ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM.

Presentasi berjudul: "ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM."— Transcript presentasi:

1 ILMU KOM PUTER FAK MIPA UGM

2 Logika Informasi Materi. 1). Logika Proposisi. a). Pengenalan Informal
b). Penghubung Logis (Operator, Functor) c). Tabel Kebenaran dp Formula. d). Penghubung Logis yang lain. e). Memanipulasi Formula Proposisinal. f). Negasi dp Formula Proposisional. g). Argumen.

3 Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)
Operator Notasi lainnya Burke Kuliah Polan Daliyo dia Konjungsi p &q p . q p  q p  q K p q Disjungsi p  q p + q p  q p  q A p q Negasi ~p p p’ p p N p Implikasi p  q p  q p  q p  q C p q Bi-implikasi p  q p  q p  q p  q E p q

4 Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Notasi Polandia juga disebut Lukasiewics atau sebagai notasi bebas- kurung atau notasi prefix (+ab) , pada prinsipnya operator diadika me ngawali operand mereka. Selain itu ada notasi postfix (ab+) , yg juga disebut notasi kebalikan polandia, dimana operator muncul sesudah operand. Notasi yang kita gunakan sehari-hari disebut dengan notasi infix ( a+b) Dalam aritmatika didapat contoh sbb : Notasi Infix Notasi Prefix Notasi Postfix p + q +pq pq+ p + q x r +pxqr pqrx+ (p + q) x r x+pqr pq+rx (p x r) + (q + r) +xprxqr prxqrx+ p x ( r + q) x q xpx+rqq prq+xqx ((p + q) + r) + s +++pqrs pq+r+s+ p + (q + (r + s)) +p+q+rs pqrs+++

5 Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Catatan. (Untuk Notasi Polandia) 1).Perhatikan bahwa pada masing-masing notasi kemunculan setiap variabel mempunyai urutan yang sama. 2). Terlihat bahwa kurung sama sekali tidak digunakan. 3). Tidak perlu adanya prioritas untuk masing-masing operator. 4). Variabel hanya menggunakan satu huruf tunggal. 5). Operator monadika pada notasi infix selalu mendahului operand. 6). Perhatikan formula –pq akan mempunyai dua interpretasi dalam notasi infix yaitu : -(p-q) dan ((-p)-q) sehingga diperlukan simbol khusus yang berbeda untuk monadika negasi, misalnya e.

6 Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Lukasiewicz (Notasi Polandia) menggunakan operator dengan huruf besar seperti terlihat dibawah ini untuk membedakan dengan variabel. Infix Polandia p Np p  q Apq p  q Kpq p  q Cpq Bpq p  q Epq Rpq p  q Jpq p  q Spq N – Negasi A – Alternasi (Alternation) K – Konjungsi C – Conditional B – Non-implikasi?? E – Ekuivalen R – Non-Ekuivalen, Exclusif Or?? J – Joint deniel, Nor S – Nand, Incompatibility ??

7 Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Beberapa Contoh. Infix Polandia p  (q  r) KpAqr (p  q)  r AKpqr ((p)  (q) NANpNq p  q  r  p  q  r ANpANqAKrNpAqNr ((p  q)  r)  s KKKpqrs p  (q  (r  s)) KpKqKrs Sekali tak diperlukan kurung dan konektif utama dapat dilihat segera pada awal dp ekpresi

8 Logika Proposisional (Notasi Polandia/Tabel Kebenaran)
Beberapa Contoh. 1). p  q  r  s dapat diekpresikan menjadi KKKpqrs atau KpKqKrs 2). p  (p  q  (q  r  s)) diekpresikan KpCApqCCqrs 3). AEqNqq : disajikan dng notasi infix (p  (q))  q 4). NCCpqNCqp : disajikan dng notasi infix ((p  q)  ((q  p))) 5). NCRAqp : disajikan dng notasi infix (r  (q  p)) 6). CKpKCpqCNrNqEpNRrq : disajikan dng notasi infix : (p  (p  q)  r  q)  (p  (r  q))

9 Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)
Contoh : 1. Notasi Polandia : Epq Disajikan dalam notasi yang lain. a. p  q b. p  q c. p  q 2. Notasi Polandia : CKpqr C(p  q)r = (p  q) r Notasi Polandia : CpCpr Cp (p  r) = p (p  r) 4. Notasi Polandia : ECKpqrCpCpr Disajikan dalam notasi yang lain

