Bab 11B Nonparametrik: Data Peringkat II. ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------

Presentasi berjudul: "Bab 11B Nonparametrik: Data Peringkat II. ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------"— Transcript presentasi:

1 Bab 11B Nonparametrik: Data Peringkat II

2 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B NONPARAMETRIK: DATA FREKUENSI II A. Pendahuluan 1. Data Statistika Data statistika yang digunakan adalah frekuensi Ada frekuensi yang dihitung menurut kategori atau sel Ada frekuensi yang dihitung secara kumulatif

3 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Sasaran Pengujian Sasaran pengujian hipotesis adalah kecocokan distribusi probabilitas Diuji apakah sampel berasal dari populasi dengan distribusi probabilitas tertentu (misalnya, distribusi probabilitas seragam, binomial, atau normal) Di sini digunakan tiga cara pengujian kecocokan distribusi probabilitas, Cara khi-kuadrat Cara Kolmogorov-Smirnov (K-S) Cara Liliefors Cara khi-kuadrat dilakukan melalui kecocokan tiap kategori atau sel Cari K-S dan Liliefors dilakukan melalui kecocokan kumulasi kategori

4 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ B. Cara Pengujian Kecocokan melalui Khi-kuadrat 1. Cara Pengujian Akan diuji apakah sampel X berasal dari distribusi probabilitas A, maka distribusi probabilitas A dijadikan H 0 H 0 : Distribusi probabilitas X adalah dis- tribusi probabilitas A H 1 : Distribusi probabilitas X bukan distri- busi probabilitas A Pada cara kecocokan kategori, sampel X dibagi ke dalam sejumlah kategori atau sel dan di setiap kategori atau sel terdapat frekuensi w Distribusi probabilitas H 0 juga dibagi ke dalam sejumlah kategori atau sel dan di setiap kategori atau sel terdapat frekuensi  Selisih w dan  menjadi dasar untuk pengujian hipotesis

5 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Kategori atau sel Frekuensi Sampel w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 Dist prob tertentu (H 0 )  1  2  3  4  5 Setiap sel menghasilkan selisih w   Jika selisih kecil, maka H 0 diterima; jika selisih besar, maka H 0 ditolak Keputusan dilakukan melalui distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas multinomial Distribusi probabilitas pensampelan multinomial dapat didekatkan ke distribusi probabilitas khi- kuadrat

6 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 3. Distribusi Probabilitas Pensampelan Distribusi probabilitas pensampelan adalah distribusi probabilitas multinomial Didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat, untuk > 1 untuk = 1 dengan ketentuan   5 = k  m  1 k = banyaknya sel, m = banyaknya parameter penentu pada distribusi probabilitas

7 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 4. Pencocokan Distribusi Probabilias Seragam Pada distribusi probabilitas seragam, probabilitas adalah sama untuk k sel sehingga p = 1 / k Pada lempar koin dengan muka dan belakang, k =2 sehingga p = 1 / 2 Pada lempar dadu dengan 6 mata, k = 6 sehingga p = 1 / 6 Untuk n data atau n lemparan, pada probabilitas seragam, frekuensi setiap sel adalah  = np = n / k Pada distribusi seragam, tidak ada parameter penentu sehingga m = 0 dan = k  m  1 = k  1

8 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 5. Uji Hipotesis Contoh 1 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah dadu masih seimbang, apabila sampel acak menunjukkan mata 1 2 3 4 5 6 frekuensi 16 24 23 15 17 25 Hipotesis H 0 : Dadu seimbang H 1 : Dadu tidak seimbang Sampel n = 120 w 1 = 16 w 2 = 24 w 3 = 23 w 4 = 15 w 5 = 17 w 6 = 25  1 = 20  2 = 20  3 = 20  4 = 20  5 = 20  6 = 20

