Pertidaksamaan Kuadrat

Presentasi berjudul: "Pertidaksamaan Kuadrat"— Transcript presentasi:

1 Pertidaksamaan Kuadrat
by Gisoesilo Abudi

2 Pengertian Pertidaksamaan kuadrat adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkat tertinggi dua. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat dapat dituliskan dalam bentuk notasi himpunan atau dengan garis bilangan

3 ax2 + bx + c * 0 Bentuk Umum Dimana : a ≠ 0, a, b, c, Є R
Tanda (*) adalah tanda pertidaksamaan yaitu : <, >, ≤, dan ≥

4 Langkah-langkah Penyelesaian
Nyatakan pertidaksamaan kuadrat dalam bentuk persamaan kuadrat (jadikan ruas kanan sama dengan 0) Carilah akar-akar dari persamaan kuadrat tersebut Buatlah garis bilangan yang memuat akar-akar tersebut, tentukan tanda (positif atau negatif) pada masing-masing interval dengan cara menguji tanda pada masing-masing interval. Himpunan penyelesaian diperoleh dari interval yang memenuhi pertidaksamaan tersebut.

5 Contoh 1 Penyelesaian. x2 + 5x – 14 < 0
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 + 5x – 14 < 0 ! Penyelesaian. x2 + 5x – 14 < 0 ⇔ x2 + 5x – 14 = (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) ⇔ (x + 7)(x – 2) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar) ⇔ x = -7 atau x = 2 Garis bilangan yang memuat (-7) dan 2 -7 2

6 Pengujian Antara -7 dan 2, diambil 0, maka :
Uji beberapa titik, misalnya : Sebelah kiri -7, diambil -10, maka : (-10)2 + 5(-10) – 14 = 36 (positif) Antara -7 dan 2, diambil 0, maka : (0)2 + 5(0) – 14 = -14 (negatif) Sebelah kanan 2, diambil 3, maka : (3)2 + 5(3) – 14 = 10 (positif) Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah <, maka interval yang bertanda negatif yang memenuhi pertidaksamaan. Jadi, HP = {x| -7 < x < 2, x Є R} (+) (-) (+) -7 2

7 Contoh 2 Penyelesaian. ⇔ 9 - x2 = 0 (Nyatakan dalam persamaan kuadrat)
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 9 - x2 ≥ 0 ! Penyelesaian. 9 - x2 ≥ 0 ⇔ 9 - x2 = (Nyatakan dalam persamaan kuadrat) ⇔ (3 + x)(3 – x) = 0 (Persamaan difaktorkan untuk mencari akar) ⇔ x = -3 atau x = 3 Garis bilangan yang memuat (-3) dan 3 -3 3

8 Pengujian Antara -3 dan 3, diambil 0, maka :
Uji beberapa titik, misalnya : Sebelah kiri -3, diambil -4, maka : 9 - (-4)2 = – 7 (negatif) Antara -3 dan 3, diambil 0, maka : 9 - (0)2 = 9 (positif) Sebelah kanan 3, diambil 4, maka : 9 - (4)2 = -7 (negatif) Karena tanda pertidaksamaan pada soal adalah ≥, maka interval yang bertanda positif yang memenuhi pertidaksamaan. Jadi, HP = {x| -3 ≤ x ≤ 3, x Є R} (-) (+) (-) -3 3

9 Selamat Mencoba Latihan
Agar kalian lebih memahami cara mencari akar-akar pertidaksamaan kuadrat coba Anda kerjakan latihan di buku paket Erlangga. Jika kalian kelas x Kelompok BisMen kerjakan soal latihan halaman 63 no Jika kalian kelas x kelompok Teknologi kerjakan soal latihan halaman no. 4. Selamat Mencoba

10 Menerapkan Persamaan & Pertidaksamaan Kuadrat
by Gisoesilo Abudi

11 Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar
Misalkan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0. Jika kedua akarnya sama (x1 = x2), maka : ⇔ D = 0 ⇔ b2 – 4ac = 0 ⇔ b2 = 4ac Jika kedua akarnya berlawanan (x1 = -x2 ), maka : ⇔ x1 + x2 = - b/a ⇔ -x2 + x2 = - b/a ⇔ 0 = - b/a ⇔ b = 0

12 Hubungan antara Koefisien PK dengan Sifat Akar
Jika kedua akarnya berkebalikan (x1 = 1/x2), maka : ⇔ x1 . x2 = c/a ⇔ 1/x2 . x2 = c/a ⇔ 1 = c/a ⇔ c = a Kesimpulan : Akar-akarnya kembar jika dan hanya jika b2 = 4ac Akar-akarnya berlawanan jika dan hanya jika b = 0 Akar-akarnya berkebalikan jika dan hanya jika c = a