10 Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)
Contoh : Notasi Polandia : E CKpqr CpCpr Disajikan dalam notasi yang lain. Cari tanda dominan : E yang sama dengan  Ruas kiri (dr ) : C Kpq r Tanda dominan : C yang sm dng  Tanda berikutnya : K yg sm dng  ( ada dengan &) didapat : p  q C (pq) r didapat : (pq)  r Ruas kanan (dr ) : C p Cpr didapat : C p (p  r) di dapat : p  (p  r) Akhirnya didapat : ((p  q)  r)  (p  (p  r))

11 Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)
Contoh ( ( p  q ) r )  ( ( p  r )  q ( K p q )  r )  ( ( p  r )  q C ( K p q ) r  ( ( p  r )  q C ( K p q ) r  ( ( ( p  ( N r ) )  q ) C ( K p q ) r  ( K p ( N r )  q ) C ( K p q ) r  ( K p ( N r )  ( N q ) ) C ( K p q ) r  ( C ( K p ( N r ) ( N q ) ) E ( C ( K p q ) r ( C ( K p ( N r ) ( N q ) ) ) E C Kpq r C Kp N r N q

12 Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)
Prioritas dp Operator. Seperti pd ungkapan dlm ilmu hitung, maka didalam operator logika pun terdapat prioritas sebagai berikut : 1). Operator  mempunyai prioritastertinggi 2). Operator  berprioritas berikutnya 3). Operator  berprioritas berikutnya 4). Operator  berprioritas berikunya 5). Dan seterusnya operator yang lain termasuk  dan seterusnya. Contoh 1). p  q  r  s dapat diinterpretasikan sebagai (p  q)  (r  s) 2). p  q akan diinterpretasikan dengan (p)  q 3). “Saya lapar” dan “saya malas” atau “Saya bahagia” dan “Saya telah makan enak” diartikan sebagai ????

13 Logika Proposisional (Notasi operator logis/functor)
Operator yang mempunyai prioritas sama dilakukan dengan urutan dari kiri ke kakan seperti terlihat dalam contoh dibawah ini > Contoh 1) p  q  r  s  t  u  v Diartikan sebagai : (((((p  q)  r)  s)  t)  u)  v 2) p   q  r  s  p  r  t ??????????.

14 Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula)
Bagaimana membangun tabel kebenaran : Satu tabel kebenaran dapat ditentukan dengan mengambil setiap kombinasi yang mungkin daripada nilai kebenaran daripada semua variabel yang terlibat dan kemudian mengevaluasi efek daripada se tiap operator Sebagai contoh : ((p)  q) p q p ((p)  q) T T F T T F F F F T T T F F T T

15 Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula)
Untuk bentuk yang lebih komplek adalah : ((p  q)  ((p)  (q))) Urutan evaluasinya menjadi : (  (p  q)  (( p)  ( q))) F T T T T F T F F T F T F F T F T T T F T F F T T T F T F T T F F F T T F T T F

16 Logika Proposisional (Tabel Kebenaran dp Formula)
Untuk formula dengan 3 variabel maka akan didapat 2^3 = 8 baris , untuk 4 variabel didapat 2^4 = 16 baris. Sebagai contoh : ((p  q)  ((p)  (r))) ( (p  q)  (( p)  ( r))) F T T T T F T F F T F T T T F F T T T F T T F F F F T F F T T T F F T F T T T F T F F T T T F T F T T F F T T T F T T F T F F F T T F T F T T F F F T T F T T F

17 Logika Proposisional [Tabel Kebenaran (TK) Identis]
Simbol =T berarti bahwa pada tabel kebenaran, dua formula mempu nyai nilai kebenaran yang sama (identik). Contoh : 1) (pq) =T (p)(q) ; buatlah TK nya. 2) (pq) =T (p)(q) ; buatlah TK nya. 3) p  q =T p  q ; buatlah TK nya. 4) p  q =T (p  q)  (p  q) ; buatlah TK nya 5) p  (p  q) =T p  q ; buatlah TK nya

