MATEMATIKA DASAR.

Presentasi berjudul: "MATEMATIKA DASAR."— Transcript presentasi:

1 MATEMATIKA DASAR

2 BAB I SISTEM BILANGAN

3 1.1 SISTEM BILANGAN RIL 1.1.1 BILANGAN RIL RIL (R) RASIONAL (Q)
IRRASIONAL (I) BULAT (J) PECAHAN DESIMAL BERULANG DESIMAL TERBATAS NEGATIF CACAH (W) NOL ASLI (N)

4 Himpunan Bilangan Asli (N)
Himpunan Bilangan cacah (W) W = { 0, 1, 2, 3, … } Himpunan Bilangan Bulat (J) J = { … , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … } Himpunan bilangan rasional (Q) Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang mempunyai bentuk p/q atau bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q  0 Q = P q |p dan q  J, q  0

5 Contoh 1.1 Buktikan bahwa bilangan-bilangan 3, (4,7) dan (2,5858…) adalah bilangan-bilangan rasional! Bukti: a) Bilangan 3 dapat ditulis dalam bentuk p/q yaitu 3/1 atau 6/2 dan seterusnya. b) Bilangan 4,7 dapat ditulis dalam bentuk 47/10 c) Bilangan 2,5858… dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara, x = 2,5858… 100 x = 258,5858… 99 x = 256 x = 256/99

6 Latihan Buktikan bahwa bilangan 2, … adalah bilangan rasional! Penyelesaian x = 2, 100 x = 234, 10000 x = 23421, 10000 x = 23421, … 100 x = , … 9900 x = 23187 x = 23187/9900 Jadi bilangan 2, … = 23187/9900

7 1.1.2 GARIS BILANGAN RIL Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik. Setiap titik menunjukkan satu bilangan ril tertentu yang tersusun secara terurut.  , ,5 1.1.3 HUKUM-HUKUM BILANGAN RIL Jika a dan b adalah dua bilangan ril maka berlaku: (i) a + b adalah bilangan ril (ii) a . b adalah bilangan ril (iii) a + b = b + a Hukum Komutatif Penjumlahan (iv) a . b = b . a Hukum komutatif Perkalian

8 Jika a, b, dan c adalah tiga bilangan ril maka berlaku:
(v) (a + b) + c = a + (b + c) adalah bilangan ril (vi) (ab)c = a (bc) adalah bilangan ril (vii) a(b + c) = ab + ac Hukum Komutatif Penjumlahan a + 0 = 0 + a Hukum Penjumlahan Nol (ix) a . 1 = 1 . a = a Hukum Perkalian Satu (x) a.0 = 0.a = Hukum Perkalian Nol (xi) a + (-a) = -a + a Hukum Invers Penjumlahan (xii) a (1/a) = , a  Hukum Invers Perkalian

9 1.2 BILANGAN KOMPLEKS Bentuk umum z = a + ib a dan b adalah bilangan ril a merupakan bagian ril dari bilangan kompleks, ditulis Re(z) b merupakan bagian imajiner dari bilangan kompleks , ditulis Im(z) i merupakan bilangan imajiner = -1 i2 = -1 . -1 = -1 i3 = i2 . i = -i i4 = i2 . i2 = (-1)(-1) = 1 Dari keterangan diatas didapat

10 1.2.1 SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPLEKSS
Misal z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2, maka berlaku: z1 = z2  x1 = x2 dan y1 = y2 sifat kesamaan z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2) sifat penjumlahan c) z1 - z2 = (x1 + x2) + i(y1 - y2) sifat pengurangan d) z1 . z2 = (x1 x2- y1 y2) + i(x1 y2 – x2y1) sifat perkalian KONJUGAT Jika z = x + iy, maka konjugat dari z (ditulis ) adalah = x – iy z Jika z = x - iy, Maka = x + iy z

11 1.2.3 PERKALIAN BILANGAN KOMPLEKS DENGAN KONJUGATNYA
PEMBAGIAN DUA BUAH BILANGAN KOMPLEKS x1 + iy1 z2 z1 = x2 + iy2 x2 - iy2 x1 x2 + ix1y2+ ix2y1 – i2y1y2 x22 – i2y22 = x1 x2 +y1y2 x22 + y22 x1y2+ x2y1 x22 +y22 + i =

