IDEAL, RING KUOSIEN INTEGRAL DOMAIN & SUB INTEGRAL DOMAIN

Presentasi berjudul: "IDEAL, RING KUOSIEN INTEGRAL DOMAIN & SUB INTEGRAL DOMAIN"— Transcript presentasi:

1 IDEAL, RING KUOSIEN INTEGRAL DOMAIN & SUB INTEGRAL DOMAIN

2 TUJUAN Mahasiswa akan dapat memberikan contoh ideal, ring kuosien, integral domain dan sub integral domain

3 Cakupan Ideal Ring Kuosien Integral Domain Sub Integral Domain

4 Beberapa Definisi Kernel dari homomorfisma f:RR’ adalah himpunan elemen-elemen R yang dipetakan ke 0’R’. (R,+,) ring, (I,+) subgrup dari (R,+). I=ideal dari R jika dan hanya jika arI dan raI, aI dan rR. Ideal tak sejati adalah R dan {0}; lainnya adalah ideal sejati. Ring yang tdk mempunyai ideal sejati disebut ring sederhana.

5 Contoh: (Z,+,) adalah ring. P={kx, xz, k=bil.bulat} adalah ideal. R=himp matriks 2x2 bilangan riil dengan operasi penjumlahan matriks dan perkalian matriks merupakan ring. Himpunan I dengan operasi-operasi yang sama merupakan ideal kanan. Sedangkan J dengan operasi-operasi yang sama merupakan ideal kiri.

6 R1 dan R2 ring-ring (sedikitnya satu tidak komutatif)
R1 dan R2 ring-ring (sedikitnya satu tidak komutatif). Bentuk R={(x,y), xR1, yR2} dengan operasi + dan  sbb: (x,y) + (z,u) = (x+z, y+u) dan (x,y)(z,u) = (xz, yu}. S={(x,0), xR1}. S adalah ideal kiri dan kanan sekaligus. IDEAL UTAMA Jika R ring komutatif dengan unkes dan aR, maka ideal {ax, xR} disebut ideal utama yang dibentuk oleh a; notasi (a). Ring komutatif dengan unkes yang setiap idealnya adalah ideal utama, disebut ring ideal utama. Contoh: (Z,+,) adalah ring komutatif. I=himp bil bulat kelipatan 12, yakni (12), merupakan ideal utama. I dapat juga dibentuk oleh (12). Elemen 12 dan 12 disebut generator. I = (6)(4)(3)(2)Z. Jadi I adalah irisan dari semua ideal utama dari Z yang memuat 12.

7 Ideal Prima (R,+,)=ring komutatif. Ideal P dari R dikatakan ideal prima dari R jika (ab)P mengakibatkan aP atau bP, a,bR. Ideal Maksimal I=ideal maksimal dari ring R, jika dan hanya jika I tidak termuat dalam ideal lain, kecuali I sendiri dan R. Contoh: (Z,+,.) merupakan ring komutatif. K=(11) adalah ideal prima dalam Z. Juga P=(5). (Z,+,.) merupakan ring komutatif, T=(6) bukan ideal prima dalam Z. (Z,+,.) merupakan ring komutatif. K=(11) adalah ideal maksimal, tetapi T=(6) bukan ideal maksimal.

8 Penting: (Z,+,.) ring bilangan bulat. I adalah ideal maksimal dalam Z jika dan hanya jika ideal I dihasilkan oleh suatu bilangan prima. Ring Kuosien (Ring Faktor/Ring Kelas Residu) S adalah ideal dalam ring R. R/S = {a+S, aR} juga merupakan ring dengan operasi-operasi berikut. (a+S)+(b+S) = (a+b)+S, a,bR (a+S)(b+S) = (ab)+S, a,bR R/S disebut ring kuosien=ring faktor=ring kelas residu. Contoh: (Z,+,.) ring komutatif. S=(5) adalah ideal. Ring faktor Z/S={S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S} adalah ring komutatif juga. Adakah unkes? (Z,+,.) adalah RTPN. S=(6). Z/S = {S, 1+S, 2+S, 3+S, 4+S, 5+S}. Z/S adalah RDPN. T=(3) adalah RTPN.

9 INTEGRAL DOMAIN (DAERAH INTEGRAL)
Adalah suatu ring komutatif dengan unkes, tanpa pembagi nol. SIFAT: Dalam integral domain berlaku pencoretan utk penjumlahan. Karakteristik integral domain adalah nol= atau bilangan prima.

10 Contoh Contoh: Manakah yang integral domain? Bila integral domain, carilah karakteristiknya. (Z,+,), (Q,+,), (R,+,), (C,+,) D={a+b17, a,b bil bulat} dengan + dan  M={0,1,2,3,4} dengan penjumlahan modulo 5 dan perkalian modulo 5 M={0,1,2,3,4,5} dengan penjumlahan modulo 6 dan perkalian modulo 6. M={1,2,3,4} dengan penjumlahan modulo 5 dan perkalian modulo 5.

11 Sub Integral Domain Adalah subset dari integral domain, yang dengan operasi-operasi yang sama merupakan integral domain juga. Contoh: (Z,+,) merupakan integral domain, S=(n), n-bil bulat, merupakan sub-nya. (R,+,) merupakan sub-integral domain dari (C,+,).

12 Penutup Ideal: subgrup dari (R,+) dengan sifat tertentu.
Ring Kuosien: produk elemen grup dengan setiap elemen ideal Integral Domain: ring komutatif, dengan unkes, tanpa pembagi nol. Sub Integral Domain: bagian dari integral domain yang juga merupakan integral domain.