. Parameter Daya Beda Butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 5. Parameter Daya Beda Butir Daya beda butir di sini dinyatakan dengan ai untuk butir ke-i Daya beda butir terdapat pada model 2P dan 3P Secara teoretik nilai daya beda butir dapat negatif, nol, atau positif ai < ai = ai > 0 Kasus ai < 0 Jika ai < 0 maka pada saat makin besar  makin kecil Pi() Ini tidak sesuai dengan konsep bahwa  adalah kemampuan responden sehingga makin besar  makin besar pula Pi()

40 Karena itu nilai ai dibatasi sehingga tidak terjadi ai < 0 Pi()
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Dalam hal ini Karena itu nilai ai dibatasi sehingga tidak terjadi ai < 0 Pi() 

41 Nilai Pi() pada model 3P menjadi
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Kasus ai = 0 Jika ai = 0 maka tidak ada daya beda yakni nilai Pi() adalah sama untuk semua  Nilai Pi() pada model 3P menjadi Pi() 1,0 ci 

42 ai > 0 dalam praktek ai  2,0
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Kasus ai > 0 Makin besar ai makin besar daya beda dan makin curam karakteristik butir Butir 1 paling curam dan butir 3 paling landai Batas nilai daya beda butir ai hendaknya ai > 0 dalam praktek ai  2,0 Pi() 2 3 1 

43 6. Parameter Kebetulan Jawab Betul
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 6. Parameter Kebetulan Jawab Betul Parameter kebetulan jawab betul di sini dinyatakan dengan ci untuk butir ke-i Parameter kebetulan jawab betul hanya terdapat model 3P Jika kebetulan jawab betul ini terjadi karena terkaan pada pilihan ganda maka nilainya bergantung kepada banyaknya pilihan ci = 1 / n n = banyaknya pilihan Pada 2 pilihan betul-salah ci = 0,5 Pada umumnya batas nilai ci terletak di antara 0 dan 1 dengan 0 tiada kebetulan dan 1 pasti betul 0  ci  0,5

44 7. Parameter Taraf Sukar Butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 7. Parameter Taraf Sukar Butir Taraf sukar butir di sini dinyatakan dengan bi untuk butir ke-i dan terdapat pada model 1P, 2P, dan 3P Skala taraf sukar butir sama dengan skala  pada kemampuan responden Secara teoretik, taraf sukar butir membentang dari  ∞ sampai + ∞  ∞  bi  + ∞ Namun secara praktis taraf sukar butir memiliki nilai yang membentang dari sekitar  2 sampai + 2  2  bi  + 2 Sering terjadi bahwa taraf sukar butir juga dibakukan sehingga b = 0 dan b = 1

45 Pada saat bi =  maka ( - bi) = 0
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Nilai taraf sukar butir ditentukan pada saat Pi() berada di tengah di antara nilai minimum dan maksimum Pada model 1P dan model 2P, PI() minimum = 0 Pi() maksimum = 1 Pi() untuk bi = 0,5 Pada saat bi =  maka ( - bi) = 0

46 Pada saat bi =  maka ai( - bi) = 0
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Pada model 3P Pi() minimum = ci Pi() maksimum = 1 Pi() untuk bi = 0,5(1 + ci) Pada saat bi =  maka ai( - bi) = 0

47 Makin besar nilai taraf sukar butir makin sukar butir itu
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Taraf sukar butir dapat memiliki nilai bi < 0, bi = 0, dan bi > 0 Makin besar nilai taraf sukar butir makin sukar butir itu Butir 1 termudah dan butir 4 tersukar P() 1,0 1 2 3 4 0,5  b1 b2 b3 b4 b

48 8. Batas Praktis pada Nilai Parameter
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 8. Batas Praktis pada Nilai Parameter Dari pengalaman, batas praktis nilai parameter adalah di sekitar – 4    4 0  ai  2,0 – 2,0  bi  2,0 0  ci  0,5 Nilai ini tidak mutlak sehingga dapat saja terdapat nilai sedikit di luar batas ini

