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Winding number in String field theory @ 名古屋大学 京大理 小路田 俊子 (畑氏との共同研究) based on arXiv:1111.2389.

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1 Winding number in String field theory @ 名古屋大学 京大理 小路田 俊子 (畑氏との共同研究) based on arXiv:

2 内容 開弦の場の理論( Cubic SFT )と Chern-Simons 理論の類似性に着目し、位相的不変量である Winding 数をCSFTにおいて実現できるのか調 べる。 Winding 数 A→ g(d+ A)g -1

3 Ⅰ. 弦の場の理論とは 点粒子の場の理論と同じ手続きで構築 Yang-Mills 理論のゲージ対称性と一般座標 変換不変性を含む、より大きな対称性を 持った理論 弦理論の非摂動的真空の記述 Set up ボゾニックな開弦 26次元

4 弦の場の理論の構築(1) 点の場の理論 世界線の Diffeo → 場 φ を導入 EOM として条件を満たす → 弦の場の理論 世界面の Diffeo → 場 ψ を導入 EOM として条件を満たす → τ τ σ

5 弦の場の理論の構築( 2 ) 点粒子の場 弦の場 Ψ [ X μ ( σ ),b(σ),c(σ) ] String座 標の汎関数 位置と形を分けて展 開 H ws

6 弦の場の理論の構築( 2 ) 点粒子の場 弦の場 Ψ [ X ( σ ),b(σ),c(σ) ] 世界面が座標 位置 と 形 を生成消滅 量子化により 量子化により 固有モードの生成消滅 固有モードの生成消滅

7 弦の場の理論の構築( 3 ) 相互作用 3点相互作用の理論(Cubic 型) 1 23 局所場の理論 弦の場の理論 1 2 3

8 弦の場の理論の構築( 3 ) 相互作用 3点相互作用の理論(Cubic 型) 1 23 局所場の理論 弦の場の理論 1 2 3

9 作用と運動方程式 CSFTの作用は 運動方程式は

10 演算の定義 積 : 2つの弦の場から新しい弦の場を作る 演算 XY Z RL Z X Y L R L R LR

11 演算の定義 : 1つの弦の場から数を作る演 算 X 弦座標の右と左を 引っ付けて積分

12 L R

13 演算の性質 A B C A*B* C A B B A

14 Chern-Simons 理論と CSFT の類似性

15 CSFT のゲージ対称性 演算子の性質を使うと CSFTの作用は次の ゲージ変換で不変であ ることが示せる。 弦の場を展開し成分毎 に見ると Yang-Mills 理 論の変換が出てくるこ とが分かる。 弦の場の理論は Yang-Mills 理論(と一般相対論) を内包する大きなゲージ対称性を持った理論

16 非摂動論的真空 ある古典解 まわりの揺らぎを とすると 古典解まわりの物理的 自由度 は の コホモ ロジー V 摂動論的真空 非摂動論的真空

17 タキオン真空解 のコホモロジーにはタキオン励起あり → の真空より安定な真空が存在するはず (タキオン真空) ⇔ D 25 ブレーンが消滅した真空(開弦の自由度 無し) ’05 Schnabl 解析解を発見 タキオン真空 (ブレーン無 し) T 25 に開弦の自由度無し 摂動論的真空 D 25 ブレーン Schnabl ‘05 Schnabl&Erler ‘09

18 Ⅱ. 開弦の場の理論における Winding 数

19 Ⅱ. 弦の場の理論にも Winding 数 ? CSFT と Chern-Simons 理論が同じ構造を持ってい る。 そこで・・・ N (タキオン真空解は pure- gauge )

20 Winding 数 in CSFT CSFT にトポロジカルな構造が実現できる か SFT の の「表面」 ?∫QΨ =0 ? ( ∫ M dA=0 ) N LR

21 Winding 数 in CSFT CSFT にトポロジカルな構造が実現できる か SFTの「表面」? ∫Q( ・・・ ) =0? 解析解探しに新たな視点 開弦の結合定数が量子化される? N N 異なる Winding 数を与え る解は異なる真空を表 す

