HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4

Presentasi berjudul: "HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4"— Transcript presentasi:

1 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4
Matakuliah : K0342 / Metode Numerik I Tahun : 2006 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL Pertemuan 4

2 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI
PERTEMUAN-4 HAMPIRAN NUMERIK SOLUSI PERSAMAAN POLINOMIAL

3 So Bentuk umum persamaan polinomial:
Dengan ak adalah konstanta bilangan riil dan an  0 Persamaan polinomial termasuk pada persamaan nirlanjar So Dapat diselesaikan baik dengan metoda terbuka maupun metoda tertutup tetapi kurang effisien untuk n yang besar. KENAPA?

4 1. Metoda Müller Menentukan akar-akar persamaan polinomial:
Muller menggunakan pendekatan proyeksi parabola melalui tiga titik pada sumbu x sebagai pengganti proyeksi garis melalui dua titik pada sumbu x seperti pada metoda Secant Misalkan tiga titik tsb adalah: [ x0,f(x0)]; [ x1,f(x1)]; [ x2,f(x2)] Misalkan persamaan parabola melalui tiga titik tersebut adalah: Maka: ……………..(1)

5 Misalkan: Disubtitusikan ke persamaan (1), diperoleh: ……………….(2)

6 Akar persamaan polinomial diperoleh dengan iterasi berikut:
…………………..(3) Contoh: ,tentukan akar persamaan Jawaban: Misalkan: x0 = 4.5; x1 = 5.5; x2 = 5 f(4.5) = ; f(5.5) = ; f(5) = 48 = c h0 = 1; h1 = -0.5 0 = 62.25; 1 = 69.75 a = 15 b = 62.25

7 Dengan rumus iterasi: Diperoleh:

8 Iterasi berikutnya adalah dengan menggunakan:
X0 = 5.5; x1 = 5 dan x2 = Kemudian dihitung kembali, h0; h1; 0 dan 1 untuk memperoleh nilai a, b dan c Hasil iterasinya adalah sbb.: n xn n (%) 5 - 1 25.74 2 0.6139 3 0.0262 4

9 2. Metoda Bairstow dibagi dengan: (x2 – rx – s ) yang menghasilkan:
Dengan sisa pembagian:

10 Hubungan rekurensi (recurrence relationship) dengan pembagian
Fungsi kuadrat diperoleh: bn = an bn-1 = an-1 + r b0 bi = ai + r bi+1 + s bi+2, untuk i = (n-2), (n-3),…, 2,1,0 Untuk membuat pembagian menuju nol, maka b0 dan b1 harus menuju nol. b0 dan b1 masing-masing fungsi dari r dan s

11 Turunan parsial dapat ditentukan dengan cara pembagian sintetik
seperti menentukan koefisien b yaitu dengan menuliskan: Sehingga: dimana: Untuk i= n – 2 sampai dengan i= 1

12 Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial orde 5 berikut: Gunakan perkiraan awal r0 = s0 = -1 kemudian iterasikan sampai Galat relatif kurang dari 1 % Jawaban: Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh: b5 = a5 = 1; b4 = -4.5; b3 = 6.25; b2 = 0.375; b1 = dan b0 = Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c5 = b5 = 1; c4 = -5.5; c3 = 10.75; c2 = ; c1 =

13 Maka:  r –  s =  r  s = 10.5  r = dan  s = Iterasi pertama untuk r dan s adalah: r1 = r0 +  r = = s1 = s0 +  s = = r( r1 ) = | (0.3558/ | 100 % = % s( s1) = | (1.1381/ | 100 % = % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-2

14 Dari pembagian sintetik menentukan koefisien b diperoleh:
b5 = a5 = 1; b4 = ; b3 = ; b2 = ; b1 = dan b0 = Dari pembagian sintetik menentukan koefisien c diperoleh: c5 = b5 = 1; c4 = ; c3 = ; c2 = ; c1 = Maka:  r –  s = –  r  s =  r = dan  s = Iterasi ke dua untuk r dan s adalah: r2 = r1 +  r = = s1 = s0 +  s = =

