Ruang Vektor: Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol Edi Cahyono

Presentasi berjudul: "Ruang Vektor: Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol Edi Cahyono"— Transcript presentasi:

1 Ruang Vektor: Ruang baris, ruang kolom dan ruang nol Edi Cahyono
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia

2 Department of Mathematics
Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Tujuan Pembelajaran Setelah lulus mata kuliah ini mahasiswa diharapkan dapat memahami ruang vektor sebagai sistem matematika, aplikasinya serta pembelajarannya untuk sekolah menengah

3 Gambaran Umum Sistem Matematika Ruang Vektor: Definisi Aksioma
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Gambaran Umum Sistem Matematika Ruang Vektor: Definisi Aksioma Proposisi, Lemma, Teorema Metode/prosedure Sifat-sifat dan Aplikasi Matriks A Diberikan matriks A Hendak dipelajari sifat dan aplikasinya Tidak bisa secara langsung Sistem matematika ruang vektor menyajikan alat (Proposisi, Lemma, Teorema, Metode/prosedure)

4 Definisi Universitas Haluoleo Department of Mathematics
Kendari ..::.. Indonesia Definisi

5 Definisi Universitas Haluoleo Department of Mathematics
Kendari ..::.. Indonesia Definisi

6 Definisi Misalkan A matriks m x n.
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Definisi Misalkan A matriks m x n. Subruang dari Rn yang dibangun oleh vektor baris A disebut ruang baris. Subruang dari Rm yang dibangun oleh vektor kolom A disebut ruang kolom. Solusi dari Ax = 0, yang merupakan subruang dari Rn disebut ruang nol.

7 Contoh Universitas Haluoleo Department of Mathematics
Kendari ..::.. Indonesia Contoh

8 Contoh Universitas Haluoleo Department of Mathematics
Kendari ..::.. Indonesia Contoh

9 Contoh Universitas Haluoleo Department of Mathematics
Kendari ..::.. Indonesia Contoh

10 Teorema Teorema Teorema
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang nol suatu matriks. Teorema Operasi baris elementer tidak mengubah ruang baris suatu matriks. Teorema Untuk sebarang matriks A, ruang baris dan ruang kolomnya mempunyai dimensi yang sama.

11 Definisi Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Definisi Dimensi ruang baris (yang juga sama dengan dimensi ruang kolom) matriks A disebut rank matriks A, ditulis rank(A). Dimensi ruang nol matriks A disebut nolitas matriks A, dituliskan nullity(A)

12 Teorema Teorema Teorema
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Misalkan A sebarang matriks, maka rank(A) = rank(AT). Teorema Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) + nullity(A) = n. Teorema Misalkan A matriks m x n, maka 1) rank(A) = banyaknya variabel solusi Ax = 0. 2) nullity(A) = banyaknya parameter solusi Ax = 0.

13 Rangkuman Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) = r ≤ min{m, n}.
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Rangkuman Misalkan A matriks m x n, maka rank(A) = r ≤ min{m, n}. nullity(A) = n – r. nullity(AT) = m – r.

14 Teorema Teorema Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = b konsisten (mempunyai solusi). b) b unsur di ruang kolom A. c) rank(A) = rank( [A|b] ). Teorema Misalkan A matriks m x n, dan Ax = b merupakan sistem persamaan, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b yang berukuran m x 1. b) Vektor kolom A membangun Rm. c) rank(A) = m.

15 Teorema Teorema Misalkan A matriks m x n, Ax = b sistem persamaan yang
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Teorema Misalkan A matriks m x n, Ax = b sistem persamaan yang konsisten, dan rank(A) = r. Maka solusi umum sistem tersebut memuat n – r parameter. Teorema Misalkan A matriks m x n, maka yang berikut adalah ekivalen a) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. b) Vektor kolom A bebas linear. c) Ax = b mempunyai paling banyak satu solusi (satu atau tidak ada) untuk setiap matriks b berukuran m x 1.

16 Teorema Misalkan A matriks n x n, maka yang berikut adalah ekivalen
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Misalkan A matriks n x n, maka yang berikut adalah ekivalen a) A mempunyai invers. b) Ax = 0 hanya memiliki solusi trivial. c) Bentuk tereduksi baris matriks A adalah In. d) Ax = b konsisten untuk setiap matriks b berukuran n x 1. e) Ax = b memiliki tepat satu solusi untuk setiap matriks b berukuran n x 1. f) Vektor kolom matriks A bebas linear. g) Vektor baris matriks A bebas linear. h) Vektor kolom matriks A membangun Rn. i) Vektor baris matriks A membangun Rn. k) Vektor kolom matriks A merupakan basis Rn. l) Vektor baris matriks A merupakan basis Rn. m) rank(A) = n. n) nullity(A) = 0.

17 Creating Math for better living
Department of Mathematics Universitas Haluoleo Kendari ..::.. Indonesia Creating Math for better living Thank you