18 Logika Proposisional [Interpretasi dan Model]
Andaikan P adalah formula proposisi ( perhatikan disini digunakan huruf murda/capital untuk menyajikan suatu formula sedang huruf kecil untuk variabel proposisi). Suatu interpretasi daripada P adalah suatu penugasan (assignment) daripada nilai kebenaran pada semua variabel proposisi ( pemberian nilai kebenaran) yg muncul pada P. Perhatikan bahwa setiap baris pada tabel kebenaran adalah suatu interpretasi. Untuk setiap interpretasi maka P mempunyai nilai kebe naran (lihat bahwa setiap baris P mempunyai nilai T atau F)

19 Logika Proposisional [ Interpretasi dan Model ]
Andaikan S suatu himpunan daripada formula proposisi, suatu inter pretasi disebut model daripada S jika setiap anggauta daripada S ber nilai kebenaran T untuk interpretasi tersebut. Contoh : Andaikan S adalah himpunan dp formula proposisi : { p  q , q  r , r  s } dan interpretasi : I1 : {p=T,q=F,r=T,s=T} ; I2 : { p=T, q=T,s =T , r=T} ; I3 : {p=T,q=T,r=F,s=F} ; I4 : { p=T, q=T,r =T, s=F} ; Interpretasi yang mana yang merupakan model dp S ? Gambarkan ta bel kebenarannya.

20 Logika Proposisional [interpretasi dan Model]
p q r s p  q q  r r  s I T F T T F I T T T T T T T I T T F F T T T I T T T F T T F Dari tabel diatas maka interpretasi yang merupakan model daripada S adalah I2 dan I3. Perhatikan karena I1 sudah memberikan nilai kebe naran F untuk p  q maka dua yang lain tak perlu dievaluasi, karena je las bahwa I1 bukan model.

21 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran T, tak tergantung pada nilai kebenaran daripada variabel-variabel proposisinya, dise but tautologi, dan dikatakan sebagai tautologis atau valid. Suatu tautologi adalah suatu formula proposisional yang mengam bil nilai T untuk setiap interpretasi yang mungkin. Semua entri da lam kolom pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai for mula tersebut bernilai kebenaran T.

22 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Contoh : p  p adalah Tautologi karena untuk I1 : p = T, maka p  p = T I2 : p = F, maka p  p = T dan tak ada lagi interpretasi lain. Untuk menyatakan bahwa suatu formula adalah suatu tautologi/valid maka dituliskan dengan menggunakan metasimbol ╞ , maka contoh diatas menjadi : ╞ (p  p)

23 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Tabel dari kebenaran p  p adalah : p p p  p T F Tabel dari kebenaran p  (p  (q  p)) adalah : p  ( p  (q   p)) 1 5 T F F T F T F F T F T F F F F T T F T T T T F T F T F F T F

24 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Perhatikan hubungan antara metasimbol =T dng ╞ yang dapat dili hat pada contoh dibawah ini : Menggunakan ╞ menggunakan =T ╞ p  (p) p =T (p) ╞ (p  q)  (q  p) p  q =T q  p ╞ (p  q)  (p)(q) (p  q) =T (p)  (q) ╞ ((p  ))  ((p)  (q)) ((p  q)) =T (( p)  (q)) Baris pertama kiri dibaca : p  (p) adl suatu tautologi, kanan : Formula p mempunyai tabel kebenaran sm-dng formula (p)

25 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Dikatakan bahwa dua formula P dan Q adl Ekuivalen Logis jika ekuivalen logisnya ‘ P  Q’ adl suatu tautologi ( yang dapat dika takan juga dengan bahwa mereka mempunyai tabel kebenaran yang sama) Dikatakan bhw suatu formula P implai logis suatu formula Q jika implikasi logis mereka ‘ P  Q’ adalah tautologi.

26 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Absurditi/Kontradiksi Sebarang formula yang selalu bernilai kebenaran F, tak tergantung pada nilai kebenaran dp variabel-variabel proposisinya, disebut Absurditi atau Kontradiksi atau Unsatisfiable dan dikatakan sbg Absurditi atau Invalid. Suatu Absurditi adalah suatu formula proposisional yang ber nilai F untuk setiap interpretasi yg mungkin. Semua entri dalam kolom Pada tabel kebenaran yang merupakan kolom nilai formula tersebut bernilai kebenaran F.

