TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012 BY NURUL SAILA. 1. Invers Matrik 2. Menentukan Invers Matrik dengan definisi 3. Menentukan invers matrik dengan kofaktor.

Presentasi berjudul: "TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012 BY NURUL SAILA. 1. Invers Matrik 2. Menentukan Invers Matrik dengan definisi 3. Menentukan invers matrik dengan kofaktor."— Transcript presentasi:

1 TATAP MUKA SENIN 16 APRIL 2012 BY NURUL SAILA

2 1. Invers Matrik 2. Menentukan Invers Matrik dengan definisi 3. Menentukan invers matrik dengan kofaktor 4. Menentukan invers matrik dengan OBE 5. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier dg perkalian matrik BY NURUL SAILA

3 Definisi: Jika A adalah sebarang matriks kuadrat dan jika dapat dicari sebuah matriks B sedemikian sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A (B = A -1 ). Contoh: A adalah invers dari B karena AB = I dan BA = I.

4 Teorema: 1. Jika B dan C kedua-duanya adalah invers dari matriks A maka B = C. 2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama maka:  AB dapat dibalik  (AB) -1 = B -1 A -1 Buktikan!

5 Definisi:  Jika A adalah matriks kuadrat dan n adalah sebuah bilangan bulat positif maka kita mendefinisikan: A 0 = I  Jika A dapat dibalik maka kita mendefinisikan :

6 Teorema: 3. Jika A adalah sebarang matriks yang dapat dibalik maka: a. A -1 dapat dibalik dan (A -1 ) -1 = A b. A n dapat dibalik dan (A n ) -1 = (A -1 ) n, untuk n = 0, 1, 2, … c. Untuk setiap scalar k yang tak sama dengan 0maka kA dapat dibalik dan (kA) -1 = 1/k A -1.

7 Definisi: Jika A adalah sebarang matriks n x n dan C ij adalah kofaktor a ij maka matriks: Dinamakan matriks kofaktor dari A. Transposisi matriks ini dinamakan adjoint dari A dan dinyatakan dengan adj (A). BY NURUL SAILA

8 Teorema: Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik maka: Contoh: Tentukan A -1 menggunakan kofaktor, jika: BY NURUL SAILA

9 OBE Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada baris suatu matriks, yaitu: 1. Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0. 2. Pertukarkan sebarang dua baris. 3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd baris yang lain.

10  OBE 1: Kalikan baris 1 dengan 2 (2B 1 )  OBE 2: Pertukarkan B 1 dengan B 2 (B 1  B 2 )  OBE 3: Tambahkan 3B 1 kepada B 2 (B 2 + 3B 1 )

11 Matrik Elementer (E) Definisi: Sebuah matrik nxn dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan nxn yakni I n dengan melakukan operasi baris elementer tunggal. Contoh:

12 Teorema:  Jika matriks elementer E dihasilkan dari melakukan sebuah operasi baris elementer tertentu pada I m dan jika A adalah matrik mxn, maka hasil perkalian EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A. Contoh:

13 EA = … B 3 +3B 1  …

14 Operasi Invers  Jika sebuah OBE dikenakan pada sebuah matriks satuan I untuk menghasilkan sebuah matriks elementer E maka ada OBE kedua yg apabila dikenakan pada E akan menghasilkan kembali I. OBE kedua ini disebut operasi invers. OBE pd IOperasi Invers Kalikan baris ke i dengan c ≠ 0Kalikan baris ke I dengan 1/c Pertukarkan baris ke i dengan baris ke j Pertukarkan baris ke j dengan baris ke i Tambahkan c kali baris ke i ke baris ke j Tambahkan –c kali baris ke I ke baris ke j

15  Tiap-tiap matriks elementer dapat dibalik dan inversnya adalah juga sebuah matriks elementer Buktikan!

16 Definisi: Jika matriks B dapat diperoleh dari matriks A dengan melakukan serangkaian OBE maka A dpt diperoleh dari B dengan serangkaian OBE inversnya. B dikatakan ekuivalen baris dengan A dan sebaliknya. Contoh:

17 Jika A adalah sebuah matrik nxn maka pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen, yakni semuanya benar dan semuanya palsu. 1. A dapat dibalik 2. AX = 0 hanya mempunyai satu pemecahan trivial 3. A ekuivalen baris kepada I n. Buktikan!

18 “ Urutan operasi baris yang mereduksi matriks A menjadi I n akan mereduksi I n kepada A -1 “. Contoh: Tentukan A -1 dengan Operasi Baris Elementer.

19 Menyelesaikan system persamaan linier dengan ‘Perkalian Matrik’ adalah: 1. Mengubah system persamaan menjadi bentuk perkalian matriks 2. Menyelesaikan perkalian matriks dengan menentukan invers matriks koefisien system persamaan

20 Contoh: Tentukan selesaian dari sistem persamaan berikut menggunakan perkalian matrik.

21 Selesaikan sistem persamaan linier berikut dengan perkalian matrik. e. >>> BY NURUL SAILA

22