12 Contoh 1.2 Diketahui z1 = – 5 + 7i z2 = 3 – 2i Tentukan z1 + z2 z1 – z2 z1 . z2 z1 /z2 z1. z2. z2 z1 Penyelesaian z1 + z2 = (– 5 + 7i) + (3 – 2i) = (–5 + 3) + (7i –2i) = –2 + 5i b) z1 – z2 = (– 5 + 7i) – (3 – 2i) = –5 +7i –3+2i)= –8 + 9i c) z1 . z2 = (– 5 + 7i)(3 – 2i) = – i + 21i – 14i2= – i

13 x1 x2 +y1y2 x22 + y22 x1y2+ x2y1 x22 +y22 + i z1 z2 d) = (– 5)(3)+(7)(– 2) 32 + (– 2)2 (7)(3) – (– 5)(– 2) + i = –29 13 + i 11 = e) z1 . z2 = (–5 + 7i)(3 + 2i) = –15 –10i + 21i + 14i2 = –15 – 10i + 21i – 14 = – i f) z1 . z2 = (-5 - 7i)(3 - 2i) = – 5(3) – 5(– 2i) – 7i(3) –7i(–2i) = – i – 21i + 14i2 = –15 – 11i –14 = –29 – 11i

14 1.3 PERTIDAKSAMAAN Pertidaksamaan adalah pernyataan yang mengandung <, >, , atau  Pertidaksamaan terdiri dari pertidaksamaan linier dan non-linier 1.3.1 Sifat-sifat (i) Jika a > b dan b > c, maka a > c (ii) Jika a > b, maka a + c > b + c (iii) Jika a > b, maka a – c > b – c (iv) Jika a > b, dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc (v) Jika a > b, dan c adalah bilangan negatif maka ac < bc

15 Analog dengan (i) s.d. (v),
(vi) Jika a > b dan b > c, maka a > c (vii) Jika a > b, maka a + c > b + c (viii) Jika a > b, maka a – c > b – c (ix) Jika a < b, dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc (x) Jika a < b, dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc

16 Sifat-sifat lainnya (xi) ac > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c < 0 (xii) ac < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c < 0 a/c > 0, jika a > 0 dan c > 0 atau jika a < 0 dan c <0 a/c < 0, jika a < 0 dan c > 0 atau jika a > 0 dan c <0 (xv) Jika a > b, maka – a < – b Jika 1/a < 1/b, maka a > b Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit) Jika a>b>c, maka b , a atau b > c (bentuk komposit)

17 1.3.2 Selang (interval) Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril yang mempunyai sifat-sifat relasi tertentu Jika batas-batasnya merupakan bilangan ril, maka disebut selang hingga. Jika batas-batasnya bukan bilangan ril, maka disebut selang tak-hingga. Lambang  menyatakan membesar tanpa batas. Lambang – menyatakan mengecil tanpa batas. Berikut diberikan contoh-contoh selang

18 Notasi Definisi Grafik Keterangan

19 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b }
Selang terbuka ( a ) b

20 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b }
Selang terbuka [a, b] {x|a  x  b } Selang tertutup ( a ) b [ a ] b

21 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b }
Selang terbuka [a, b] {x|a  x  b } Selang tertutup [a, b) {x|a  x < b } Selang setengah terbuka ( a ) b [ a ] b [ a ) b

22 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, b) {x|a < x < b }
Selang terbuka [a, b] {x|a  x  b } Selang tertutup [a, b) {x|a  x < b } Selang setengah terbuka (a, b] {x|a < x  b } ( a ) b [ a ] b [ a ) b ( a ] b

23 Notasi Definisi Grafik Keterangan

24 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka
[ a

25 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka
Selang tertutup [ a [ a

26 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka
Selang tertutup (-, b) {x|x < b } [ a [ a ) b

27 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka
Selang tertutup (-, b) {x|x < b } (-, b] {x|x  b } [ a [ a ) b ] b

28 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a, ) {x|x > a } Selang terbuka
Selang tertutup (-, b) {x|x < b } (-, b] {x|x  b } (-, ) R [ a [ a ) b ] b

29 1.3.3 Pertidaksamaan linier satu peubah
Bentuk umum ax + b (?) 0 a dan b adalah bilangan ril (?) adalah salah satu dari <, >, , atau  Contoh 1.5 Selesaikan pertidaksamaan 7x + 9 < –5 Penyelesaian 7x+9<–5  semua ruas dikurang sembilan  7x + 9 –9 < –5 –9 7x < –14  x < –2 Himpunan penyelesaian {x|x< –2} ) -2 Selang terbuka

30 Untuk kesederhanaan, penyelesaian pertidaksamaan linier satu
peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan pada ruas lainnya. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas yang berbeda tandanya akan berubah!

