Sistem Persamaan Aljabar Linear

Presentasi berjudul: "Sistem Persamaan Aljabar Linear"— Transcript presentasi:

1 Sistem Persamaan Aljabar Linear
Persamaan Linear Persamaan berikut adalah bentuk persamaan linear: dimana: a1, a2,…, an, dan b adalah konstanta dan x1, x2,…, xn adalah variabel yang tidak diketahui. System persamaan Aljabar Linear System persamaan linear adalah himpunan beberapa persamaan linear dalam variabel x1, x2,…, xn . Barisan bilangan s1, s2,… sn adalah solusi system persamaan linear apabila x1= s1 , x2= s2 … xn =sn memenuhi setiap persamaan linear dalam system.

2 Sistem Persamaan Linear
S0262 Analisis Numerik Sistem Persamaan Linear Note: Ada tiga kemungkin tentang solusi SPL yaitu mempunyai hanya 1 set solusi, tidak mempunyai solusi, atau mempunyai banyak solusi Contoh: Suatu system yg mempunyai banyak solusi diantaranya: x1=1, x2=2, and x3=-1 Suatu system yg mempunyai hanya 1 solusi yaitu: x1=2, and x2=1 Suatu system yg tidak mempunyai solusi

3 Bentuk umum m persamaan dan n yang tidak diketahui
S0262 Analisis Numerik Bentuk umum m persamaan dan n yang tidak diketahui System persamaan Linear dlm Augmented Matrices

4 Contoh Augmented matrix 3 pers., 3 yg tdk diketahui
S0262 Analisis Numerik Contoh 3 pers., 3 yg tdk diketahui Metode untuk menyelesaikan SPL adalah dgn mengubah system yg ada menjadi system yg lebih sederhana. Secara umum langkah2 nya diberikan di bawah ini. Mengalikan satu atau lebih dari persamaan yg ada dengan suatu pengali Mempertukarkan letak persamaan Menambah suatu persamaan dengan persamaan yg lain Note: Langkah-langkah diatas akan berlaku juga terhadap Matriks AUGMENTED dari persamaan tersebut. Augmented matrix

5 Operasi Baris dlm mencari solusi SPL:
S0262 Analisis Numerik Operasi Baris dlm mencari solusi SPL: 1. Kurangkan 2 kali baris 1 dari baris kedua dan 3 kali baris 1 dari baris ketiga 2. Kalikan baris kedua dengan 1/2., maka akan diperoleh

6 S0262 Analisis Numerik Eliminasi Gauss(EG) EG adalah prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL tsb ke dalam bentuk yg lebih sederhana: Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk row-echelon (Echelon baris). Bentuk Row-echelon : Unsur (entri) yang bukan nol pertama pada setiap barisnya adalah angka 1 yang disebut dengan angka-1 pemimpin (leading 1) Setiap baris yang mempunyai unsur seluruhnya angka-0 diletakkan dibaris bawah Angka-1 pemimpin pada baris yang lebih bawah akan terletak kesebelah kanan angka-1 pemimpin pada baris diatasnya.

7 Eliminasi Gauss-Jordan(EGJ)
S0262 Analisis Numerik Eliminasi Gauss-Jordan(EGJ) Sebagaimana halnya pada eliminasi Gauss (EG), EGJ adalah juga prosedur yg sistimatis utk menyelesaikan SPL dengan cara menyederhanakan matriks augmented SPL. Prosedur: Sederhanakan Matriks Augmentedbentuk Echelon baris yang disederhanakan. Bentuk Echelon baris yang disederhanakan. Matriks dalam bentuk echelon baris yang disederhanakan adalah matriks echelon baris dimana pada setiap kolom yang telah mengandung angka-1 pemimpin maka setiap entri lain dalam kolom yang sama hanya diisi oleh angka-0.