22 Winding 数 in CSFT の理解のために(今日の話) ◎ の導出 タキオン真空解に ついて計算 ◎ 加法性: N [U 1 U 2 ]= N [U 1 ] + N [U 2 ]+ ◎ EOM、 pure-gauge 解について N N N = A A

23 L R L R Sliver 座標と KB c代数(議論の準備) L R 中点 00 LR ξ z LR 積が簡単に 1-1-1 1/2 上半面 Sli ver

24 Sliver 座標と KB c代数(議論の準備) 積 様々な幅を扱う 弦の場 Fock state( 幅 1/2) に収まらない。 よって任意の幅 t の strip を作っておこう。 ついでにゴーストと反ゴーストも 但し は幅ゼロの state t

25 KBc代数 K,B,cは以下の代数関係を満たす。 Y.Okawa ‘06

26 pure gauge 解 UをK,B,cを用いてかくと、一般性を失わ ないで とかける。 ex) タキオン真空解

27 円筒上の相関関数 N

28 N c c B K Schwinger parametrization t

29 本題に戻ります ① CSFTの の「表面」を理解するために を ‘ 全微分 ’ の形 に直す。 ② Q B -exact の積分を単純に計算すると 0になる。しかし N は真空エネルギー に比例しているので矛盾。 この矛盾を今から解きます。 (特にタキオン真空について) N = A N =

30 (∵ EOM ) A N = を導入する。 N A s=0 s=1 摂動論的真空 非摂動論的真空

31 N = A = 0 ? タキオン真空解を代入 → 中身をよく見る ・s=1のところで K のゼロ固有値が危険。 ・Q -exactness のせいでF(K)の関数形に依ら ず0 の regularization とQ -exactness を微少に 破る 必要あり A - 1 = N ≠ A = 0

32 K ε -regularization A 相関関数に含まれる K を全て K + ε に置き換え る 注)Q B を作用させた後で置き換える。 タキオン真空解に対して から正しい結果を 得た Chern-Simons 理論のアナロジー成立? 他の解についても成り立つのだろうか?

33 加法性 △ N =0 ならば は N= ーnの 解 しかし、我々は が0にならないかも しれないこ とを知っている。 N [U 1 U 2 ] = N [U 1 ] + N [U 2 ] + △ N △N△N 結果 N

34 加法性は破れている 加法性から の解は作れた。しかしそれ 以外の新しい解を作ることはできなかった。 もっと致命的なことに、 N が整数になるのか、 という当初の疑問に既に反例を与えてしまっ た? しかし、そもそもK ε -regularization のもとで、 は本当にE OMの解か? N ε = N = 1

35 Pure-gauge とは? Winding 数が位相的な量 であることに EOM の解で あることは重要 今 K ε -regularization したこ とで EOM は一見 ε のオー ダーで破れている。 どの方向の変分に対して EOM が消えるべきなの か? pure gauge ?

36 結果 n=±1 以外は pure gauge の資格無し。 n=±1 が完全に pure-gauge だと保証され た わけではないが・・・。

37 まとめ CSFT に Winding 数を実現できるのか ・ ‘ 全微分 ’ 形 に直して計算 単純には0になる量であるが、慎重に計 算せねばならない量であることを指摘。 さらにタキオン真空解とその反転した解 について正しい値を与える regularization を見つけた。 ・加法性の破れ 加法性が一般には破れている。しかし加 法性を破る Ψ が古典解ではないことが分 かった。 N = A → 課題へ

38 課題 Winding数の構築に必要な “pure-gauge” の クラスが不明。 K ε -regularization は正しい正則化なのか? ← K ε で何が起こっているのか分かっていない。 ・SFTにおけるガウスの定理は実現できるのか !?

39 Back up

40 V3の演算子表示

41 タキオン真空解も EOM を破っている? N = A の証明を思いだそう。 A N =

42 タキオン真空解も EOM を破っている? N = A の証明を思いだそう。 A ] ε [ N ] ε = K→K+ε regularization

43 タキオン真空解も EOM を破っている? N = A の証明を思いだそう。 A ] ε [ N ] ε = K→K+ε regularization

44 タキオン真空解も EOM を破っている? A [K ε ] [ N ] ε


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