Review Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose

Presentasi berjudul: "Review Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose"— Transcript presentasi:

1 Review Review Aljabar Linear Matrix Operations Transpose
Inverses & Orthogonality Eigenvalues & Rank Idempotent Matrix & Trace

2 Matrix Operation

3 Pengertian Matriks Matriks: kumpulan bilangan, simbol, atau ekspresi, berbentuk persegi yang disusun menurut baris dan kolom Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut  elemen atau anggota matriks Contoh:

4 Beberapa Operasi Matriks
Misal X dan Y adalah matriks berdimensi n x k, anggota matriks X dan Y adalah xij dan yij; i= 1,2,..,n; j= 1,2,..,k X + Y : matriks beranggota xij + yij X - Y : matriks beranggota xij - yij cX : matriks beranggota cxij Misal X dan Y: matriks berdimensi n x k dan k x m, maka perkalian XY:

5 Sifat-sifat Operasi Matriks
Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+Y = Y+X Jika X dan Y: matriks n x k, maka X+(Y+Z) = (X+Y)+Z Jika X dan Y conformable , maka X(YZ) = (XY)Z Jika X matriks n x k, Y dan Z matriks k x m, maka X(Y+Z) = (XY+XZ) Jika X matriks n x k, Y dan Z matriks m x n, maka (Y+Z)X = (YX+ZX) Jika X(n x k), Y(k x m), dan c angka riil, maka X(cY) = c(XY) Jika a dan b angka riil, X(n x k), maka (a+b)X = aX + bX Jika X dan Y: matriks n x k, maka c(X+Y) = cY + cX Jika X matriks n x k, 0 matriks nol, maka X+0 = 0+X = X Jika X matriks n x k, Y negatif matriks X, maka X+Y = 0

6 Partisi Matriks Bila: Maka: XY=?

7 Transpose

8 Pengertian Transpose Transpose dari suatu matriks adalah mengubah komponen-komponen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom, dan yang kolom diubah menjadi baris Contoh:

9 Sifat-sifat Transpose
Jika X(n x k), dan c angka riil, maka (cX)T = cXT Jika X dan Y: matriks n x k, maka (X ± Y)T = XT ± YT Jika X(n x k), maka (XT) T = X Jika X matriks n x k, dan Y matriks k x m, maka (XY)T = YT XT Jika X suatu matriks simetris jika dan hanya jika XT = X Contoh:

10 Inverses & Orthogonality

11 Pengertian Invers (Matriks Balikan)
Matriks B dikatakan sebagai invers dari matriks A apabila: A B = B A = I atau B = A-1 dan A = B-1 Jika tidak ditemukan matriks B, maka A dapat dikatakan sebagai matriks tunggal (singular) Contoh:

12 Sifat-sifat Invers Jika matriks X nonsingular, maka X-1 juga nonsingular dan (X-1)-1 = X Jika X dan Y nonsingular (k x k), maka XY juga nonsingular dan (XY)-1 = Y-1X-1 Jika X nonsingular, maka XT juga nonsingular dan (XT)-1 = (X-1)T

13 Penghitungan Invers suatu Matriks
Ordo 2x2 Ordo 3x3

14 Penghitungan Invers suatu Matriks
Ordo 3x3

15 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Determinan: suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar Ordo 2x2

16 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Ordo 3x3 Metode Penentuan Determinant: Dengan Minor dan Kofaktor Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama Metode Sarrus Determinant matriks segitiga atas

17 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Dengan Minor dan Kofaktor

18 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Dengan Minor dan Kofaktor

19 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Dengan Ekspansi Kofaktor pada Baris Pertama

20 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

21 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Dengan Ekspansi Kofaktor pada Kolom Pertama

22 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Metode Sarrus

23 Penghitungan Determinant suatu Matriks
Determinant matriks segitiga atas (multi ordo)

24 Orthogonality Matrix Implikasi:
Jika X matriks(k x k) sedemikian bahwa XTX = I, maka matriks A dikatakan orthogonal Implikasi: Setiap matriks ortogonal adalah square Karena XTX = I, maka X-1 = XT Vektor x dan y (nx1) ortogonal jika dan hanya jika:

25 Eigenvalues & Rank

26 Pengertian Eigenvalues
Jika A matriks (k x k) dan x vektor nonzero (k x 1) yang memenuhi persamaan Ax = λx, dimana λ adalah skalar. Maka λ adalah suatu eigenvalues dari A yang terkait dengan eigenvactor x Penentuan besaran eigenvalues: Ax = λx (A – λI)x = 0 atau X = (A – λI)-10= 0 Karena x nonzero, maka A – λI harus singular dan, determinant harus = 0. Sehingga eigenvalues suatu matriks dapat dihitung dengan rumus:

27 Pengertian Eigenvalues
Contoh: mengimplikasikan ada dua eigenvalue : = -6 dan =4

28 Eigenvalues dan Eigenvector
Untuk matrix A dengan eigenvalue , maka suatu vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax = x , disebut eigenvector (characteristic vector) dari A yang berhubungan dengan .

29 Eigenvalues dan Eigenvector
Dari contoh sebelumnya: eigenvalues  = -6 dan  = 4, eigenvector dari A yang berhubungan dengan  = -6 adalah: Untuk x1=1 maka x2 = –2.

30 Eigenvalues dan Eigenvector
Eigenvectors biasanya dinormalkan sehingga panjangnya 1, yaitu: Untuk contoh sebelumnya diperoleh: Sehingga pemilihan sembarang x1=1 di atas tidak berpengaruh terhadap eigenvector yang berhubungan dengan  = -6.

31 Eigenvalues dan Eigenvector
Untuk eigenvalue  = 4, diperoleh: Dengan sembarang pemilihan x1=1, menghasilkan solusi x2 =1/2.

32 Eigenvalues and Eigenvectors
Normalisasi sehingga panjangnya 1 menghasilkan:

33 Latihan Tentukan eigenvalues dan eigenvector dari matriks berikut:

34 Pengertian Rank Rank dari matriks X (dinyatakan dengan r(X): banyaknya vektor linier independen terbesar yang dibentuk oleh vektor-vektor kolom dari A. Sifat: Misal X(n x k) dengan rank k dimana n ≥ k (full rank), maka r(X) = r(X’) = r(X’X) = k Matriks X(k x k) nonsingular jika dan hanya jika r(X) = k Jika matriks X(n x k), matriks P(n x n) dan Q(k x k) nonsingular, maka r(X) = r(PX) = r(XQ) Rank dari suatu diagonal matriks = jumlah kolom nonzero Rank dari XY atau r(XY) ≤ r(X) dan r(XY) ≤ r(Y)

35 Pengertian Rank Contoh:
Karena a3 = ½ a1 + ½ a2, serta a1 dan a2 linear independent maka rank dari A adalah 2 Jika A (nxp) dengan n  p dan rank A = p maka A disebut matriks ber-rank penuh (full rank)

36 Idempotent Matrix & Trace

37 Pengertian Idempotent Matrix
Matriks A dikatakan idempotent matriks jika A2 = A. Contoh: Misal X(n x k) matriks full rank. Ingin dibuktikan bahwa matriks H(n x n) = X(X'X)-1X' adalah idempotent matriks H2 = [X(X'X)-1X' ] [X(X'X)-1X' ] = X(X'X)-1(X' X)(X'X)-1X' karena (X'X)(X'X)-1 = 1, maka: H2 = X(X'X)-1X' = H

38 Pengertian Trace Trace dari matriks A(k x k), dinyatakan sebagai tr(X): jumlah seluruh nilai pada diagonal utama. Formula: Contoh:

39 Sifat Trace Misal c suatu angka riil, maka tr(cX) = ctr(X)
tr(X ± Y) = tr(X) ± tr(Y) Jika X(n x p) dan Y(p x n), maka tr(XY) = tr(YX) Contoh (3):