Mixture Autoregressive (MAR)

Presentasi berjudul: "Mixture Autoregressive (MAR)"— Transcript presentasi:

1 Mixture Autoregressive (MAR)
Eni Sumarminingsih, SSI, MM

2 Model Mixture Autoregressive (MAR) merupakan gabungan dari K Gaussian model AR. Keunggulan model MAR adalah kemampuan model ini untuk memodelkan data yang bersifat heteroskedastik dengan fungsi distribusi kumulatif bersyarat

3 Secara umum model MAR adalah

4 Persamaan tersebut menunjukkan bahwa fungsi distribusi kumulatif bersyarat dari Yt merupakan gabungan dari K komponen normal model AR(p) yang mempunyai rata – rata dan ragam Dengan K adalah banyaknya komponen pk adalah orde model AR ke k p adalah max (p1, p2, …, pK)

5 = fungsi distribusi kumulatif bersyarat dari Yt, yang diketahui informasi sebelumnya = fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal baku α1, α2, …, αK = proporsi mixture dengan syarat α1+ α2+ …+ αK = 1 dan αk > 0

6 Secara alternatif, yt dapat disusun sebagai berikut : Dengan ek,t = sisaan komponen ke – k

7 Model MAR dengan dua komponen , masing –masing berorde 1 atau AR (1) dengan proporsi masing – masing komponen adalah α1 dan α2 dapat ditulis sebagai model MAR (2;1,1) sebagai berikut Dengan kondisi stasioner model MAR (2;1,1) dan

8 Salah satu karakteristik model MAR adalah distribusi bersyarat dari model tersebut merupakan multimodal, sehingga memiliki k rata – rata (k,t) Fungsi harapan bersyarat

9 Fungsi ragam bersyarat dari yt yang bergantung pada kt adalah

10 Pendugaan Parameter Pendugaan parameter dilakukan menggunakan metode Maximum Likelihood dan diselesaikan menggunakan metode Expectation Maximization Fungsi likelihood :

11 Fungsi log likelihood dimana

12 Algoritma Expectation Maximization(EM)
Algoritma EM terdiri dari dua tahap yaitu E-step dan M-step. Tahapan algoritma EM E-step Menentukan nilai awal  Menghitung nilai harapan fungsi loglikelihood dan nilai harapan bersyarat dari Xt,k, yaitu t,k.

13 Nilai harapan fungsi log likelihood dapat ditulis sebagai berikut:

14 dengan i menunjukkan langkah iterasi algoritma (i) menunjukkan vektor parameter pada iterasi ke-i

15 b. M-step Tahap ini digunakan untuk mendapatkan nilai parameter  yang baru dengan cara memaksimumkan nilai Q(| (i))yaitu dengan menurunkan Q(| (i)) terhadap masing – masing parameter dan menyamakan dengan nol Persamaan penduga parameter k adalah

16 Persamaan penduga parameter k adalah
Persamaan penduga parameter 𝜙kj dan 𝜙k0 adalah Dimana t-1 merupakan vektor berukuran (1x(p+1)) sehingga

17 Proses pendugaan parameter diperoleh dengan mengiterasikan ketiga persamaan penduga parameter tersebut sampai didapatkan nilai yang konvergen yaitu saat

18 Uji Signifikansi Model MAR
H0 :  = 0 H1 :   0 Statistik uji yang digunakan

19 Diagnostik Model MAR Gunakan Uji Ljung Box Q

20 Peramalan Ramalan satu periode ke depan