9 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = k  1 = 6  1 = 5 Statistik uji mata w  (w   ) 2 /  1 16 20 0,80 2 24 20 0,80 3 23 20 0,45 4 15 20 1,25 5 17 20 0,45 6 25 20 1,25  2 = 5,00 = 5

10 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian pada ujung atas Nilai kritis  2 (0,95)(5) = 11,1 Tolak H 0 jika  2 > 11,1 Terima H 0 jika  2  11,1 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0 Contoh 2 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah dadu seimbang unutk sampel acak mata 1 2 3 4 5 6 frek 3407 3631 3176 2916 3448 3422

11 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 3 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah X berdistribusi probabilitas seragam untuk sampel X X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 Frek 13 6 0 3 11 3 Contoh 4 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah kelahiran bayi dari Januari sampai Desember berdistribusi probabilitas seragam untuk sampel acak Bulan J F M A M J Kelahiran 80 70 86 82 83 78 Bulan J A S O N D Kelahiran 79 76 78 76 72 76

12 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 5 Setiap siswa memilih sebarang 3 angka dari 11 sampai 30. Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah semua angka sama terpilihnya. Sampel pilihan 70 siswa adalah Angka 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Frek 11 10 20 8 13 9 21 9 16 8 Angka 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Frek 12 8 15 10 10 9 12 8 13 9 Contoh 6 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah X berdistribusi probabilitas seragam. Sampel acak X X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 Frek 60 73 80 65 81 69 62

13 ----------------------------------------------------------------------------- Bab 11B ----------------------------------------------------------------------------- Contoh 7 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah koin masih seimbang. Sampel 80 lemparan koin menampilkan M = muka dan B = belakang Sisi M B Frek 56 24 Hipotesis H 0 : Koin seimbang H 1 : Koin tidak seimbang Sampel w M = 56 w B = 24  m = 40  b = 40

14 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = k – 1 = 2 – 1 = 1 Statistik uji Karena = 1, maka perlu koreksi Yates Sisi w i  I (|w i –  i | –0,5) 2 /  I M 56 40 6,00625 B 24 40 6,00625  2 = 12,0125 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis  2 (0,95)(1) = 6,0135 Tolak H 0 jika  2 > 6,0135 Terima H 0 jika  2 ≤ 6,0135 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

15 ---------------------------------------------------------------------------- Bab 11B ---------------------------------------------------------------------------- Contoh 8 Distribusi kelamin lelaki dan perempuan diduga adalah seragam. Dugaan ini duji pada taraf signifikansi 0,05. Sampel acak menunjukkan Kelamin lelaki perempuan Frekuensi 61 39 Contoh 9 Pada suatu pemilihan umum, suatu suami dan istri diduga seragam. Sampel acak menunjukkan Suara suami istri Frekuensi 1350 650

16 ----------------------------------------------------------------------------- Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 6. Pencocokan Distribusi Probabilitas Binomial Distribusi probabilitas binomial memiliki fungsi densitas sehingga  = n b(X; n, p) Ada satu parameter penentu yakni p sehingga pada derajat kebebasan m = 1 = k – m – 1 = k – 2 Untuk menentukan p, kita menghitung rerata sel dan dibagi dengan banyaknya obyek Untuk n sel dan u obyek X =  w i X i / n p = X / u

17 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Sampel dan distribusi probabilitas binomial Pada sampel terdapat frekuensi w, pada DP binomial terdapat probabilitas b; mereka perlu disamakan melalui  = n b(X; n, p) Statistik uji khi-kuadrat b(X; n, p) XX Frek Sampel DP binomial w  = nb

18 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 7. Uji Hipotesis Contoh 10 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah banyaknya muka pada lemparan 5 koin berdistribusi probabilitas binomial. Sampel acak 1000 lemparan menunjukkan banyaknya muka X i X i 0 1 2 3 4 5 Frek w i 36 142 345 289 159 29 Hipotesis H 0 : Banyaknya muka berdistribusi proba- bilitas binomial H 1 : Banyaknya muka tidak berdistribusi probabilitas binomial Sampel Banyaknya koin u = 5 Banyaknyq sel k = 6 Banyaknya lemparan n = 1000

