BAB 5 VEKTOR BIDANG DAN VEKTOR RUANG Definisi Vektor adalah suatu kuantitas yang mempunyai besar dan arah Digambarkan sebagai panah atau ruas garis lurus Contoh : kecepatan, gaya, pecepatan z y v v x y x

Bilangan-bilangan a1, a2, dan a3 disebut komponen-komponen a. Notasi : Vektor bidang : a = a1, a2 Vektor ruang : a = a1, a2, a3 Bilangan-bilangan a1, a2, dan a3 disebut komponen-komponen a. Representasi dari vektor a = a1, a2 adalah ruas garis lurus dari sembarang titik A(x, y) ke titik B(x + a1, y + a2). Representasi khusus dari a adalah ruans garis lurus dari titik asal ke titik P(a1, a2). Dalam hal ini a disebut vektor posisi dari titik P(a1, a2). y Contoh Carilah vektor yang dinyatakan oleh ruas garis dengan titik awal A(2, -5, 0) dan titik akhir B(-3, 1, 1). B(x+a1, y+ a2) P(a1, a2) A(x, y) x O

Panjang vektor a = a1, a2 adalah y Penjumlahan Vektor Jika a = a1, a2 dan b = b1, b2, maka a + b didefinisikan oleh a + b b a Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa. O x

Perkalian Vektor dengan Skalar Jika c skalar dan a = a1, a2, maka vektor ca didefinisikan oleh Untuk vektor ruang didefinisikan dengan cara serupa. Contoh Jika a = 4, 0,3 dan b = -2, 2, 5, carilah vektor a + b, 3b, 2a+ 5b, dan .

a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la Sifat-Sifat Vektor Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k dan l adalah skalar, maka a + b = b + a 5. k(a + b) = ka + kb a + (b + c) = (a + b) + c 6. (k + l)a = ka + la a + 0 = a 7. (kl)a = k(la) a + (-a) = 0 8. 1a = a z Vektor Basis baku i = 1, 0, 0 j = 0,1, 0 k= 0, 0, 1 k j i y x

Jika a = a1, a2, a3, maka dapat kita tuliskan a = a1, a2, a3 = a1, 0, 0 + 0, a2, 0 + 0, 0, a3 = a1 1, 0, 0 + a2 0, 1, 0 + a3 0, 0, 1  a = a1i + a2 j + a3 k Contoh Jika a = i + 2j – 3k dan b = 4j + 5k, nyatakan 2a + 5b dalam i, j, dan k. Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1. Misalnya, i, j dan k. Jika a vektor tak nol, maka vektor satuan yang searah a adalah

Contoh Beban 100 lb digantungkan pada dua kawat seperti diperlihatkan pada gamber berikut. Carilah tegangan (gaya) T1 dan T2 di dalam kedua kawat itu dan besar masing-masing tegangan. 60o 45o 60o 45o T1 T2 60o 45o 100 w

Contoh Carilah vektor satuan dalam arah vektor 2i + j – 2k. Hasilkali Titik Definisi Jika dan , maka hasilkali titik dari a dan b adalah bilangan ab yang diberikan oleh

Sifat Hasilkali Titik Jika a, b, dan c adalah vektor pada ruang yang sama, dan k skalar, maka a  a = 4. (ka)  b) = k(a  b) = a  (kb) a  b = b  a 5. 0  a = 0 a  (b + c) = a  b +a  c Teorema 5.1 Jika  adalah sudut antara vektor a dan b, maka atau

Vektor a dan b ortogonal (tegak lurus) jika dan hanya jika a  b = 0. Proyeksi Vektor v disebut proyeksi vektor b pada a. b Panjang vektor v disebut proyeksi skalar b pada a. v a

Contoh Carilah proyeksi skalar dan proyeksi vektor dari b = 1, 1, 2 pada a = -2, 3, 1 Kerja Gaya konstan F menggerakkan benda dari P ke Q, mempunyai vektor simpangan adalah . Kerja yang dilakukan oleh gaya ini didefinisikan sebagai komponen gaya tersebut di sepanjang d dengan jarak perpindahan R F  P Q S

Contoh Suatu gaya F = 3i + 4j +5k menggerakkan sebuah partikel dari titik P(2,1,0) ke titik Q(4,6,2). Tentukan besar kerja yang dilakukan F. Hasilkali Silang Definisi Jika dan , maka hasilkali silang dari a dan b adalah vektor

Jika a = 1,3,4 dan b = 2,4,-3, carilah vektor a  b. Notasi bantuan : Contoh Jika a = 1,3,4 dan b = 2,4,-3, carilah vektor a  b. Teorema 5.2 Vektor a  b adalah ortogonal baik terhadap a maupun b. b  c  b a

Jika  sudut antara vektor a dan b (0   ), maka Teorema 5.3 Jika  sudut antara vektor a dan b (0   ), maka Contoh Carilah luas segitiga dengan titik sudut A(1,2,4), B(-2,6,-1), dan C(1, 0, 5). b  a Panjang dari hasilkali silang a  b sama dengan luas dari jajaran genjang yang ditentukan oleh vektor a dan b. Akibat Dua vektor taknol a dan b sejajar jika dan hanya jika jika a  b = 0.

Teorema 5.4 Jika a, b dan c vektor dan k skalar, maka a  b = -b  a (ka)  b = k(a  b) = a  (kb) a  (b + c) = a  b + a  c (a + b)  c = a  c + b  c a  (b  c) = (a  b)c a ( b  c) = (ac)b – (ab)c

Hasilkali rangkap-tiga skalar : Volume paralelepipedum yang ditentukan oleh vektor a, b dan c adalah besar dari hasilkali rangkap-tiga skalar b  c a c b

Contoh Carilah volume paralelepipedum dengan rusuk berdampingan PQ, PR, dan PS dengan P(0,1,2), Q(2,4,5), R(-1,0,1), S(6,-1,4). Tunjukkan bahwa vektor-vektor a = 1,4,-7, b = 2,-1,4 dan c = 0,-9,18 sebidang.

Penerapan dalam Fisika Gaya F yang bekerja pada sebuah benda pejal di titik yang diberikan oleh vektor posisi r. Misalkan, ketika kita mengencangkan baut dengan menerapkan gaya pada kunci Inggris, yang menghasilkan efek putar (torsi). Torsi  (relatif terhadap titik asal) adalah hasilkali vektor posisi dan vektor gaya  = r  F Vektor ini mengukur kecenderungan benda pejal tersebut untuk berputar mengelilingi titik asal.

Contoh Sebuah baut dikencangkan dengan cara menerapkan gaya sebesar 40N terhadap sebuah kunci Inggris sepanjang 0,25 m. Jika sudut antara F dan kunci adalah 60o, carilah besar torsi disekitar pusat sekrup.

,lihat gambar samping. Hukum penjumlahan vektor memberikan l Persamaan Garis Bagaimana menentukan persamaan garis l yang melalui titik P(x0,y0,z0) yang sejajar suatu vektor v? Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang titik pada l, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P dan Q. Jika a adalah vektor representasi ,lihat gambar samping. Hukum penjumlahan vektor memberikan Q(x,y,z) z a P(x0,y0,z0) l r0 r v x r = r0 + a y Karena a dan v sejajar, maka terdapat t sehingga a = tv, sehingga r = r0 + tv Persamaan vektor dari garis

Jika v = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di atas memberikan x= x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc yang disebut persamaan parametrik dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dengan bilangan arah v = a, b, c. Dengan menyelesaikan t dari persamaan parametrik, memberikan yang disebut persamaan simetri dari garis melalui titik P(x0, y0, z0) dgn bilangan arah v = a, b, c.

Contoh Carilah persamaan garis melalui titik (5, 1, 3) yang searah vektor v = 3i – 5j + 2k. Kemudian carilah dua titik lainnya pada garis tersebut. Carilah persamaan garis melalui titik (2, 4, -3) dan (3, -1, 1). Dimanakah garis ini memotong bidang-xy? Tunjukkan bahwa dua garis berikut bersilangan (tidak berpotongan): x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s

Persamaan Bidang Sebuah bidang di ruang ditentukan oleh sebauh titik P(x0, y0, z0) dan sebuah vektor n yang tegak lurus terhadap bidang itu (vektor normal). z n Misalkan Q(x,y,z) adalah sembarang titik pada bidang, misalkan r0 dan r adalah vektor-vektor posisi dari P dan Q. Vektor r – r0 dinyatakan oleh . Vektor normal n tegak lurus thd setiap vektor pada bidang, khususnya r – r0 sehingga Q(x,y,z) r – r0 r P(x0,y0,z0) r0 x y n  (r – r0) = 0 Persamaan vektor dari bidang

a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Jika n = a, b, c, r = x, y, z dan r0 = x0, y0, z0, maka persamaan di atas menjadi a(x – x0) + b(y – y0) + c(z – z0) = 0 Persamaan ini disebut persamaan skalar dari bidang yang melalui titik P(x0, y0, z0) dengan vektor normal n = a, b, c. Persamaan di atas dapat dituliskan sebagai persamaan linear ax + by + cz + d = 0

Contoh Carilah persamaan bidang yang melalui titik (2,4,-1) dengan vektor normal n = 2,3,4. Kemudian tentukan titik potongnya dengan sumbu koordinat. Carilah persamaan bidang yang melalui titik P(1,3,2), Q(3,-1,6), dan R(5,2,0). Carilah titik potong garis x = 2 + 3t, y = -4t, z = 5 + t memotong bidang 4x + 5y – 2z = 18. Carilah sudut antara bidang x + y + z = 1 dan x – 2y + 3z = 1. Kemudian carilah persamaan garis perpotongan antara kedua bidang ini.

Carilah jarak antara dua garis Carilah rumus untuk jarak dari titik Q(x1,y1,z1) ke bidang ax + by + cz + d = 0. Carilah jarak antara dua bidang sejajar 10x + 2y – 2z = 5 dan 5x + y – z =1. Carilah jarak antara dua garis x = 1 + t y = -2 +3t z = 4 – t x = 2s y = 3 + s z = -3 + 4s Q(x1,y1,z1) b n P(x0,y0,z0)