Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika Prancis Menurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi.

Presentasi berjudul: "Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika Prancis Menurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi."— Transcript presentasi:

1

2 Ditemukan oleh Piere Simon Maequis de Laplace tahun (1747-1827) seorang ahli astronomi dan matematika Prancis Menurut; fungsi waktu atau f(t) dapat ditranspormasi menjadi fungsi komplek atau F(s) –Dimana s bilangan komplek dari s =  + j2  f atau  + j   = frekuensi neper = neper/detik  = frekuensi radian = radian/detik

3 Hasil TL dari f(t) di beri nama F(s) Tanda TL diberikan dengan £ atau L, dan fungsinya di tulis f(t): nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel t F(s): Nilai komplek dari fungsi sebuah fariabel s

4 Inverse Transformasi Laplace Inverse (Bilateral) Transform Notation F(s) = L{f(t)}variable t tersirat untuk L f(t) = L -1 {F(s)}variable s tersirat untuk L -1

5 Contoh: Transpormasi Laplace 1. f(t) = A –Jawab

6 Contoh 2. f(t) = At Jawab Dibantu dengan formula integral partsiel yaitu

7

8 Contoh 3 f(t) = e -at jawab

9 Contoh 4 : f(t) = t.e -at

10

11 5.f(t) = Sin(  t) 6.f(t) = Cos (  t) 7.f(t) = Sin(  t+  ) 8.f(t) = e -at. Sin(  t)

12 Contoh 9; f(0+) artinya harga nol untuk fungsi, jika didekati dari arah positif

13 Contoh 10;

14

15 f(t) L (f)f(t) L (f) 1 1 1/s 7 cos  t 2 t 1/s 2 8 sin  t 3 t2t2 2!/s 3 9 cosh at 4 t n (n=0, 1,…) 10 sinh at 5 t a (a positive) 11 e at cos  t 6 e at 12 e at sin  t

16 Some useful Laplace transforms f(t)F(s)=L[f(t)]

17 Some useful Laplace transforms f(t)F(s)=L[f(t)]

18 L F(s)f(t)f(t) Laplace Transform Properties Linear atau Nonlinear? Linear operator

19 contoh Seperti gambar disamping, muatan awal kapasitor = 0. Tentukan persamaan arusnya;

20 Transpormasi Laplace

21

22 Pembalikan transpormasi laplace Lihat tabel

23 Contoh 2 Gambar RL seperti gambar disamping, jika saklar s di on-kan maka tentukan persamaan arunya

24 Persamaan rangkaian Transpormasi Laplace

25 Transpormasi dari cos  t

26 Laplace transform Definition of function f(t) Examples f(t)=0 for t<0 defined for t>=0 possibly with discontinuities  f(t)  <Mexp(  t)[exponential order] s: real or complex t f(t) Definition of Laplace transform

27 Laplace transform Examples f(t) Dirac t t f(t)

28 Laplace transform Examples f(t)Heaviside t f(t) t

29 Laplace transform Examples f(t) Ramp t

30 Laplace transform properties Linearity

31 Laplace transform properties Translation a) if F(s)=L[f(t)] Example

32 Laplace transform properties Translation b) if g(t) = f(t-a) for t>a = 0 for t<a a t f(t) g(t) Example

33 Laplace transform properties Change of time scale Example

34 Derivatives Laplace transform properties

35 Derivatives Laplace transform properties If discontinuity in a

36 Derivatives examples Laplace transform properties

37 Remarques sur la dérivation Deux cas à prévoir En intégrant par parties a) b) Si f(t) et toutes ses dérivées sont nulles pour t<0, alors on peut ne pas tenir compte des valeurs initiales pour étudier le comportement

38 Laplace transform properties Integral

39 Laplace transform properties Multiplication by t Leibnitz’s rule More general

40 Laplace transform properties Division by t

41 Periodic function Laplace transform properties

42 Hint

43 Laplace transform properties Sine and cosine are periodic functions

44 Laplace transform properties Example t 1 0 1 2 3 f(t)

45 Laplace transform properties Periodic function

46 Laplace transform properties Example 1 t 0123

47 Laplace transform properties

48 Limit behaviour Initial value Laplace transform properties Exponential order

49 Limit behaviour Final value Laplace transform properties

50 Laplace transform applications C R e0.  (t) v(t) RC circuit Equation describing the circuit Laplace transform

51 Laplace transform applications Impulse function Impulse response

52 Laplace transform applications Step function e0

53 Laplace transform applications Step function and initial conditions v(0)  0

54 Laplace transform applications Ramp function

55 (Heaviside) Laplace transform properties a t

56 at

57 Limits Initial value Final value

58 e(t) E(s) v(t) V(s) R C Harmonic analysis Laplace transform properties

59 Forced Transient

60