27 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Absurditi/Kontradiksi Contoh : (p  p) dan (p  p) adalah absurditi/kontradiksi karena untuk : I1 : p = T, maka (p  p) = F I2 : p = F, maka (p  p) = F dan tak ada lagi interpretasi lain. Perhatikan bahwa suatu formula proposisional P yg adalah suatu absur diti, maka formula P adalah suatu Tautologi, begitu pula sebaliknya. Jika sebarang formula P adalah suatu absurditi, maka ditulis : ╞ P

28 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
Sebarang formula yang, tergantung pada nilai kebenaran dp vari abel-variabelnya, dapat bernilai baik nilai T maupun nilai F dise but suatu formula campur, atau ada yang menyebut contingent. Contoh : Tentukan yang mana yang tautologi, absurditi atau formula cam pur : a) p  (q  p) ; b) p  (p  (q  p) ; c) p  (p  (q  p)).

29 Logika Proposisional [Tautologi, Absurditi dan Formula Campur]
p  ( q  p) T T F T T T T T T F T T F F F T T F F T T F F F p 1 T F  5 ( 2  4 (q  3  

30 ( Zohar Manna and Richard Waldinger)
Logika Proposisional Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent ( Zohar Manna and Richard Waldinger) Valid , Tautology, Satisfiable, dan Contradictory Suatu formula P dikatakan valid/benar jika ia true/benar untuk setiap interpretasi (I) daripada P. Formula- formula valid daripada logika proposional disebut Tautologi. Suatu formula P dikatakan satisfiable/dapat-puas jika ia true dibawah suatu interpretasi (I) daripada P. Suatu formula P dikatakan kontradiksi/ contradictory ( unsatis fiable/ tak terpenuhi) jika ia false dibawah setiap/ semua inter pretasi (I) daripada P. Catatan : pada bukunya Zohar Manna and Richard Waldinger formula ditulis dengan sentence/closed formula.

31 ( Zohar Manna and Richard Waldinger)
Logika Proposisional Definisi Valid, Satisfiable, Contradictory, Implies, Equivalent, Consistent ( Zohar Manna and Richard Waldinger) Implies, Equivalent, dan Consistent Suatu kalimat P implies suatu kalimat Q jika, untuk sebarang Interpretasi (I) daripada P dan Q, jika P true untuk I maka Q true untuk I. Dua kalimat P dan G ekuivalen/ equivalent jika setiap interpre tasi (I) untuk P dan G , P mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenarannya G. Seperangkat kalimat P1,P2,P3,…. Dikatakan konsisten jika terdapat suatu interpretasi untuk P1,P2,P3,…. Dibawah mana setiap Pi bernilai true. Catatan : Kalimat/sentence adl formula tertutup/closed formula (buku Logic for Computer Science, Arindama Singh, hal 59)

32 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Fungsi Kebenaran/Truth Functions Fungsi Kebenaran (kadang disebut suatu operator logis) adalah suatu fungsi yang mengambil nilai-kebenaran se bagai argumen dan selalu menghasilkan salah satu dari nilai T atau nilai F. Suatu fungsi kebenaran dapat mempu nyai sejumlah operand (kadang-kadang disebut argumen atau tempat). Suatu fungsi dengan satu operand disebut suatu fungsi kebenaran monadika (  ).Jika mempunyai dua operand disebut dengan fungsi kebenaran diadika (, , , ), jika tiga triadika ( If… then … else … ) .

33 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Monadika Terdapat 4 (=2^2) kemungkinan tabel-kebenaran untuk operator-monadika (terdapat dua entri dalam tabel-kebe naran masing-masing T dan F) yg dapat dilihat dibawah ini : Empat kolom tersebut adalah : 1) f0 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu F (falsum) 2) f1 : Operator negasi (lihat dibagian terdahulu) 3) f2 : Suatu fungsi yang bernilai seperti p (assertium) 4) f3 : Suatu fungsi yang hasilnya selalu T (Verum) p T F f0 f1 f2 f3 f0(p) : f0(T) = F f0(F) = F f1(p) : f1(T) = F f1(F) = T f2(p) : f2(T) = T f2(F) = F f3(p) : f3(T) = T f3(F) = T

34 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Diadika p T F q g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5 h5 : verum ( suatu tautologi diadika ) ; (h5(p,q) = T) g0 : falsum (fungsi diadika yang selalu bernilai F) h2 : bernilai sama dengan p ; (h2(p,q) = p) h0 : bernilai sama dengan q g3 : negasi daripada p, selalu bernilai sm-dng p) g5 : negasi daripada q, selalu bernilai sm-dng q) 10 (sepuluh) sisanya dibicarakan berikut ini ; (h0(p,q) = q)

