FLUKS LISTRIK HUKUM GAUSS DAN DIVERGENSI

Presentasi berjudul: "FLUKS LISTRIK HUKUM GAUSS DAN DIVERGENSI"— Transcript presentasi:

1 FLUKS LISTRIK HUKUM GAUSS DAN DIVERGENSI
Nama : Candra Mebby Oka NIM : Mata Kuliah : Elektromagnetika

2 Kerapatan Fluks Listrik
Kira – kira tahun 1387, Direktur Royal Society di London, Michael Farraday sangat tertatrik pada medan listrik statik dan efek dari berbagai bahan isolator pada medan tersebut.Persoalan ini telah mengganggunya 10 tahun yang telah lampau ketika ia melakukan eksperimen yang terkenal mengenai “elektromotansi induksi (tegangan elektromotif induksi)”. Ketika ia menyelesaikan eksperimen tersebut, ia membuat sepasang bola logam (konsentris) yang bola luarnya terdiri dari dua belahan yang dapat digabungkan dengan erat.Ia juga mempunyai bahan isolator (bahan dielektrik) yang dapat mengisi seluruh volum antara kedua bola sepusat tersebut.

3 Faraday menemukan adanya perpindahan muatan dari bola dalam ke bola luar tanpa memandang jenis dielektriknya, atau disebut fluks listrik. Eksperimen Farraday juga menunjukkan bahwa jika muatan positif yang terdapat pada bola dalam semakin banyak maka muatan tersebut akan menginduksi muatan negatif yang harga mutlaknya semakin besar dan menghasilkan perbandingan yang lurus antara fluks listrik dengan muatan yang terdapat pada bola. Jika fluks listrikdinyatakan dengan ψ dan muatan bola dalam dengan Q, maka menurut Farraday adalah Ψ = Q Ψ = fluks listrik Q = muatan bola dalam Catatan : fluks listrik merupakan besaran skalar

4 Kerapatan fluks listrik
Kerapatan fluks listrik D merupakan vektor medan. Arah D pada tiap titik merupakan arah garis fluks pada tiap titik tersebut, dan besarnya sama dengan banyaknya garis fluks yang menembus permukaan yang normal terhadap garis tersebut dibagi dengan luas permukaan tersebut. Dari gambar tadi terlihat bahwa kerapatan fluks listrik mempunyai arah radial dan besarnya adalah: Bila dibandingkan dengan rumus intensitasmedan listrik radial dari sebuah muatan titik didalam ruang hampa, yaitu : Maka dalam ruang hampa : D = ԑ0. E

5 persamaan diatas tidak terbatas pada medan muatan titik saja
persamaan diatas tidak terbatas pada medan muatan titik saja. Untuk distribusi muatan ruang yang umum dalam ruang hampa, Hubungan ini diturunkan dari muatan titik. Cara yang sama, akan mendapatkan:

6 Hukum Gauss Hukum gauss menyatakan: “Fluks listrik yang menembus setiap permukaan tertutup sama dengan muatan total yang dilingkungi oleh permukaan tersebut”

7 Distribusi Muatan pada permukaan tertutup
Q Coulomb fluks listrik akan menembus permukaan tersebut vector D harus diambil pada permukaan, dan Ds akan berubah besar dan arahnya dari titik yang satu ke titik yang lain. Sebuah unsur penambahan muatan yang luasnya ∆S hampir merupakan bagian dari bidang datar. Gambar diatas menunjukan suatu kerapatan muatan ρ dalam suatu permukaan tertutup S

8 Pada setiap titik P, tinjau unsur pertambahan permukaan ∆S dan ambil Ds yang membentuk sudut θ dengan ∆S. Fluks yang menembus ∆S merupakan perkalian antara komponen normal dari Ds dengan ∆S. ∆Ψ = fluks yang menembus ∆S = DS, norm . ∆S = DS cosθ ∆S = Ds . ∆S