49 Kecuraman ini diperoleh melalui hasilbagi diferensial
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 9. Kecuraman Lengkungan Karakteristik Butir Kecuraman ditentukan oleh sudut garis singgung pada suatu titik di Karakteristik butir Kecuraman ini diperoleh melalui hasilbagi diferensial Sudut kecuraman berbeda pada  yang berbeda

50 Kecuraman pada titik  = bi Pada titik  = bi yakni pada ( - bi) = 0
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Kecuraman pada titik  = bi Pada titik  = bi yakni pada ( - bi) = 0 Terletak pada e0 berarti terletak pada puncak distribusi probabilitas normal baku Tinggi pucak distribusi probabilitas normal baku adalah 0,3989 … Makin besar ai makin curam garis singgung dan makin curam lengkungan sehingga makin besar daya beda

51 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Garis singgung ini terletak di titik  = bi yakni pada saat Pi() = 0,5 atau Pi() = 0,5 (1 + ci) Pi() 1,0 0,5  bi

52 D. Kesempatan (Odds) dan Probit
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal D. Kesempatan (Odds) dan Probit 1. Kesempatan (Odds) Sukses Karena Kemampuan Responden Kesempatan sukses atau menjawab betul (odds of success) oleh responden adalah Makin besar kemampuan responden makin besar kesempatan sukses Kesempatan sukses berkenaan dengan responden (kemampuan responden)

53 2. Probit Sukses pada Responden
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 2. Probit Sukses pada Responden Logaritma naturalis kesempatan sukses dikenal sebagai probit sukses Probit(s) = ln Os Probit menjadi satuan yang dapat digunakan pada karakteristik butir model ojaif normal

54 3. Kesempatan (Odds) Gagal Karena Taraf Sukar Butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 3. Kesempatan (Odds) Gagal Karena Taraf Sukar Butir Kesempatan gagal atau jawab salah pada butir (odds of failure) adalah Makin besar taraf sukar butir makin besar kesempatan gagal Kesempatan gagal berkenaan dengan butir (taraf sukar butir)

55 4. Probit Gagal pada Butir
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 4. Probit Gagal pada Butir Logaritma naturalis kesempatan gagal dikenal sebagai probit gagal Probit(g) = ln Og Probit menjadi satuan yang dapat digunakan pada karakteristik butir model ojaif normal

56 E. Keterampilan Matematika dan Statistika 1. Fungsi Eksponensial
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal E. Keterampilan Matematika dan Statistika 1. Fungsi Eksponensial Karanteristik butir menunjukkan fungsi ekponensial sehingga diperlukan sejumlah perhitungan pada fungsi eksponensial Salah satu fungsi eksponensial yang kelak banyak digunakan adalah Bentuk yang sama dapat juga ditulis (dengan membagi eX pada pembilang dan penyebut) sebagai Dapat disusun ke dalam tabel

57 Misalkan variabel  menghasilkan X  = f (X)
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 2. Kebolehjadian Misalkan variabel  menghasilkan X  = f (X) maka fungsi probabilitas adalah P() = P[f (X)] Di sini  yang boleh jadi menghasilkan X1, X2, X3 disebut kebolehjadian L() dengan L() = P[f (X1)].P[f (X2)].P[f (X3)] Pada umumnya

58 Perkalian ini dapat diubah menjadi penjumlahan melalui logaritma
Karakteristik Butir pada Model Ojaif Normal Kebolehjadian ini berbentuk perkalian dan dapat dipermudah menjadi penjumlahan Perkalian ini dapat diubah menjadi penjumlahan melalui logaritma Kebolehjadian dalam bentuk logaritma Nilai kebolehjadian ini bergantung kepada nilai probabilitas masing-masing Dalam banyak hal, kita dapat mencari nilai kebolehjadian maksimum