19 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Penentuan probabilitas p X i w i w i X i 0 36 0 1 142 142 X =  w i X i / n 2 345 690 = 2480 / 1000 = 2,48 3 289 867 4 159 636 p = X / u 5 29 145 = 2,48 / 5 = 0,496 1000 2480 Distribusi probabilitas binomial menjadi b(X; n, p) = b(X: 5, 0,496) X i b(X; 5, 0,496  = n b(X; 5, 0,496 0 0,032520160 32,520160 1 0,160019838 160,019838 2 0,314959681 314,959681 3 0,309960320 309,960320 4 0,152520158 152,520158 5 0,030019840 30,019840

20 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B --------------------------------------------------------------------------- Distribusi probabilitas pensampelan Distribusi probabilitas khi-kuadrat Derajat kebebasan = k – 2 = 6 – 2 = 4 Statistik uji X i w i  I (w i –  i ) 2 /  I 0 36 32,520160 0,372362449 1 142 160,019838 2,029214412 2 345 314,959681 2,865194563 3 289 309,960320 1,417391150 4 159 152,520158 0,275297068 5 29 30,0198400 0,034646208  2 = 6,994105851 = 4

21 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Nilai kritis  2 (0,95)(4) = 9,49 Tolak H 0 jika  2 > 9,49 Terima H 0 jika  2 ≤ 9,49 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0 Contoh 11 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah sampel X berikut berasal dari populasi berdistribusi probabilitas binomial X 0 1 2 3 4 5 Frek 157 69 35 17 1 1

22 ----------------------------------------------------------------------------- Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 12 Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah X berdistribusi probabilitas binomial. Sampel acak menunjukkan X Frekuensi 0 215 1 1485 2 5331 3 10649 4 14959 5 11929 6 6678 7 2092 8 342

23 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 8. Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal Pencocokan dilakukan untuk memastikan apakah sampel berasal dari populasi berdistribusi probabilitas normal Pengujian dilakukan dengan membandingkan sampel dengan distribusi probabilitas normal Perbedaan di tiap pasangan sel (sampel dan H 0 ) digunakan untuk pengujian kecocokan X z n(z;0,1)frekuensi sampelDistr prob normal

24 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Pada pembandingan ini, distribusi probabilitas normal dijadikan hipotesis H 0 Jjika perbedaan tidak besar maka H 0 diterima, tetapi jika perbedaan besar maka H 0 ditolak Ada beberapa hal yang perlu disesuaikan sebelum dapat dibandingkan Sampel menggunakan data mentah X, tetapi H 0 menggunakan data nilai baku z; mereka perlu disamakan (biasanya data X ke z) Sampel menggunakan frekuensi w, tetapi H 0 menggunakan probabilitas n(z; 0,1); mereka perlu disamakan (biasanya probabilitas ke frekuensi) Sampel dan H 0 terbagi ke dalam sel (dapat ditentukan dengan kaidah Sturges) sehingga perlu ditentukan batas bawah, batas atas, dan nilai sel

25 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Penentuan batas dan nilai sel sel batas batas nilai bawah atas sel 140  144 139,5 144,5 142 145 – 149 144,5 149,5 147 150 – 154 149,5 154,5 152 Nilai sel adalah median pada sel Batas bawah dan atas terletak di tengah antara sel Pada distribusi probabilitas normal di H 0 batas bawah menjadi z bawah batas atas menjadi z atas 140144145 144,5149,5 142

26 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Penentuan frekuensi di distribusi probabilitas normal H 0 Pada tabel fungsi distribusi dari distribusi probabilitas normal, ditemukan Dari z atas ditemukan  atas Dari z bawah ditemukan  bawah Luas sel  =  atas   bawah Frekuensi = n  z bawsah z atas  bawah  atas 