9 Pada setiap titik P, tinjau unsur pertambahan permukaan ∆S dan ambil Ds yang membentuk sudut θ dengan ∆S. Fluks yang menembus ∆S merupakan perkalian antara komponen normal dari Ds dengan ∆S ∆Ψ = fluks yang menembus ∆S = DS, norm ∆S = DS cosθ ∆S = Ds . ∆S Fluks total yang menembus permukaan tertutup: dxdy → Cartesian , ρ dθ dρ → tabung, r2 sinθ dθ dØ →bola Rumusan matematis hukum Gauss sebagai berikut:

10 Muatan yang dilingkungi dapat terdiri dari beberapa muatan titik, dalam hal ini:
Muatan Garis: Muatan permukaan: Muatan volume:

11 Hukum Gauss pada koordinat bola
kita periksa eksperimen faraday dengan menempatkan muatan titik Q pada titik asal system koordinat bola dan dengan memilih permukaan tertutupnya berupa suatu bola dengan jari-jari a. intensitas medan muatan listrik muatan titk telah diperoleh, yaitu: Pada permukaan bola,

12 Unsur differensial luas pada permukaan bola dalam koordinat bola adalah:
atau

13 Integrannya menjadi, mengarah pada integral permukaan tertutup, dimana batas integrasinya telah dipilih sehingga integrasi dilakukan pada seluruh permukaan bola sekali saja, integrasi akan menghasilkan

14 Pemakaian hukum Gauss pada beberapa distribusi muatan simetris
Pemakaian Hukum gauss tergantung dari simetri. Dan jika kita tidak dapat menunjukkan adanya simetri, maka kita tidak dapat memakai hukum gauss untuk mencari pemecahan Melalui muatan garis serba sama, jelaslah bahwa hanya ada komponen radial dari D yang ada, atau dan komponen ini hanya merupakan fungsi dari ρ,

15 Dengan memakai hukum Gauss,
Pada gambar diperlihatkan sebuah tabung lingkaran tertutup yang mempunyai jari-jari p memanjang dari z = 0 ke z = L Dengan memakai hukum Gauss,

16 diperoleh, Jika dinyatakan dalam kerapatan muatan ρL, maka muatan total yang terlingkung adalah Menghasilkan : atau

17 Dua buah tabung konduktor sesumbu, tabung dalam berjari-jari a, dan yang luar berjari-jari b, panjangnya tak berhingga misalkan distribusi muatan pada permukaan luar dari konduktor dalam adalah ρS. komponen Dρ hanya merupakan fungsi dari ρ. tabung lingkaran panjangnya L dan berjari-jari ρ, dimana a<ρ<b, dipilih sebagai permukaan gauss. Maka,

18 Muatan total pada konduktor dalam yg penjangnya L
adalah, dan diperoleh, , (a < ρ < b) Hasil ini dapat dinyatakan dlm muatan persatuan Panjang. karena konduktor dlm bermuatan 2πaρs coulomb jika panjangnya 1 meter, jadi dengan Menuliskan ρL = 2πєps, kita dapatkan,

19 Karena tiap garis fluks listrik yang berawal dari muatan positif pada tabung dalam harus berakhir pada muatan negative pada permukaan dalam dari tabung luar, maka muatan total pada permukaan tersebut haruslah Dan muatan permukaan pada tabung luar ialah,

20 Jika kita memakai tabung dengan jari-jari dimana ρ, ρ>b , muatan total yang dilingkunginya menjadi nol, karena ada muatan yang besarnya sama tetapi tandanya berlawanan pada masing-masing tabung konduktor. Jadi, (ρ > b) Hasil yang sama akan didapatkan untuk ρ < a. Jadi kabel sesumbu atau kapasitor sesumbu tida mempunyai medan eksternal, dan tak ada medan pada bagian dalam dari tabung pusat (dalam).