31 Contoh 1.7 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3x – 2  8 + 5x Penyelesaian 3x – 2  8 + 5x  Pidahkan 5x ke ruas kiri dan -2 ke ruas kanan 3x – 5x   Kelompokkan peubah x pada ruas kiri dan kelompokkan konstan pada ruas kanan. – 2x  10 (– 1/2)(– 2x)  (10)(– 1/2) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka tanda pertidaksamaan harus dibalik (sifat pertidaksamaan xv) x  – 5 Himpunan penyelesaian {x|x  – 5} ] –5 Selang terbuka

32 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
Contoh 1.8 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4 – 2x 5 4 < < 2x – 1 Penyelesaian 4 – 2x 5 4 < < 2x – 1  kalikan semua ruas dengan 5 4 – 2x 5 4(5) < (5) < (2x – 1)(5) 20 < 4 – 2x < 10x – 5  dipecah menjadi dua bagian, yaitu 4 – 2x > 20 dan 4 – 2x < 10x – 5 (sifat pertidaksamaan xvii) 4 – 2x > 20  2x – 4 < –20 2x < 4 – 20  x < –8 4 – 2x < 10x – 5  –2x –10x < –5 – 4 – 12x < –9  12x > 9  x > 3/4 Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {x|x , -8 atau x > 3/4} ( 3/4 ) – 8 Selang terbuka

33 1.3.4 Nilai Mutlak Nilai mutlak dari x dinyatakan dengan |x| Definisi |x|= x jika x  0 –x jika x < 0 Teorema-teorema Jika a dan b adalah bilangan ril, maka (i) |x| < a  –a < x < a (ii) |x| > a  x > a atau x < –a (iii) |x|  a  –a  x  a (iv) |x|  a  x  a atau x  –a (v) |x| = a  x = a atau x = –a

34 (vi) |ab| = |a||b| Bukti |ab|=(ab)2 a2 b2 = a2 = b2
= |a||b| (terbukti) (vii) a b = , b  0. a b = 2 Bukti (terbukti) (terbukti)

35 |a – b||a|+|b| Bukti |a – b|=|a +(–b)| |a|+|b| (terbukti) |a|– |b| |a – b| Bukti |a|=|(a – b)+b||a – b|+|b| Jika setiap suku dikurang dengan |b|, maka |a| – |b| |a – b| (terbukti) Contoh 1.9 Selsaikan pertidaksamaan |x – 5|  4, gambarkan garis bilangan dan selangnya! Penyelesaian

36 |x – 5|  4  –4  x – 5  4 (teorema iii)
Dengan memperhatikan sifat pertidaksamaan xvii, maka kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 5  – 4 dan x – 5  4 Selanjutnya selesaikan satu per satu pertidaksamaan tersebut! x – 5  – 4  x  –  x  1 x – 5  4  x   x  9 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|1  x  9} [ 1 ] 9 Selang tertutup

37 Contoh 1.10 Selesaikan pertidaksamaan |x – 7| > 3, gambarkan garis bilangan dan selangnya! Penyelesaian |x – 7| > 3  –3 > x – 7 > 3 (teorema iii) Dengan memperhatikan sifat pertidaksaman xviii, kita dapatkan dua buah pertidaksamaan, yaitu x – 7 < –3 dan x – 7 > 3 x – 7 < –3  x < –3 + 7  x < 4 x – 7 > 3  x > 3 + 7  x > 10 Jadi himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah {x|x < 4 atau x > 10} ) 4 ( 10 Selang terbuka

38 1.3.5 Pertidaksamaan linier dua peubah
Bentuk umum ax + by + c (?) 0 a, b, dan c adalah bilangan-bilangan ril (?) adalah salah satu , , , atau  Algoritma Ganti tanda pertidaksamaan dengan tanda sama dengan. Ingat! Garis yang digambar membagi bidang menjadi dua bagian. 2. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda  atau , berarti garis tersebut termasuk bidang yang akan digambarkan. 3. Jika pertidaksamaan menggunakan tanda< atau >, berarti garis tersebut tidak termasuk bidang yang akan digambarkan. 4. Pilih salah satu titik koordinat pada salah satu bidang dan substitusikan pada pertidaksamaan. Jika menghasilkan pernyataan yang benar, maka bidang tsb merupakan bidang yang dimaksud.