27 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Pengujian hipotesis Selisih frekuensi di antara sel sampel dan sel pada distribusi probabilitas normal (H 0 ) didekatkan ke distribusi probabilitas khi- kuadrat Distribusi probabilitas normal baku memerlukan 2 parameter penentu yakni  dan  sehingga pada derajat kebebasan m = 2 = k – m – 1 = k – 2 – 1 = k – 3

28 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 9. Uji Hipotesis Contoh 13 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan (setelah dikelompokkan menurut kaidah Sturges) Kelompok Frekuensi (sel) w 140 – 144 7 145 – 149 10 150 – 154 16 155 – 159 23 160 – 164 21 165 – 169 17 170 – 174 6 100

29 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Hipotesis H 0 : Populasi berdistribusi probabilitas normal H 1 : Populasi tidak berdistribusi probabilias normal Sampel Kelompok Nilai Batas Batas Frek (sel) sel bawah atas w 140 – 144 142 139,5 144,5 7 145 – 149 147 144,5 149,5 10 150 – 154 152 149,5 154,5 16 155 – 159 157 154,5 159,5 23 160 – 164 162 159,5 164,5 21 165 – 169 167 164,5 169,5 17 170 – 174 172 169,5 174,5 6 Rerata X = 157,8 Simpangan baku s X = 9,09 ukuran sampel n = 100

30 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Nilai baku batas sel pada sampel Dengan rerata dan simpangan baku, ditemukan Kelompok Batas Batas z bawah z atas (sel) bawah atas 140 – 144 139,5 144,5  2,26  1,64 145 – 149 144,5 149,5  1,64  1,03 150 – 154 149,5 154,5  1,03  0,41 155 – 159 154,5 159,5  0,41 0,21 160 – 164 159,5 164,5 0,21 0,83 165 – 169 164,5 169,5 0,83 1,45 170 – 174 169,5 174,5 1,45 2,06 Selanjutnya perlu ditentukan frekuensi sel pada distribusi probabilitas normal (H 0 )

31 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Dengan bantuan tabel fungsi distribusi bawah pada distribusi probabilitas normal Kelompok  bawah  atas  frekuensi (sel) n  140 – 144 0,0119 0,0505 0,0386 3,86 145 – 149 0,0505 0,1515 0,1010 10,10 150 – 154 0,1515 0,3409 0,1894 18,94 155 – 159 0,3409 0,5832 0,2423 24,23 160 – 164 0,5832 0,7967 0,2135 21,35 165 – 169 0,7967 0,9265 0,1298 12,98 170 – 174 0,9265 0,9803 0,0538 5,38 Distribusi probabilitas pensampelan Selisih frekuensi w – n  didekatkan ke distribusi probabilitas khi-kuadrat melalui

32 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Statistik uji Kelompok w n  (w – n  ) 2 / n  140 – 144 7 3,86 2,5543 145 – 149 10 10,10 0,0010 150 – 154 16 18,94 0,4564 155 – 159 23 24,23 0,0624 160 – 164 21 21,35 0,0057 165 – 169 17 12,98 1,2450 170 – 174 6 5,38 0,0714  2 = 4,3963 derajat kebebasan = 7 – 3 = 4 Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pengujian di ujung atas Nilai kritis  2 (0,95)(4) = 9,488 Tolak H 0 jika  2 > 9,488 Terima H 0 jika  2  9,488 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0

33 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 14 Pada taraf signifikansi 0,05, uji normalitas populasi hasil ujian siswa. Sampel acak menunjukkan 87 76 80 87 77 86 77 86 77 92 80 78 84 77 81 77 75 81 75 92 80 80 84 72 80 92 72 77 78 76 68 78 92 68 80 81 Catatan: kelompokkan menggunakan kaidah Sturges k = 1 + 3,322 log n Contoh 15 Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kelompok frek kelompok frek 37 – 39 3 19 – 21 23 34 – 36 15 16 – 18 34 31 – 33 7 13 – 15 16 28 – 30 17 10 – 12 25 25 – 27 6 7  9 5 22 – 24 36 4 – 6 13

