Dasar probabilitas.

Presentasi berjudul: "Dasar probabilitas."— Transcript presentasi:

1 Dasar probabilitas

2 Sample space, sample points, events
Sample space,, adalah sekumpulan semua sample points,, yang mungkin; dimana  Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: ={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time): ={xx>0} Events A,B,C,…   adalah himpunan bagian (yang dapat diukur) dari sample space Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={xx>3}  adalah kumpulan semua events Event yang pasti : sample space  merupakan elemen dari  Event yang tidak mungkin : himpunan kosong  yang juga merupakan anggota 

3 Kombinasi event Union (gabungan) :“A atau B” : AB={A atau B}
Irisan: “A dan B” : AB={A dan B} Komplemen : “bukan A”:Ac={A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila : AB= Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi dari event A jika (i) Bi  Bj= untuk semua ij (ii) iBi =A

4 Probabilitas (peluang)
Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)[0,1] Sifat-sifat peluang

5 Conditional Probability (Peluang bersyarat)
Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut Dengan demikian

6 Teorema Probabilitas Total
Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space  Lalu {ABi} merupakan partisi dari event A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4 Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

7 Teorema Bayes Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space 
Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila diketahui event A terjadi)

8 Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event)
Definisi : Event A dan B saling bebas (independent) jika Dengan demikian Demikian pula

9 Peubah acak (random variables)
Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space ;X:    Setiap titik sample (sample points) wW dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X(w) Dapat diukur memiliki arti bahwa semua himpunan yang berbentuk berasal dari kumpulan event , yaitu Peluang event yang seperti itu dinyatakan oleh P{X  x}

10 Contoh Sebuah koin dilempar (menghasilkan head (H) atau tail (T)
Sample space: Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :

11 Indikator dari suatu event
Misalkan A   merupakan suatu event Definisi : indikator dari suatu event A adalah peubah acak yang didefinisikan sbb: Maka

12 Probability Distribution Function (PDF)
Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX:   [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut PDF menentukan distribusi dari peubah acak Peluang P{XB}, dimana B  dan {XB}  Sifat

13 Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables)
Definisi : Peubah acak X dan Y saling bebas jika untuk semua x dan y Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

14 Maximum dan minimum dari peubah acak yang saling bebas
Misalkan peubah acak X1,…,Xn saling bebas Bila Xmax:=max{X1,…,Xn}, maka Bila Xmin:=min{X1,…,Xn}, maka

15 Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A disebut diskrit bila
Terbatas : A={x1,…,xn}, atau Tak terbatas : A={x1,x2,…} Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga Maka P{X=x}  0 untuk semua x  Sx P{X=x}  0 untuk semua x  Sx Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)

16 Peluang titik (point probabilities)
Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX:   [0,1] yang didefinisikan sbb Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

17 Contoh

18 Kesalingbebasan peubah acak
Peubah acak diskrit X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xiSX dan yjSy

19 Ekspektasi (harapan,rataan)
Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh Catatan 1: ekspektasi akan ada hanya jika Catatan 2 : Jika , maka Sifat-sifat

20 Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

21 Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y didefinisikan sbb
Rumus yang bermanfaat Sifat-sifat

22 Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi
Deviasi standard dari X Koefisien perubahan (coefficient of variation) dari X Momen ke-k dari X

23 Rata-rata dari peubah acak IID
Misalkan X1,…,Xn saling bebas dan teridistribusi secara identik (independent and identically distributed [IID]) dengan m dan variance s2 Rata-rata-nya(average/sample mean) Maka

24 Law of large numbers (LLN)

25 Distribusi Bernoulli Menyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin Sukses (1) Gagal (0) Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 untuk peluang 1-p)

26 Distribusi binomial Menyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli); n = jumlah total eksperimen p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

27 Distribusi geometrik Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli) p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

28 Sifat memoryless Distribusi geometrik mempunyai sifat memoryless yaitu untuk semua i,j {0,1…}

29 Minimum dari peubah acak geometrik

30 Distribusi Poisson Limit dari distribusi binomial dimana n  dan p  0, sedemikian hingga np  a

31 Contoh Asumsikan Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)
200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01) Pendekatan Poisson X  Poisson(2,0) Peluang titik

32 Sifat-sifat distribusi Poisson
Penjumlahan (sum) : Bila X1~Poisson(a1) dan X2~Poisson(a2) saling bebas, maka X1+ X2 ~Poisson(a1+ a2) Random sample : Misalkan X~Poisson(a) menyatakan jumlah elemen dalam suatu himpunan, dan Y menyatakan ukuran random sample dari himpunan tersebut (setiap elemen diambil secara saling bebas dengan peluang p), maka Y~Poisson (pa) Random sorting: Misalkan X dan Y seperti pada (ii), dan Z=X-Y, maka Y dan Z adalah saling bebas (bila X tidak diketahui) dan Z~Poisson ((1-p)a)

33 Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang dapat diintegralkan fX:+, sedemikian hingga untuk semua x Fungsi fX disebut probability density function (pdf) Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set Sifat-sifat

34 Contoh

35 Ekspektasi dan parameter lain
Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb Note 1: Ekspektasi ada hanya jika Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

36 Distribusi Uniform (X~U(a,b), a<b)

37 Distribusi Eksponensial (X~Exp(l), l>0)
Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal  ldt)

38 Sifat memoryless Distribusi eksponensial mempunyai sifat memoryless untuk semua x,y(0,) P{X>x+yX>x}=P{X>y} Aplikasi Asumsikan bahwa call holding time terdistribusi secara eksponensial dengan mean (rata-rata) h Misalnya suatu panggilan telah berakhir selama x menit. Dengan sifat memoryless, hal ini memberi informasi tentang lamanya waktu holding time yang masih tersisa : juga terdistribusi seperti holding time yang asli Ekspektasi dari holding time sisa adalah selalu h

39 Minimum dari peubah acak eksponensial

40 Distribusi normal (Gaussian) ternormalisasi (X ~ N(0,1))

41 Distibusi normal (Gaussian)

42 Sifat-sifat distribusi Gaussian

43 Central Limit Theorem (CLT)