59 3. Kebolehjadian Maksimum
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 3. Kebolehjadian Maksimum Di statistika, nilai  dapat diestimasi melalui kebolehjadian maksimum yakni  yang paling boleh jadi untuk menghasilkan X1, X2, X3, . . . Kebolehjadian maksimum diperoleh dari Selanjutnya dari persamaan yang dihasilkan, nilai  dapat dihitung Ada kalanya perhitungan ini dapat langsung dilakukan Ada kalanya pula perhitungan ini memerlukan metoda tersendiri

60 Dalam bentuk logaritma, kebolehjadian maksimum itu adalah
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Apabilan terdapat lebih dari satu jenis , misalkan terdapat 1, 2, dan 3, maka kebolehjadian maksimum dilakukan terhadap masing-masing jenis  Dalam bentuk logaritma, kebolehjadian maksimum itu adalah  adalah notasi diferensial parsial yakni pada saat parsial ke 1, maka 2 dan 3 konstan parsial ke 2, maka 3 dan 1 konstan parsial ke 3, maka 1 dan 2 konstan

61 Pada distribusi probabilitas binomial
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 14 Pada distribusi probabilitas binomial ada probabilitas p terjadi peristiwa A ada probabilitas (1 – p) tidak terjadi A dan pada 100 cobaan terjadi 63 kali peristiwa A Estimasi nilai p Dalam hal ini, misalkan X = 1 terjadi peristiwa A dan X = 0 tidak terjadi peristiwa A sehingga P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 – p Kebolehjadian

62 Dalam bentuk logaritma ln L(p) = 63 ln p + 37 ln (1 – p)
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Dalam bentuk logaritma ln L(p) = 63 ln p + 37 ln (1 – p) Kebolehjadian maksimum Jadi, p = 0,63 adalah paling boleh jadi untuk menghasilkan 63 kali peristiwa A pada 100 cobaan Hasil ini sesuai dengan hasil melalui rumus probabilitas

63 Sampel waktu tunggu untuk lima panggilan adalah masing-masing
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Contoh 15 Waktu tunggu panggilan telepon di switchboard berdistribusi probabilitas geometrik Sampel waktu tunggu untuk lima panggilan adalah masing-masing 1, , , , ,1 Estimasi  melalui kebolehjadian maksimum

64 Karakteristik Butir Model Ojaif Normal 4. Jenis Probabilitas Pada distribusi probabilitas dikenal probabilitas bersama (joint probability), probabilitas marjinal (marginal probability), dan probabilitas kondisional (conditional probability) Untuk melihat ciri dari setiap jenis probabilitas, digunakan suatu contoh Peserta Mar- A (X1) B(X2) jin Lulus(Y1) , , ,45 Hasil Gagal(Y2) 0, , ,55 Marjin , , ,00

65 Probabilitas Bersama (Joint Probability)
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal Probabilitas Bersama (Joint Probability) Probabilitas yang ditentukan bersama di antara X dan Y P(X1,Y1) = 0, P(X1,Y2) = 0,22 P(X2,Y1) = 0, P(X2,Y2) = 0,33 Probabilitas Marjinal (Marginal Probability) Probabilitas yang ditentukan oleh marjin pada X dan Y P(X1) = 0, P(X2) = 0,48 P(Y1) = 0, P(Y2) = 0,55 Probabilitas Kondisional (Conditional Probability) Probabilitas yang ditentukan secara bersyarat di antara X dan Y

66 A bersyarat lulus Dari 0,45 lulus, A mencakup 0,30
Karakteristik Butir Model Ojaif Normal A bersyarat lulus Dari 0,45 lulus, A mencakup 0,30 P(X1|Y1) = 0,30 / 0,45 = 0,67 A bersyarat gagal Dari 0,55 gagal, A mencakup 0,22 P(X1|Y2) = 0,22 / 0,55 = 0,40 B bersyarat lulus Dari 0,45 lulus, B mencakup 0,15 P(X2|Y1) = 0,15 / 0,45 = 0,33 B bersyarat gagal Dari 0,55 gagal, B mencakup 0,33 P(X2|Y2) = 0,33 / 0,55 = 0,60