34 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 15 Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kelompok frek kelompok frek 84 – 90 3 35 – 41 17 77 – 83 5 28 – 34 14 70 – 76 6 21 – 27 13 63 – 69 20 14 – 20 12 56 – 62 20 7 – 13 13 49 – 55 18 0 – 6 30 42 – 48 29

35 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ----------------------------------------------------------------------------- Contoh 15 Pada taraf signifikansi 0,05 uji apakah populasi berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak kelompok frek kelompok frek 0,61 – 1,20 1 4,81 – 5,40 284 1,21 – 1,80 3 5,41 – 6,00 83 1,81 – 2,40 4 6,01 – 6,60 13 2,41 – 3,00 65 6,61 – 7,20 1 3,01 – 3,60 180 7,21 – 7,80 1 3,61 – 4,20 328 7,81 – 8,40 0 4,21 – 4,80 408 8,41 – 9,00 1

36 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ C. Cara Pengujian Kecocokan melalui Uji Kolmogorov- Smirnov (K-S) 1. Cara Pengujian Akan diuji apakah sampel X berasal dari distribusi probabilitas tertentu, maka distribusi probabilitas seragam dijadikan H 0 H 0 : Distribusi probabilitas X adalah dis- tribusi probabilitas tertentu H 1 : Distribusi probabilitas X bukan distri- busi probabilitas tertentu Pada cara kecocokan kumulatif ini sampel X dikumulasikan Distribusi probabilitas H 0 juga dikumulasikan Kumulasi sampel dan kumulasi distribusi probabilitas H 0 dibandingkan Selisih di setiap bagian di dalam perbadingan ini adalah selisih kumulasi Selisih terbesar di antara mereka dijadikan patokan pada pengujian hipotesis

37 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Perbandingan kumulasi a2a2 a1a1 a2a2 a1a1 a 1 selisih bawah a 2 selisih atas

38 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 3. Penyesuaian dan pembandingan Sampel dalam bentuk data mentah sedangkan H 0 berbentuk nilai baku; mereka perlu di samakan Sampel dalam bentuk frekuensi sedangkan H 0 dalam bentuk probabilittas; mereka perlu disamakan Setelah dikumulasikan barulah dibandingkan Pada setiap titik pada pembandingan terdapat selisih bawah a 1 dan selisih atas a 2 Apabila selisih terbesar tidaklah terlalu besar maka H 0 dapat diterima Apabila selisih terbesar terlalu besar maka H 0 ditolak Terdapat tabel nilai kritis khusus untuk pengujian hipotesis

39 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov n  = 0,20  = 0,10  = 0,05  = 0,02  = 0,01 1 0,900 0,950 0,975 0,990 0,995 2 0,684 0,776 0,842 0,900 0,929 3 0,565 0,636 0,708 0,785 0,829 4 0,493 0,565 0,624 0,689 0,734 5 0,447 0,509 0,563 0,627 0,669 6 0,410 0,468 0,519 0,577 0,617 7 0,381 0,436 0,483 0,538 0,576 8 0,359 0,410 0,454 0,507 0,542 9 0,339 0,387 0,430 0,480 0,513 10 0,323 0,369 0,409 0,457 0,486 11 0,308 0,352 0,391 0,437 0,468 12 0,296 0,338 0,375 0,419 0,449 13 0,285 0,325 0,361 0,404 0,432 14 0,275 0,314 0,349 0,390 0,418 15 0,266 0,304 0,338 0,377 0,404 16 0,258 0,295 0,327 0,366 0,392 17 0,250 0,286 0,318 0,355 0,381 18 0,244 0,279 0,309 0,346 0,371 19 0,237 0,271 0,301 0,337 0,361 20 0,232 0,265 0,294 0,329 0,352 21 0,226 0,259 0,287 0,321 0,344 22 0,221 0,253 0,281 0,314 0,337 23 0,216 0,247 0,275 0,307 0,330 24 0,212 0,242 0,269 0,301 0,323 25 0,208 0,238 0,264 0,295 0,317