39 3x – 2y Contoh 1.11 Gambarkan grafik pertidaksamaan 3x – 2y  8
Penyelesaian Langkah 1. Ganti tanda pertidaksamaan menjadi tanda sama dengan. 3x – 2y  8  3x – 2y = 8 3x – 2y = 8  –2y = –3x + 8  y = (–3/–2)x + 8/–2 y = 3/2 x – 4

40   Langkah 2 Gambarkan grafik 0,0 y x y = 3/2 x – 4 x y –4 8/3
–4 8/3  (8/3, 0) (0, –4) 

41 0,0 y x y = 3/2 x – 8  (8/3, 0) (0, –4) 

42    Langkah 3 Pilih titik koordinat (0,0) y y = 3/2 x – 8 x 0,0
(8/3, 0) (0, –8) 

43    Langkah 4 Substitusi titik koordinat (0,0)
ke dalam pertidaksamaan 0,0 y x 3x – 2y  8 3(0) – 2(0) 8  y = 3/2 x – 8    (8/3, 0) (0, –8) 

44    Langkah 5 Warnai/Arsir bidang yang memenuhi y y = 3/2 x – 8 x
0,0 (8/3, 0) (0, –8) 

45 TIPS Bidang disebelah kanan garis merupakan daerah > Bidang disebelah kiri garis merupakan daerah <

46 TIPS y  x

47 TIPS y L e b i h k e c i l  x 0,0 L e b i h b e s a r

48 TIPS y L e b i h b e s a r  x 0,0 L e b i h k e c i l

49 1.3.6. SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINIER
Sistem pertidaksamaan linier sistem yang terdiri dari lebih dari satu pertidaksamaan linier Contoh 1.13 Gambarkan grafik pertidaksamaan 2y + 3x < 5 dan x – y  –3 Penyelesaian Langkah 1 Ganti Pertidaksamaan menjadi persamaan 2y + 3x = 5 x – y = –3

50 Langkah 1 Ganti Pertidaksamaan menjadi persamaan 2y + 3x = 5 x – y = –3 Langkah 2 Gambarkan grafik persamaan Langkah 3 Arsir atau warnai daerah yang memenuhi

51 y x (0,0)

52 y x (0,0)

53 y x (0,0) 2y + 3x = 5

54 y x (0,0) 2y + 3x = 5

55 y x (0,0) 2y + 3x = 5 x – y = –3

56 y x (0,0) 2y + 3x = 5 x – y = –3

57 1.3.7 PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
Bentuk umum a2x + bx + c (?) 0 a, b, dan c adalah bilangan-bilangan ril a  0 (?) adalah salah satu , , , atau  Contoh 1.15 Selesaikan pertidaksamaan x2 – 7x + 12 > 0 Penyelesaian

58 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan

59 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan

60 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – ) (

61 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – x – 3 – – – – – – ) (

62 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – x – 3 – – – – – – (x – 4)(x – 3) – – – – – – – – – ) (

63 Langkah 1 Faktorkan pertidaksamaan (x – 4)(x – 3) > 0 Didapat titik-titik kritis 4 dan 3 Langkah 2 Gambarkan grafik pertidaksamaan x – 4 : – – – – – – – – – – – – – – – – x – 3 – – – – – – (x – 4)(x – 3) – – – – – – – – – ) ( Daerah yang memenuhi pertidaksamaan adalah X < 3 atau x > 4

64 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
Contoh 1.16 Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 10 x – 2  2(x + 2) Penyelesaian 10 x – 2  2(x + 2)  10 x – 2  2(x + 2)(x – 2) 10 x – 2  2x2 – 8 2x2 – 8 – 10   0 10 x – 2  2(x2 – 4)  2(x–3)(x+3) x – 2  0  2x2 – 18 x – 2  0 2(x2 – 9) x – 2  0  Titik-titik kritis –3, 2, 3

