Operasi Aljabar Matriks Pertemuan 02

Presentasi berjudul: "Operasi Aljabar Matriks Pertemuan 02"— Transcript presentasi:

1 Operasi Aljabar Matriks Pertemuan 02
Matakuliah : K Aljabar Linear Terapan Tahun : 2007 Operasi Aljabar Matriks Pertemuan 02

2 Matriks Invers Definisi : Bila A.B = B.A = I, maka A dan B saling invers Notasi invers A adalah A-1 Sifat-sifat Matriks Invers Jika A dan B non singular, atau invertibel, maka: A.B juga non singular

3 A matriks bujur sangkar, maka :

4 Contoh : A =

5 Misalkan a+2c = 1 b+2d = 0 3a+4c= 0 3b+4d= 1 a+2c =1 x2 2a+4c =2

6 3a + 4c =0 4c = -3 b+2d =0 x2 2b+4d =0 3b+4d =1 x1 3b+4d =1 -

7 b + 2d = 0. 2d = -b

8 atau dimana |A|= 1x4-2x3 = -2

9 Rumus penyelesaian Matriks Invers
2. 3.

10 Matriks Transpose Matriks transpose diperoleh dengan menukar elemen-elemen baris men-jadi elemen-elemen kolom dan se-baliknya. Contoh :

11 Transpose dari A adalah :
Program MAPLEnya : # Matriks Transpose > Restart: > With (linalg) Warning, New definition for norm Warning, New definition for trace

12 > A := array ([[1,2,3],[4,5,6]])
[1 2 3] A :=[ ] [4 5 6] > Transpose (A);

13 Sifat-sifat matriks transpose
1. 2. 3. 4. Contoh pembuktian sifat matriks transpose :

14 Maka Pembuktian sifat 1: Pembuktian sifat 2 :

15 Terbukti bahwa Contoh pembuktian sifat 3 :

16 Terbukti bahwa Contoh pembuktian sifat 4 :

17 Terbukti bahwa Sifat matriks bujur sangkar A adalah symetric A - At adalah skew symetric

18 3. A dapat ditulis sebagai jumlah dari suatu matriks symetric B = 1/ dan suatu matriks skew symetric C = 1/2 Soal Latihan : Tentukan Transpose Suatu Matriks dibawah ini !

19 1. 2. 3.

20 Matriks Eselon dan Matriks Eselon tereduksi
Definisi : disebut matriks tereduksi bila memenuhi : Bila ada baris yang tak semua nol, maka elemen pertama yang  0 harus bilangan 1 2. Elemen pertama yang  0 pada baris dibawahnya harus disebelah kanan 1 3. Baris yang semua nol harus pada bagian bawah (baris-baris bawah)

21 Matriks Eselon (Eliminasi Gauss)

22 Matriks Eselon Tereduksi (Eliminasi Gauss Jordan):

23 Contoh Matriks Eselon Contoh Matriks Eselon Tereduksi

24 Operasi Baris Elementer (OBE)
Definisi : bij = menukar baris ke i dengan baris ke j bi(p) = mengalikan baris ke i dengan p bij (p) = bi + p.bj Ganti baris ke i dengan baris baru yang merupakan baris ke i ditambah dengan baris ke j yang dikalikan dengan p.

25 Contoh : b2 = 4b3 = +

26 Matriks Elementer dan sifat-sifatnya :
Definisi : A nxn disebut matriks elementer, bila dengan sekali melakukan OBE terhadap In di peroleh Anxn Contoh :

27 E = Matriks elementer, maka E
E = Matriks elementer, maka E.A = matriks baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matriks A ] . A A = E.A = [I ]A

28 Contoh :

29 Setiap Matriks Elementer adalah matriks tak singular.
Invers matriks elementer juga matriks elementer. I OBE E maka E-1 juga elementer Cara penyelesaian invers matriks dengan OBE. (AI) OBE (I A-1)

30 Contoh 1: Solusi :

31 Jadi Program MAPLEnya : # Matriks Invers > restars: > With (linalg): Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace

32 > A := array ([[1,2],[3,4]])
> Invers (A);

33 Contoh 2 : Solusi : (B  I) OBE ( I B-1)

34 1 1 1

35

36 Jadi I3 B-1 Program MAPLEnya : # Matriks Invers Ordo 3X3 > restart:

37 > With (linalg): Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace > A := array ( [[2,6,6],[2,8,6],[2,8,8]] )

38 > Invers (A);

39 Matriks yang tidak mempunyai invers
Contoh :

40 Sebelah kiri bukan matriks identitas, maka Matriks B tak mempunyai invers.

41 # Contoh Matriks Yang Tidak Mempunyai Invers
> restart: > with(linalg): Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace > A := array( [[1,1,2],[2,-1,1],[1,2,3]] );

42 [1 1 2 ] [ ] A := [2 -1 1] [1 2 3 ] > inverse(A); Error, (in inverse) singular matrix

43 Soal latihan : Cari invers matriks dari