40 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov n  = 0,20  = 0,10  = 0,05  = 0,02  = 0,01 26 0,204 0,233 0,259 0,290 0,311 27 0,200 0,229 0,254 0,284 0,305 28 0,197 0,225 0,250 0,279 0,300 29 0,193 0,221 0,246 0,275 0,295 30 0,190 0,218 0,242 0,270 0,290 35 0,177 0,202 0,224 0,251 0,269 40 0,165 0,189 0,210 0,235 0,252 45 0,156 0,179 0,198 0,222 0,238 50 0,148 0,170 0,188 0,211 0,226 55 0,142 0,162 0,180 0,201 0,216 60 0,136 0,155 0,172 0,193 0,207 65 0,131 0,149 0,166 0,185 0,199 70 0,126 0,144 0,160 0,179 0,192 75 0,122 0,139 0,154 0,173 0,185 80 0,118 0,135 0,150 0,167 0,179 85 0,114 0,131 0,145 0,162 0,174 90 0,111 0,127 0,141 0,158 0,169 95 0,108 0,124 0,137 0,154 0,165 100 0,106 0,121 0,134 0,150 0,161 Pendekatan 1,07/√n 1,22/√n 1,36/√n 1,52/√n 1,63/√n

41 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ----------------------------------------------------------------------------- 4. Uji Hipotesis untuk Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal Contoh 16 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menghasilkan X 5 12 15 18 20 21 23 27 32 37 Frek 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Hipotesis H 0 : Populasi berdistribusi probabilias normal H 1 : Populasi tidak berdistribusi probabilitas normal Sampel X 5 12 15 18 20 21 23 27 32 37 Frek 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

42 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ----------------------------------------------------------------------------- Kumulasi pada sampel X Frek p Σp 5 1 0,1 0,1 12 1 0,1 0,2 n = 10 15 1 0,1 0,3 18 1 0,1 0,4 X = 21 20 1 0,1 0,5 21 1 0,1 0,6 s X = 9,428 23 1 0,1 0,7 27 1 0,1 0,8 32 1 0,1 0,9 37 1 0,1 1,0 10

43 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kumulasi pada distribusi probabilitas normal Perhitungan nilai baku serta pencarian di tabel fungsi distribusi X z X  5  1,70 0,0446 12  0,95 0,1711 15  0,64 0,2611 18  0,32 0,3745 20  0,11 0,4562 21 0,00 0,5000 23 0,21 0,5832 27 0,64 0,7389 32 1,17 0,8790 37 1,70 0,9554

44 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Statistik uji X Σp  a 1 a 2 0 5 0,1 0,0446 0,0446 0,0544 12 0,2 0,1771 0,0711 0,0289 15 0,3 0,2611 0,0611 0,0389 18 0,4 0,3745 0,0745 0,0255 20 0,5 0,4562 0,0562 0,0438 21 0,6 0,5000 0,0000 0,1000 23 0,7 0,5832 0,0168 0,1168 27 0,8 0,7389 0,0389 0,0611 32 0,9 0,8790 0,0790 0,0210 37 1,0 0,9554 0,0544 0,0446 a maks = 0,1168

45 ----------------------------------------------------------------------------- Bab 11B ----------------------------------------------------------------------------- Selisih pada tiap titik Kriteria pengujian n = 10  = 0,05 a tabel = 0,409 Tolak H 0 jika a maks > 0,409 Terima H 0 jika a maks  0,409 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 terima H 0 0 0,0446 0,0446-0=0,0446 0,1 0,1711 0,1711-0,1=0,07110,1- 0,0446=0,0544 0,2- 0,1711=0,0289 0,2 0,2611 0,2611-0,2=0,0611

