Diferensial Fungsi Satu Variabel (“Diferensial Biasa”)

Presentasi berjudul: "Diferensial Fungsi Satu Variabel (“Diferensial Biasa”)"— Transcript presentasi:

1 Diferensial Fungsi Satu Variabel (“Diferensial Biasa”)
Pertemuan 20 Diferensial Fungsi Satu Variabel (“Diferensial Biasa”)

2 Tujuan Mahasiswa dapat menguraikan tentang diferensial sederhana beserta kaidahnya shg mampu menggunakannya dalam menyelesai kan masalah ekonomi dan bisnis.

3 Pengertian Diferensial
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Derivasi adalah hasil yang diperoleh dari proses diferensiasi.

4 Kaidah Diferensial Diff konstanta, y = k  y’=0
Diff fungsi pangkat, y = x^n  y’=nx^n-1 Diff fungsi perkalian konstanta dgn fungsi y = k v  y’ = k v’ Diff fungsi pembagian konstanta dgn fungsi y = k/ v  y’ = ( -k v’)/ v² Diff fungsi penjumlahan y = u + v  y’ = u’ + v’ Diff perkalian fungsi y= u v  y’=uv’+vu’

5 Kaidah Diferensial(2) Diff pembagian fungsi y = u/v
y’ = (v u’ + u v’) / v² Diff fungsi berpangkat y = u^n, u=f(x) u’ = n u^n-1. u’ Diff fungsi logaritmik y = ªlog x y’ = 1/ (x ln a) Diff fungsi komposit logaritmik y = ªlog u  y’ = (ªlog e)/u. u’

6 Kaidah Diferensial(3) Diff fungsi kompleks y = u^v ; u,v=f(x)
y’ = v.u^v-1. u’ + u^v . lnu. v’ Diff fungsi balikan y = f(x) dan x = g(y)  dy/dx = 1/(dx/dy)

7 A. Hakekat Derivatif & Diferensial Kasus 1 :
Y = C + S, bila pendapatan nasional naikmaka konsumsi dan tabungan akan naik, sehingga : DY = (1)C + (1)S  diferensial Karena C + S = dY  dY/dY = C/dy + S/dY  derivasi C/dY = MPC,S/dY = MPS, terbukti bahwa MPC + MPS = 1

8 Kasus 2 : C = f(Y) C= Co + cY, bila pendapatan nasional naik maka konsumsi akan naik, sehingga : C + C = Co + c(Y + Y)  diferensial  C = Co + cY + cY – C  C = cY  C/Y = c  derivasi c  MPC

9 untuk kasus diferensiasi ini dijelaskan bahwa bila perubahan Y sangat kecil sekali hingga batasnya (limit) mendekati 0, maka C/Y = MPC, berbeda halnya bila Y = 5 atau 6, jadi bila y = f(x), untuk x mendekati 0, maka berlaku : y + f(x) = f(x + x) y = f(x + x) – f(x)

10 Bila x mendekati 0, maka : diferensial y = dy = dy/dx (x)
Ingatlah : Bila x mendekati 0, maka : dy/dx = y/x deferensiasi x = dx = x, diferensiasi y = dy = y jadi bisa ditulis diferensial y = dy = dy/dx (x)

11 Kasus :Bila diketahui x = 0
Kasus :Bila diketahui x = untuk kedudukan x = 2, tentukan apakah dy = y dari fungsi y = 3x2 – 4x + 5  Jawab : y = 3x2 – 4x dy/dx = 6x – 4  x = 2 maka dy/dx = 6 (2) – 4 = 8 Ingat: dy = dy/dx (x)  dy = 8 (0.0001) =  y = f(x) = 3x2 – 4x + 5  x = 2  f(x) = 12 – = 9

12 y = f (x + x) – f (x) y = 3 (x + x)2 – 4(x + x) + 5 – f (x) y = 3 ( )2 –4 ( ) + 5 – 9 y = 3 ( )2 –4 ( ) + 5 – 9 y = – – 9 = y = padahal dy = jadi bisa dibuktikan bahwa bila x mendekati 0, maka y = dy dengan demikian dalam pengertian selanjutnya : dy adalah merupakan taksiran dari y.

13 Gambar 1. “Under estimated”

14 Gambar 2. “Over estimated”

15 Contoh z = 2xy + 10y2 – 12x , Diferensial x dan y (total) adalah : Dz = 2yx + 2xy + 20yy - 12x Derivasi terhadap x,  z/x = 2y – 12 Derivasi terhadap y,  z/y = 2x + 20y