35 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Diadika p T F q g0 g1 g2 g3 g4 g5 g6 g7 g8 g9 h0 h1 h2 h3 h4 h5 g6 : Operator “non-equivalent”, “Exclusive Or” (disajikan dengan , , atau , atau XOR); p q =T (p  q)  (p  q) =T (p  q)  (q  p) g1 : NOR, Joint denial, Pierce’s arrow (), negasi dp disjoint p  q =T (p  q) = p  q g7 : Operator “NAND”, “Incompatibility”, “Stroke”, “fungsi stroke Sheffer”, (simbol / atau ), negasi dp konjungsi p/q =T (p  q) = p  q ; (p/q) = (pq) g4,g2 : fungsi “non implikasi” ( disajikan dengan ) p q =T (p  q) p q =T p  (q)   

36 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika Operator triadika mempunyai 3 (tiga) operand. Dari 256 (= 28), pada saat ini hanya beberapa yang dapat langsung dimanfaatkan. Operator triadika ini sulit untuk disimbolkan, seperti misalnya operator “If…then…else…” disini variabel nya berupa titik-titik. Beberapa operator triadik adalah : 1) Kondisi terkondisi (conditioned disjunction). If…then…else… disimbolkan [p,q,r] 2) Inkompatibel terkondisi dengan simbol [[p,q,r]] 3) L2 (mayoritas) ; L2(p,q,r) =T (pq)  (qr)  (rp); bernilai T jika paling sedikit dua atu lebih argumen bernilai T 4) L1 (Paling sedikit satu); dst

37 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika 1) Disjungsi terkondisi; Ditulis [p,q,r] , diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika ditulis dengan “If-then-else” maka menjadi “If q then p else r”. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah : [p,q,r] =T (q  p)  (q  r) (q 1 T F  2 p)  4 ( q 3 r) p r

38 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika 2) Inkompatibelitas terkondisi; Ditulis [[p,q,r]] , ada kaitannya dengan disjungsi terkon disi diartikan jika q bernilai T hasilnya adalah nilai p dan jika nilai F maka hasilnya adalah nilai q. Jika disajikan dengan tabel kebenaran adalah : [[p,q,r]] =T (q  p)  (q  r) (q 1 T F  3 p))  4 (( 2 q) r)) p q r (

39 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika (q 1 T F  2 p)  4 ( q 3 r) p r Ternyata bahwa : [p,q,r] =T [[p,q,r]] , Disj-tkond = negasi Inkomptbl-Tkond (q 1 T F  3 p))  4 (( 2 q) r)) p q r (

40 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika 3) L2 Mayoritas; Ditulis L2(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 2 (dua) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L2 di artikan dengan “Paling sedikit dua”. Tabel kebenaran nya adalah : L2(p,q,r) =T (p  q)  (q  r)  (r  p) p 1 T F q r  4 3T 2T 1T 0T (p 1 T F  2 q)  3 (q r) (r p) 4

41 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika 4) L1 Paling sedikit satu ; Ditulis L1(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 1 (satu) atau lebih daripada argumennya bernilai T. L1 di artikan dengan “Paling sedikit satu”. Tabel kebenaran nya adalah : L1(p,q,r) =T (p  q  r) p 1 T F q  3 2 r 4 3T 2T 1T 0T

42 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Operator Triadika 4) L3 Paling sedikit tiga ; Ditulis L3(p,q,r) , disini operand adalah argumen daripa da fungsi. Dimana fungsi bernilai T jika dan hanya jika 3 (tiga) argumennya bernilai T. L3 diartikan dengan “Paling sedikit tiga”. Tabel kebenarannya adalah : L3(p,q,r) =T (p  q  r) p 1 T F q  3 2 r  4 3T 2T 1T 0T

43 Logika Proposisional [Penggandeng Logis lainnya]
Fungsi Kebenaran Teorema : Sebarang fungsi kebenaran f(p1 ,p2 , pn) dari n variabel pro posisional p1 , p pn selalu dapat diekspresikan dalam ben tuk fungsi kebenaran diadika dan monadika. Pembuktiannya dengan menggunakan induksi. Contoh dalam disjungsi terkondisi adalah : f(p1,p2,...,pn) =T [f1(p2 ,...,pn) ,p1 , f2(p2,...,pn)]