Rangkaian dan Persamaan Diferensial Orde 2

Presentasi berjudul: "Rangkaian dan Persamaan Diferensial Orde 2"— Transcript presentasi:

1 Rangkaian dan Persamaan Diferensial Orde 2
Pengantar Analisis Rangkaian

2 Tujuan Pembelajaran Mengenal rangkaian orde 2 dengan RLC
Mengenal persamaan diferensial orde 2 dan solusi umumnya

3 Rangkaian dan Persamaan Diferensial Orde Dua
Rangkaian orde dua adalah rangkaian yang karakteristik persamaan arus dan tegangannya mengikuti persamaan diferensial orde dua. Bentuk umum persamaan orde dua adalah sbb.: dengan fungsi yang menyatakan besaran dalam rangkaian fungsi yang menyatakan sinyal input

4 Persamaan Diferensial Orde Dua
Persamaan orde 2 dengan bentuk merupakan persamaan nonhomogen. Bentuk persamaan homogennya adalah Persamaan diferensial homogen inilah yang memberi karakteristik pada solusi persamaannya. Bentuk umum solusi persamaan ini akan mengikuti bentuk eksponensial karena bentuk tetap dengan derivatifnya.

5 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Misalkan solusi persamaan diferensial adalah Persamaan diferensial homogen menjadi Akar persamaan

6 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Akar persamaan diferensial homogen telah Ada 3 (tiga) kemungkinan nilai akar 2 s dua nilai riil berbeda saat s dua nilai riil sama saat s dua nilai kompleks yang saling konyugasi saat

7 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat s dua nilai riil berbeda dan , solusi umum disebut overdamped: Saat s dua nilai kompleks saling konyugasi , solusi umum disebut underdamped: Saat s dua nilai riil yang sama , solusi umum disebut critically damped: Ada dua konstanta A dan B yang harus ditentukan sehingga diperlukan juga dua syarat batas (boundary condition)

8 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Secara alamiah nilai riil pada s akan selalu negatif. Untuk menentukan A dan B diperlukan syarat batas. Syarat batas dikenakan pada solusi bentuk umum Saat dua akar riil berbeda sehingga sehingga

9 Persamaan Diferensial Orde Dua Homogen
Saat dua akar riil sama Saat dua akar kompleks sehingga sehingga sehingga sehingga

10 Contoh Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut bila diketahui y(0)=3 dan y’(0)=1 Jawab Persamaan diferensial: Bila maka sehingga dan diperoleh dua akar riil: dan

11 Contoh Dengan adanya 2 akar riil -1 dan -4 maka solusi umumnya berbentuk: Diketahui y(0)=3 maka Diketahui juga y’(0)=3 maka sehingga atau Dari dan diperoleh dan Solusi persamaan diferensial:

12 Contoh Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut bila diketahui v(0)=2 dan v’(0)=5 Jawab Persamaan diferensial: Bila maka sehingga dan diperoleh dua akar riil sama

13 Contoh 0842.01 Dengan adanya 2 akar riil sama -2, solusi berbentuk:
Diketahui y(0)=3 maka Diketahui juga v’(0)=5 maka sehingga diperoleh dan Solusi persamaan diferensial:

14 Contoh Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3 Jawab Persamaan diferensial: Bila maka atau dan diperoleh dua akar kompleks dimana dan

15 Contoh Dengan adanya 2 akar kompleks maka solusi umumnya berbentuk: Diketahui i(0)=3 maka Diketahui juga i’(0)=3 maka sehingga Solusi persamaan diferensial:

16 Solusi Persamaan Non Homogen
Bila adalah solusi untuk persamaan diferensial homogen dan adalah solusi tertentu untuk persamaan diferensial nonhomgen maka kombinasi juga merupakan solusi persamaan diferensial nonhomogen Persamaan Nonhomogen atau gunakan maka =0 y1 solusi persamaan homogen

17 Solusi Persamaan Non Homogen
Untuk menentukan solusi persamaan diferensial nonhomogen tertentu gunakan persamaan yang menyerupai dengan konstanta bentuk umum. Misalnya untuk pilih Masukkan bentuk solusi ke persamaan diferensial dan selesaikan untuk konstantanya

18 Contoh Carilah solusi untuk persamaan diferensial homogen berikut bila diketahui i(0)=3 dan i’(0)=3 Jawab Persamaan diferensial homogennya adalah Solusi persamaan diferensial homogen ini sudah diperoleh pada Contoh sbb.:

19 Contoh 0842.4 Mencari solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen
Pilih dan masukkan ke persamaan di atas sehingga didapat dan dan diperoleh , dan

20 Contoh 0842.4 Solusi persamaan diferensial homogen
Solusi tertentu persamaan diferensial nonhomogen Dengan demikian solusi persamaan diferensial nonhomogen adalah