15 r( r2 ) = | (0.1331/ | 100 % = % s( s2) = | (0.3316/ | 100 % = 70.6 % Karena galat relatif masih tinggi, perhitungan dilanjutkan dengan iterasi ke-3, dan seterusnya Setelah iterasi ke-4 diperoleh haga r dan s yaitu: Jadi r = r4 = -0.5 dan s = s4 = 0.5 r4 = dengan r( r4 ) = % s4 = 0.5 dengan s( s4) = % Persamaan kuadarat: (x2 – rx – s ) = (x x – 0.5 ) adalah merupakan faktor dari f(x) Dua akar pertama dari f(x) diperoleh yaitu:

16 Hasil pembagian f(x) dengan (x2 + 0.5x – 0.5 ) yaitu:
Akar-akar dari f3 (x) ini dicari dengan menggunakan r = dan s = 0.5 sebagai perkiraan awal Setelah lima iterasi diperoleh: r = 2 dan s = dan persamaan kuadrat (x2 – rx – s ) = (x2 - 2x ) adalah faktor dari f3(x) Akar ke tiga dan ke empat dari f(x) diperoleh yaitu:

17 Hasil pembagian f3(x) dengan (x2 - 2x + 1.249 ) yaitu:
f1(x) = x – 2. Jadi akar ke lima dari f(x) yaitu x5 = 2 3. Metoda Birge-Vieta Birge-Vieta mengembangkan metoda Newton khusus untuk mencari akar-akar persamaan polinomial Rumus iterasi metoda Newton:

18 f(x) dan f’(x) dievaluasi dengan aturan Horner secara rekursif
untuk memperoleh koefisien b seperti yang telah digunakan Bairstow sehingga diperoleh hubungan rekurensi koefisien sbb: bn = an bi = ai + xn bi+1 Dengan i = n – 1 sampai 0 dan f(xn) = b0 Bila dibagi dengan (x – xn) diperoleh fungsi g(x) orde (n – 1) dengan sisa pembagian b0, dan f(x) = (x – xn) g(x) + b0 dimana:

19 Turunan pertama dari f(x) = (x – xn) g(x) + b0 yaitu:
f’(x) = (x – xn) g’(x) + g(x) f’(xn) = g(xn) yaitu suatu polinomial orde (n – 1) dan dapat dievaluasi dengan aturan Horner untuk memperoleh hubungan rekurensi koefisien c yaitu: cn = bn ci = bi + xn ci+1 Dengan i = n – 1 sampai 1 dan g(xn) = c1 Rumus iterasi Bierge-Vieta untuk persamaan polinomial:

20 i ai bi=ai+x0 bi+1 ci=bi+x0 ci+1 3 1 2 1.3 2.6 -1 0.69 4.07 -0.103
Contoh: Tentukan akar persamaan polinomial f(x) = x3 – x – 1 disekitar X0 = 1.3 Jawaban: Dari hubungan rekurensi pembagian sintetik untuk menentukan koefisien b dan c diperoleh: i ai bi=ai+x0 bi+1 ci=bi+x0 ci+1 3 1 2 1.3 2.6 -1 0.69 4.07 -0.103

21 i ai bi=ai+x1 bi+1 ci=bi+x1 ci+1 3 1 2 1.325 2.265 -1 0.755625 4.267
Iterasi pertama memberikan: Iterasi ke dua: i ai bi=ai+x1 bi+1 ci=bi+x1 ci+1 3 1 2 1.325 2.265 -1 4.267

22 i ai bi=ai+x2 bi+1 ci=bi+x2 ci+1 3 1 2 1.324718 2.64434 -1 0.154878
Iterasi ke dua memberikan: Iterasi ke tiga: i ai bi=ai+x2 bi+1 ci=bi+x2 ci+1 3 1 2 -1

23 Iterasi ke tiga memberikan:
r( x3 ) = | ( / )| 100 % = %

24 G O D L U C K