46 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 17 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan 21 21 22 23 24 25 26 26 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 31 Hipotesis H 0 : Populasi X berdistribusi probabilitas normal H 1 : Populasi X tidak berdistribusi probabilitas normal Sampel n = 20 X = 24,45 s X = 2,020

47 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kumulasi pada sampel X Frek p Σp 21 2 0,10 0,10 22 1 0,05 0,15 23 1 0,05 0,20 24 1 0,05 0,25 25 1 0,05 0,30 26 2 0,10 0,40 27 3 0,15 0,55 28 4 0,20 0,75 29 3 0,15 0,90 30 1 0,05 0,95 31 1 0,05 1,00

48 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kumulasi pada distribusi probabilitas normal Melalui nilai baku dan tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal X z  21  1,18 0,1190 22  0,84 0,2005 23  0,50 0,3085 24  0,15 0,4404 25 0,19 0,5753 26 0,53 0,7019 27 0,87 0,8078 28 1,21 0,8869 29 1,55 0,9394 30 1,89 0,9706 31 2,24 0,9875

49 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ----------------------------------------------------------------------------- Statistik uji X Σp  a 1 a 2 0 21 0,10 0,1190 0,1190 0,0190 22 0,15 0,2005 0,1005 0,0505 23 0,20 0,3085 0,1585 0,1085 24 0,25 0,4404 0,2404 0,1904 25 0,30 0,5753 0,3253 0,2725 26 0,40 0,7019 0,4019 0,3019 27 0,55 0,8078 0,4078 0,2578 28 0,75 0,8869 0,3369 0,1369 29 0,90 0,9394 0,1840 0,0394 30 0,95 0,9706 0,0706 0,0206 31 1,00 0,9875 0,0375 0,0125 a maks = 0,4078

50 ----------------------------------------------------------------------------- Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Dari tabel nilai kritis K-S, ditemukan n = 20  = 0,05 a (0,05)(20) = 0,294 Tolak H 0 jika a maks > 0,294 Terima H 0 jika a maks  0,294 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05, tolak H 0

51 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 18 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah 17 39 26 20 17 49 22 36 17 17 39 26 15 20 18 22 46 17 28 17 36 19 18 46 16 19 28 15 20 48 16 18 36 29 15 16 28 36 15 18 Contoh 19 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah 87 76 80 87 77 86 77 86 77 92 80 78 84 77 81 77 75 81 75 92 80 80 84 72 80 92 72 77 78 76 68 78 92 68 80 81

52 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 20 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X (tinggi badan siswi SMA) berdistribusi probabilitan normal. Sampel acak adalah 161 152 157 151 158 163 159 167 152 155 143 145 148 160 153 156 146 154 157 164 153 156 161 149 161 149 152 147 151 156 158 148 154 153 146 165 160 162 149 153 166 147 149 150 155 148 151 159 155 161 146 151 159 162 160 154 149 165 148 160 163 149 160 152 150 161 156 150 155 152 156 157 164 149 158 145 153 156 161 156 154 147 159 154 165 155 148 151 150 162 152 162 156 158 155 157 163 159 152 168

53 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ D. Cara Pengujian Kecocokan melalui Uji Liliefors 1. Cara Pengujian Seperti pada uji K-S, kumulasi proporsi dibandingkan dengan fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal ditemukan melalui tabel sehingga data perlu ditranformasi ke nilai baku Selisih maksimum dalam bentuk harga mutlak T = Sup |   Σp| menjadi statistik uji (sup = supremum) Terdapat tabel khusus untuk pengujian hipotesis Tolak H 0 jika T > T tabel Terima H 0 jika T  T tabel