13 Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya
Misalkan : Menggunakan Perkalian Faktor Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : (x – x1)(x - x2) = 0 Contoh Dengan menggunakan perkalian faktor, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan d. (5 - √3)(5 + √3)

14 Penyelesaian -2 dan 3 ⇔ x1 = -2 dan x2 = 3 ⇔ (x – (-2)(x – 3) = 0
Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

15 Menyusun PK yang diketahui Akar-akarnya
Misalkan : Menggunakan Rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya. Jika diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat, maka : X2 - (x1 + x2)x + (x1.x2) = 0 Contoh Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar-akarnya, susunlah PK yang akar-akarnya : -2 dan c. 1/3 dan – 1/5 -7 dan d. (5 - √3)(5 + √3)

16 Penyelesaian -2 dan 3 Persamaan kuadratnya :
⇔ x2 – (-2 + 3)x + (-2)(3) = 0 ⇔ x2 – x – 6 = 0 Jadi PK : x2 – x – 6 = 0 Untuk lebih jelas Anda coba untuk mencari penyelesaian contoh b, c, dan d.

17 Menyusun PK Berdasarkan Akar-akar PK lain
Kita dapat menyusun PK, jika akar-akarnya diketahui mempunyai hubungan dengan PK lain. Contoh 1 Susunlah PK yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-akar PK x2 – 8x + 2 = 0 !

18 Penyelesaian. x2 – 8x + 2 = 0 ⇔ a = 1, b = -8, dan c = 2 Misalkan akar-akar PK : x2 – 8x + 2 = 0 adalah x1 dan x2 Maka : x1 + x2 = - b/a = - (-8/1) = 8 x1 . x2 = c/a = 2/1 = 2 Misalkan akar-akar PK baru yang akan dicari adalah α dan β, maka : α = x dan β = x2 + 5, sehingga α + β = (x1 + 5) + (x2 + 5) = (x1 + x2) + 10 = = 18 ⇔ x2 – (α + β)x + (α.β) = 0 ⇔ x2 – (18)x + (67) = 0 ⇔ x2 – 18x + 67 = 0 α . β = (x1 + 5) . (x2 + 5) = x1.x2 + 5x1 +5x = x1.x2 + 5(x1+x2) + 25 = = 67

19 Contoh 2 Akar-akar PK x2 – 4x + 5 = 0 adalah p dan q. Susunlah PK baru jika akar-akarnya (p + 2) dan (q + 2) ! Penyelesaian Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan baru, maka : α = p + 2 ⇔ p = α – 2 β = q + 2 ⇔ q = β – 2 Karena p merupakan salah satu akar persamaan x2 – 4x + 5 = 0, maka : ⇔ (α – 2)2 – 4(α – 2) + 5 = 0 ⇔ (α2 – 4α + 4) – 4α = 0 ⇔ α2 – 4α + 4 – 4α + 13 = 0 ⇔ α2 – 8α + 17 = 0, ⇔ ( α = x), maka x2 – 8x + 17 = 0

20 Persamaan kuadrat baru
Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, a ≠ 0, mempunyai akar-akar x1 dan x2, maka : Akar-akar baru Persamaan kuadrat baru x1 + m dan x2 + m a(x – m)2 + b(x – m) + c = 0 x1 – m dan x2 – m a(x + m)2 + b(x + m) + c = 0 mx1 dan mx2 a(mx)2 + b(mx) + c = 0

21 Aplikasi Persamaan dan Pertidaksamaan Kuadrat
Contoh Sejumlah siswa akan patungan untuk membeli alat praktek seharga Rp ,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga orang itu ikut bergabung, maka masing-masing akan membayar Rp34.000,00 kurangnya dari yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan membeli alat praktek tersebut !

22 Penyelesaian Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan
Misal jumlah siswa : x Masing-masing siswa membayar sebesar : ( : x) Setelah 3 temannya masuk, maka { : (x + 3)} Selisih pembayaran = pembayaran mula-mula – pembayaran setelah 3 temannya bergabung. sehi sehingga ⇔ x(x + 3) = 18(x + 3) – 18x ⇔ x2 + 3x = 18x + 54 – 18x ⇔ x2 + 3x - 54 = 0 ⇔ (x + 9)(x – 6) = 0 ⇔ x = -9 atau x = 6 Jadi sebelum 3 teman bergabung ada 6 siswa yg patungan