21 Pemakaian hukum gauss pada unsur volume differensial
Marilah kita ambil titik P di gambar. Harga D pada titik P dapat dinyatakan dalam komponen kartesian, Do = Dxo ax + Dyo ay + Dzo az. Sebagai permukaan tertutupnya kita pilih persegi kotak yang pusatnya P dan panjang sisinya ∆x, ∆y dan ∆z, dan menurut hukum Gauss,

22 Supaya kita dapat menghitung integral tersebut pada permukaan tertutup, maka integralnya harus dipecah menjadi enam integral, yaitu satu integral pada tiap permukaan, Tinjau integral yang pertama secara terperinci. Karena unsur permukaannya sangat kecil, D dapat dianggap tetap dan,

23 Disini kita hanya harus mengaproksimasi harga Dx pada permukaan depan tersebut. Permukaan dapat berjarak ∆x/2 dari P, jadi Rumusan ini dapat diperoleh lebih formal dengan memakai suku tetapan dan suku yang mengandung turunan pertama dalam uraian deret Taylor dari Dx disekitar P. Kita dapatkan sekarang,

24

25 Jika kita gabungkan kedua integral tersebut, maka diperoleh,
Dan, Dengan cara yang sama, didapatkan:

26 Muatan yang terlingkung dalam volume ∆v:
Dan hasilnya dapat digabungkan sehingga kita dapatkan Atau Akhirnya kita mendapatkan rumus sebagai berikut: Muatan yang terlingkung dalam volume ∆v:

27 divergensi

28 Sekarang kita akan mendapatkan hubungan eksak dari rumus sebelumnya dengan membuat unsur volume ∆v menuju nol. Kita tulis persamaannya sebagai berikut : Atau jika diambil limitnya, Jelas bahwa suku suku terakhir adalah kerapatan muatan volume ρ, jadi

29 Rumus sebelumnya mengandung banyak informasi untuk dibicarakan sekaligus, kita pisahkan menjadi 2 bagian : Dan, Persamaan diatas tidak mengandung kerapatan muatan dan cara yang dipakai pada pasal yang lalu dapat dipakai untuk setiap vektor A untuk mendapatkan untuk permukaan tertutup yang kecil, yang menghasilkan Dengan A dapat menyatakan kecepatan,gradient temperature, gaya atau medan vektor yang lain

30 Operasi di atas dinamakan Divergensi.
Divergensi A Didefinisikan sebagai Divergensi A = div A = Divergensi vektor kecepatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar dari seluruh permukaan tertutup persatuan volume yang menuju ke nol .

31 Rumusan divergensi pada setiap koordinat : Cartesian:
Divergensi positif menunjukkan adanya sumber kuantitas vektor tersebut pada titik yang ditinjau Divergensi negatif menunjukkan adanya sink (sungap) Rumusan divergensi pada setiap koordinat : Cartesian: Tabung: Bola :

32 Karena dengan hukum Gauss,
Persamaan pertama Maxwell (elektrostatika) Karena dengan hukum Gauss, kemudian per satuan volume, Jika diambil volume menuju nol,

33 pernyataan tersebut merupakan
Ruas kiri adalah div D dan ruas kanan adalah kerapatan muatan volume, pernyataan tersebut merupakan persamaan pertama Maxwell jika persamaan tersebut dipakai untuk elektrostatika dan medan magnet tunak, dan persamaan tersebut menyatakan bahwa fluks listrik persatuan volume yang meninggalkan volume yang menuju nol sama dengan kerapatan muatan volume di tempat tersebut.

34 Operasi divergensi dengan menggunakan rumus sebelumnya menghasilkan skalar.
Operator del adalah operator vektor

35 Tinjaulah . D , yang menyatakan,
kita tinjau perkalian titik antara vektor satuan; dengan membuang 6 suku nol, kita dapatkan Kemudian tanda kurangnya kita buang dan kita lakukan operasi diferensial

36 hasilnya dikenal sebagai divergensi D, sehingga diperoleh :
operator vektor titik hanya dipakai dalam kaitannya dengan divergensi, tetapi akan kita temui dalam beberapa operasi yang sangat penting. Salah satunya adalah u dengan u suatu scalar yang menghasilkan Dev D=

37 Operator tidak mempunyai bentuk khusus dalam sistem koordinat yang lain. Jika kita meninjau D dalam koordinat tabung, maka D tetap menyatakan divergensi D, atau Tinjaulah rumusan hukum Gauss berikut, dan mengambil,

38 Kemudian mengganti ρ melalui persamaannya,
kita dapatkan, Rumusan pertama dan terakhir menyatakan teorema divergensi

39 yang dapat dinyatakan sebagai berikut
“Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut”