Winding number in String field theory ＠ 名古屋大学 京大理 小路田 俊子 （畑氏との共同研究） based on arXiv:1111.2389.

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1 Winding number in String field theory ＠ 名古屋大学 京大理 小路田 俊子 （畑氏との共同研究） based on arXiv:1111.2389

2 内容 開弦の場の理論（ Cubic SFT ）と Chern-Simons 理論の類似性に着目し、位相的不変量である Winding 数をＣＳＦＴにおいて実現できるのか調 べる。 Winding 数 A→ ｇ（ｄ＋ Ａ）ｇ -1

3 Ⅰ. 弦の場の理論とは 点粒子の場の理論と同じ手続きで構築 Yang-Mills 理論のゲージ対称性と一般座標 変換不変性を含む、より大きな対称性を 持った理論 弦理論の非摂動的真空の記述 Set up ボゾニックな開弦 ２６次元

4 弦の場の理論の構築（１） 点の場の理論 世界線の Diffeo → 場 φ を導入 EOM として条件を満たす → 弦の場の理論 世界面の Diffeo → 場 ψ を導入 EOM として条件を満たす → τ τ σ

5 弦の場の理論の構築（ 2 ） 点粒子の場 弦の場 Ψ ［ X μ （ σ ）,b(σ),c(σ) ］ Ｓｔｒｉｎｇ座 標の汎関数 位置と形を分けて展 開 H ws

6 弦の場の理論の構築（ 2 ） 点粒子の場 弦の場 Ψ ［ X （ σ ）,b(σ),c(σ) ］ 世界面が座標 位置 と 形 を生成消滅 量子化により 量子化により 固有モードの生成消滅 固有モードの生成消滅

7 弦の場の理論の構築（ 3 ） 相互作用 ３点相互作用の理論（Ｃｕｂｉｃ 型） 1 23 局所場の理論 弦の場の理論 1 2 3

8 弦の場の理論の構築（ 3 ） 相互作用 ３点相互作用の理論（Ｃｕｂｉｃ 型） 1 23 局所場の理論 弦の場の理論 1 2 3

9 作用と運動方程式 ＣＳＦＴの作用は 運動方程式は

10 演算の定義 積 : ２つの弦の場から新しい弦の場を作る 演算 XY Z RL Z X Y L R L R LR

11 演算の定義 : １つの弦の場から数を作る演 算 X 弦座標の右と左を 引っ付けて積分

12 Ｌ Ｒ

13 演算の性質 Ａ Ｂ Ｃ Ａ＊Ｂ＊ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ

14 Chern-Simons 理論と CSFT の類似性

15 CSFT のゲージ対称性 演算子の性質を使うと ＣＳＦＴの作用は次の ゲージ変換で不変であ ることが示せる。 弦の場を展開し成分毎 に見ると Yang-Mills 理 論の変換が出てくるこ とが分かる。 弦の場の理論は Yang-Mills 理論（と一般相対論） を内包する大きなゲージ対称性を持った理論

16 非摂動論的真空 ある古典解 まわりの揺らぎを とすると 古典解まわりの物理的 自由度 は の コホモ ロジー Ｖ 摂動論的真空 非摂動論的真空

17 タキオン真空解 のコホモロジーにはタキオン励起あり → の真空より安定な真空が存在するはず （タキオン真空） ⇔ Ｄ 25 ブレーンが消滅した真空（開弦の自由度 無し） ’05 Schnabl 解析解を発見 タキオン真空 （ブレーン無 し） Ｔ 25 に開弦の自由度無し 摂動論的真空 Ｄ 25 ブレーン Schnabl ‘05 Schnabl&Erler ‘09

18 Ⅱ. 開弦の場の理論における Winding 数

19 Ⅱ. 弦の場の理論にも Winding 数 ? CSFT と Chern-Simons 理論が同じ構造を持ってい る。 そこで・・・ N （タキオン真空解は pure- gauge ）

20 Winding 数 in CSFT CSFT にトポロジカルな構造が実現できる か SFT の の「表面」 ?∫QΨ ＝０ ? （ ∫ M dA=0 ） N LR

21 Winding 数 in CSFT CSFT にトポロジカルな構造が実現できる か ＳＦＴの「表面」？ ∫Q( ・・・ ) ＝０？ 解析解探しに新たな視点 開弦の結合定数が量子化される？ N N 異なる Winding 数を与え る解は異なる真空を表 す

22 Winding 数 in CSFT の理解のために（今日の話） ◎ の導出 タキオン真空解に ついて計算 ◎ 加法性： N [U 1 U 2 ]= N [U 1 ] + N [U 2 ]+ ◎ ＥＯＭ、 pure-gauge 解について N N N = A A

23 L R L R Sliver 座標と KB ｃ代数（議論の準備） L R 中点 ００ LR ξ z LR 積が簡単に １－１－１ 1/2 上半面 Ｓｌｉ ｖｅｒ

24 Sliver 座標と KB ｃ代数（議論の準備） 積 様々な幅を扱う 弦の場 Fock state( 幅 1/2) に収まらない。 よって任意の幅 ｔ の strip を作っておこう。 ついでにゴーストと反ゴーストも 但し は幅ゼロの state ｔ

25 ＫＢｃ代数 Ｋ，Ｂ，ｃは以下の代数関係を満たす。 Y.Okawa ‘06

26 pure gauge 解 ＵをＫ，Ｂ，ｃを用いてかくと、一般性を失わ ないで とかける。 ex) タキオン真空解

27 円筒上の相関関数 N

28 N c c B K Schwinger parametrization ｔ

29 本題に戻ります ① ＣＳＦＴの の「表面」を理解するために を ‘ 全微分 ’ の形 に直す。 ② Q B -exact の積分を単純に計算すると ０になる。しかし N は真空エネルギー に比例しているので矛盾。 この矛盾を今から解きます。 （特にタキオン真空について） N = A N =

30 （∵ EOM ） A N = を導入する。 N A s=0 s=1 摂動論的真空 非摂動論的真空

31 N = A = 0 ? タキオン真空解を代入 → 中身をよく見る ・ｓ＝１のところで K のゼロ固有値が危険。 ・Ｑ -exactness のせいでＦ（Ｋ）の関数形に依ら ず０ の regularization とＱ -exactness を微少に 破る 必要あり A － 1 = N ≠ A = ０

32 K ε -regularization A 相関関数に含まれる K を全て K ＋ ε に置き換え る 注）Ｑ B を作用させた後で置き換える。 タキオン真空解に対して から正しい結果を 得た Chern-Simons 理論のアナロジー成立？ 他の解についても成り立つのだろうか？

33 加法性 △ N =0 ならば は N= ｰｎの 解 しかし、我々は が０にならないかも しれないこ とを知っている。 N [U 1 U 2 ] = N [U 1 ] + N [U 2 ] + △ N △N△N 結果 N

34 加法性は破れている 加法性から の解は作れた。しかしそれ 以外の新しい解を作ることはできなかった。 もっと致命的なことに、 N が整数になるのか、 という当初の疑問に既に反例を与えてしまっ た？ しかし、そもそもＫ ε -regularization のもとで、 は本当にＥ ＯＭの解か？ N ε = N = 1

35 Pure-gauge とは？ Winding 数が位相的な量 であることに EOM の解で あることは重要 今 K ε -regularization したこ とで EOM は一見 ε のオー ダーで破れている。 どの方向の変分に対して EOM が消えるべきなの か？ pure gauge ？

36 結果 n=±1 以外は pure gauge の資格無し。 n=±1 が完全に pure-gauge だと保証され た わけではないが・・・。

37 まとめ CSFT に Winding 数を実現できるのか ・ ‘ 全微分 ’ 形 に直して計算 単純には０になる量であるが、慎重に計 算せねばならない量であることを指摘。 さらにタキオン真空解とその反転した解 について正しい値を与える regularization を見つけた。 ・加法性の破れ 加法性が一般には破れている。しかし加 法性を破る Ψ が古典解ではないことが分 かった。 N = A → 課題へ

38 課題 Ｗｉｎｄｉｎｇ数の構築に必要な “pure-gauge” の クラスが不明。 K ε -regularization は正しい正則化なのか？ ← K ε で何が起こっているのか分かっていない。 ・ＳＦＴにおけるガウスの定理は実現できるのか !?

39 Back up

40 Ｖ３の演算子表示

41 タキオン真空解も EOM を破っている？ N = A の証明を思いだそう。 A N =

42 タキオン真空解も EOM を破っている？ N = A の証明を思いだそう。 A ] ε [ N ] ε = K→K+ε regularization

43 タキオン真空解も EOM を破っている？ N = A の証明を思いだそう。 A ] ε [ N ] ε = K→K+ε regularization

44 タキオン真空解も EOM を破っている？ A [K ε ] [ N ] ε