54 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Tabel Nilai Kritis Uji Liliefors n  = 0,80  = 0,85  = 0,90  = 0,95  = 0,99 4 0,300 0,319 0,352 0,381 0,417 5 0,285 0,299 0,315 0,337 0,405 6 0,265 0,277 0,294 0,319 0,364 7 0,247 0,258 0,276 0,300 0,348 8 0,233 0,244 0,261 0,285 0,331 9 0,223 0,233 0,249 0,271 0,311 10 0,215 0,224 0,239 0,258 0,294 11 0,206 0,217 0,230 0,249 0,284 12 0,199 0,212 0,223 0,242 0,275 13 0,190 0,202 0,214 0,234 0,268 14 0,183 0,194 0,207 0,227 0,261 15 0,177 0,187 0,201 0,220 0,257 16 0,173 0,182 0,195 0,213 0,250 17 0,169 0,177 0,189 0,206 0,245 18 0,166 0,173 0,184 0,200 0,239 19 0,163 0,169 0,179 0,195 0,235 20 0,160 0,166 0,174 0,190 0,231 25 0,142 0,147 0,158 0,173 0,200 30 0,131 0,136 0,144 0,161 0,187 > 30 0,736/√n 0,768/√n 0,805/√n 0,886/√n 1,031/√n

55 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ 2. Uji Hipotesis Pencocokan Distribusi Probabilitas Normal Contoh 21 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak menunjukkan 21 21 22 23 24 25 26 26 27 27 27 28 28 28 28 29 29 29 30 31 Hipotesis H 0 : Populasi X berdistribusi probabilitas normal H 1 : Populasi X tidak berdistribusi probabilitas normal Sampel n = 20 X = 24,45 s X = 2,020

56 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kumulasi pada sampel X Frek p Σp 21 2 0,10 0,10 22 1 0,05 0,15 23 1 0,05 0,20 24 1 0,05 0,25 25 1 0,05 0,30 26 2 0,10 0,40 27 3 0,15 0,55 28 4 0,20 0,75 29 3 0,15 0,90 30 1 0,05 0,95 31 1 0,05 1,00

57 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kumulasi pada distribusi probabilitas normal Melalui nilai baku dan tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas normal X z  21  1,18 0,1190 22  0,84 0,2005 23  0,50 0,3085 24  0,15 0,4404 25 0,19 0,5753 26 0,53 0,7019 27 0,87 0,8078 28 1,21 0,8869 29 1,55 0,9394 30 1,89 0,9706 31 2,24 0,9875

58 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Statistik uji X Σp  T 21 0,10 0,1190 0,0190 22 0,15 0,2005 0,0505 23 0,20 0,3085 0,1085 24 0,25 0,4404 0,1904 25 0,30 0,5753 0,2735 26 0,40 0,7019 0,3019 27 0,55 0,8078 0,2578 28 0,75 0,8869 0,1369 29 0,90 0,9394 0,0394 30 0,95 0,9706 0,0206 31 1,00 0,9875 0,0125 T = 0,3019

59 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Kriteria pengujian Taraf signifikansi 0,05 Pada tabel nilai kritis uji Liliefors T (  )(n) = 0,190 Tolak H 0 jika T > 0,190 Terima H 0 jika T  0,190 Keputusan Pada taraf signifikansi 0,05 tolak H 0

60 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 22 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak adalah 16,7 17,4 18,1 18,2 18,8 19,3 22,4 22,5 24,0 24,7 25,9 27,0 35,1 35,8 36,5 37,6 39,8 42,1 43,2 46,2 Contoh 23 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak adalah 23 23 24 27 29 31 32 33 33 35 36 37 40 42 43 43 44 45 48 48 54 54 56 57 57 58 58 58 58 59 61 61 62 63 64 65 66 68 68 70 73 73 74 75 77 81 87 89 93 97

61 ------------------------------------------------------------------------------ Bab 11B ------------------------------------------------------------------------------ Contoh 24 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak pada contoh 18 Contoh 22 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak pada contoh 19 Contoh 22 Pada taraf signifikansi 0,05, uji apakah populasi X berdistribusi probabilitas normal. Sampel acak pada contoh 20