65 Grafik pertidaksamaan

66 Grafik pertidaksamaan
–3 2 3

67 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : –3 2 3

68 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –3 2 3

69 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – x + 3 – – – – – –3 2 3

70 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – x + 3 – – – – – x – 2 – – – – – – – – – – – – – –3 2 3

71 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – x + 3 – – – – – x – 2 – – – – – – – – – – – – – –3 2 3 2(x–3)(x+3) x – 2 – – – – – – (–) – – – –

72 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – x + 3 – – – – – x – 2 – – – – – – – – – – – – – [ ) –3 2 3 2(x–3)(x+3) x – 2 – – – – – – (–) – – – –

73 Grafik pertidaksamaan
x – 3 : – – – – – – – – – – – – – – – – – – – x + 3 – – – – – x – 2 – – – – – – – – – – – – – [ ) –3 2 3 2(x–3)(x+3) x – 2 – – – – – – (–) – – – – Himpunan penyelesaian {x|–3  x < 2 atau x 3}

74 1.4 KOORDINAT KARTESIUS y  x O

75 Menggambar titik koordinat (3,–4 )
x y O     A (3, –4)

76  Kuadran-kuadran x y O Kuadran II (–, +) Kuadran I (+, +) Kuadran III
(–, –) Kuadran IV (+, –)

77 1.5 PERTAMBAHAN DAN JARAK Jika sebuah partikel bergerak dari suatu titik P1(x1 , y1) ke titik P2(x2 , y2) maka dikatakan bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan sebesar x dan y. Secara umum x dan y ditentukan dengan rumus X = Xtitik akhir – Xtitik awal y = ytitik akhir – ytitik awal Sebagai contoh, suatu partikel bergerak dari titik A( 2,-3 ) ke B(-3 ,1) (lihat Gambar 1.21).

78 x y O 

79 x y O  

80 x y O  

81 x y O  

82 x y O   A (2,– 3)

83 x y O    A (2,– 3)

84 x y O    A (2,– 3)

85 x y O    A (2,– 3)

86 x y O  B (– 3, 1)   A (2,– 3)

87 x y O  B (– 3, 1)   A (2,– 3)

88 x y O  x B (– 3, 1)   A (2,– 3)

89 x y O  x B (– 3, 1)  y  A (2,– 3)

90 Maka pertambahan nya adalah:
x y O  x B (– 3, 1)  y  A (2,– 3)

91    X = Xtitik akhir – Xtitik awal = – 3 – 2 = – 5 y x B (– 3, 1)
O  x B (– 3, 1)  y  A (2,– 3) y = ytitik akhir – ytitik awal = 1 – (– 3) = 4

92 1.5.1. Jarak antara dua buah titik

93  1.5.1. Jarak antara dua buah titik y P2(x2, y2)  h y  P1 (x1, y1)
O  P2(x2, y2)  h y P1 (x1, y1)  x Jarak titik P1 P2 = h =

94 Contoh 1.17 Tentukan jarak dari pasangan koordinat berikut : a) P1( –4, 3) dan P2(2, 1) b) P1( –2, –2) dan P2 (5, 1) Penyelesaian x = 2 – (–4) = 6  x2 = 62 = 36 y = 1 – 3 = – 2  y2 = (–2)2 = 4 b) x = 5 – (–2) = 7  x2 = 72 = 49 y = 1 – (–2) = 3  y2 = (3)2 = 9

95  1.5.2. Titik tengah y P2(x2, y2) M(x, y) P1 (x1, y1) x O x1 + x2 2
Koordinat titik tengah M(x, y) = ,

96 1.6 Kemiringan garis (m) y P2(x2, y2) l y P1 (x1, y1) x x O m = y x y2 – y1 x2 – x1 =

97 1.7 Garis sejajar x y O l1 l2 Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l2 = m2 garis l1 dan garis l2 adalah dua garis yang sejajar jika m1 = m2

98 1.8 Garis tegak lurus x y O l1 l2 Kemiringan garis l1 = m1 Kemiringan garis l2 = m2 garis l1 dan garis l2 adalah dua garis yang tegak lurus jika m1 . m2 = – 1