8 Matriks Bentuk Echelon-baris Contoh:
S0262 Analisis Numerik Matriks Bentuk Echelon-baris Contoh: Matriks Bentuk Echelon-baris yg disederhanakan

9 Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss
S0262 Analisis Numerik Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss Tuliskan sistim persamaan aljabar linear yang akan diselesaikan dalam bentuk matriks augmented Jika diperlukan pertukarkan baris paling atas dari matriks tsb dengan baris yang lain sehingga angka-0 bukan merupakan angka pertama dalam baris paling atas tersebut Jika entri pertama dalam baris-1 bukan angka-0 kalikan/bagikan semua entri pada baris tersebut dengan suatu bilangan tertentu untuk menghasilkan angka-1 pemimpin. Lakukan operasi baris (penjumlahan/pengurangan) pada baris-baris dibawahnya untuk mendapatkan seluruh entri dibawah angka-1 pemimpin seluruhnya angka-0. Lakukan langkah 2, 3, dan 4 sampai diperoleh suatu matriks dalam bentuk echelon-baris Dari matriks yang diperoleh pada langkah-5 diatas lakukan subsitusi balik untuk mendapatkan harga variabel yang dicari

10 Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss-Jordan
S0262 Analisis Numerik Langkah-langkah pada Eliminasi Gauss-Jordan Lakukan langkah-langkah 1, 2, 3, 4 dan 5 pada Eliminasi Gauss diatas Biasanya dimulai dari baris yang paling bawah, lakukan operasi baris sedemikian sehingga seluruh entri diatas angka-1 pemimpin semuanya menjadi angka-0. Ulangi langkah 2 diatas untuk baris-baris yang lebih atas sehingga menghasilkan matriks dalam bentuk echelon-baris yang disederhanakan.

11 Jawab: Eliminasi Gauss Matriks Augmented
S0262 Analisis Numerik Contoh Soal: Selesaikan sistim persamaan linear di bawah ini dengan Eliminasi Gauss dan Eliminasi Gauss-Jordan : Jawab: Eliminasi Gauss Matriks Augmented

12 Jawab: Eliminasi Gauss (sambungan, lihat hal. sebelumnya)
S0262 Analisis Numerik Jawab: Eliminasi Gauss (sambungan, lihat hal. sebelumnya) Subsitusi balik: Baris ke-2 y-7/2 z = 19/2 y= 19/2 –21/2=-1 Baris ke-1 x + y + 2z=-6x=-6-y-2 z=1 Solusi: x=1; y=-1; dan z=-3

13 Jawab: Eliminasi Gauss-Jordan Dari hasil Eliminasi Gauss:
S0262 Analisis Numerik Jawab: Eliminasi Gauss-Jordan Dari hasil Eliminasi Gauss: Latihan: Kerjakan soal no. 2 pada lembaran sebelumnya dengan mengikuti prosedur yang sama

14 S0262 Analisis Numerik ATURAN CRAMER Teori 8: Solusi dari sistem pers. linear yg terdiri dari n pers. Linear dng n yang tdk diketahui Ax=b (det(A)0) adalah sbb: dimana Aj diperoleh dari matriks A dgn mengganti kolom ke- j dengan matriks

15 S0262 Analisis Numerik ATURAN CRAMER Contoh/Latihan: Gunakan aturan Cramer untuk menyelesakan sistem persamaan linear berikut: Jawab:

16 S0262 Analisis Numerik Metode Gauss-Seidel Misalkan sistim persamaan aljabar linear tsb dapat ditulis sbb:

17 S0262 Analisis Numerik Metode Gauss-Seidel Persamaan sebelumnya dapat diselesaikan dapat dikerjakan secara iteratif dengan menggunakan harga tebakan awal. Untuk mudahnya harga tebakan awal dapat dianggap bahwa harga semua x1, x2, …., xn=0. Harga ini dapat diperbaharui dengan menggunakan persamaan sebelumnya misalkan akan diperoleh x1=b1/a11; dan harga ini akan dimasukkan pada persamaan berikutnya untuk mendapatkan harga x2, dst. Prosedur iteratif ini akan diulangi sampai diperoleh ketelitian yang diinginkan menurut kriteria kesalahan relatif yang telah dibicarakan sebelumnya:

18 S0262 Analisis Numerik Metode Gauss-Seidel Contoh/Latihan: Gunakan Metode Gauss-Seidel untuk menyelesakan sistem persamaan linear berikut, kesalahan relatif <5%. Gunakan tebakan awal x1=x2=x3=0 Harga ini akan diperbaharui sbb: Itersai berikutnya akan diperoleh: